椭圆的简单几何性质10种常见考法归类（学生版）-人教版高二暑假专项复习

第20讲椭圆的简单几何性质10种常见考法归类

学宅目标彳

i.掌握椭圆的简单几何性质.

2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想.

I［由基础知识

------------------lllllllllllllllllllllllilllilllllllllllll-----------------------

知识点1椭圆的简单几何性质

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

42’

闯

图形L

BlK

标准方程5+%=1（心。＞。）

范围一〃WxW〃且一bWyWb—bWxWb且一

顶点4（一〃,0）,51（0,一力，&（。，b）4（0,Az（O,4）,51（一伍0）,Bz（b,O）

轴长长轴长=2°,短轴长=26

焦点乙（一c,0），巳（。,0）R（0,—c）,B（0，c）

焦距\FIF2\=2C

对称性对称轴x轴和y轴,对称中心（0,0）

离心率e=*）＜e＜l）（注：e='

注：（1）椭圆的焦点一定在它的长轴上.

⑵椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.

⑶椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a+c,最小值为a-c.

（4）椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置.

（5）已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，a为半径作弧交

长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点.

（6）椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆.

拓展：用离心率e=。来刻画椭圆的扁平程度.

如图所示，在Rt/XBE。中，cos/8&O=。记e=：,则0<e<l,e越大，越小，椭圆越扁；e越小,

越大，椭圆越接近于圆.

（7）常用椭圆方程的设法

2222

①与椭圆「+4=13>5>0）共焦点的椭圆方程可设为：T一+—=l（m>-b2）

aba+mb+m

2222

②有相同离心率：=+与=左（左>0,焦点在X轴上）或三+==左（左>0,焦点在X轴上）

abab

知识点2点与椭圆的位置关系

72

点P（XO，刃）与椭圆方的位置关系：

点P在椭圆上/1+润=1；点尸在椭圆内部0条+涉1;点尸在椭圆外部台£+$>1.

知识点3直线与椭圆的位置关系

?2

直线y^kx+m与椭圆7十5=1（。>匕>0）的位置关系，判断方法:

y=kx-\-m,

联立,9+g=]消y得一元二次方程.

当/>o时，方程有两解,直线与椭圆相交；

当/=o时，方程有一解,直线与椭圆相切；

当/<0时，方程无解,直线与椭圆相离.

知识点4直线与椭圆相交的弦长公式

1.定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦.

2.求弦长的方法

（1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求.

（2）根与系数的关系法：

如果直线的斜率为总被椭圆截得弦两端点坐标分别为（xi，­），（血,阵），则弦长公式为：

|A8|=q1+网（XI+X2）2—4尤1尤2=A/1+p^/Cvi+V2）2—4yij2.

注：(1)已知弦A5是椭圆q+与=1(。＞/?＞0)的一条弦，中点M坐标为(%,%)，则A3的斜率

ab

22

石+乂-1

b22

为—葭x2，运用点差法求AB的斜率，设A(石,M),Bl%,%)；A、5都在椭圆上，＜/b

a%22

Tr+vr-1

两式相减得：立W+支工=0,(…华+%)_(%-%)「)=0

crb2a2b2

即入二匹=_与.五±三=_竺，故&^=_竺

aa

玉一尤2~a%~y0

b2

(2)弦AB的斜率与弦中心M和椭圆中心。的连线的斜率之积为定值：---

豳解题策略

---------------------liiiiiiiiiiiiiiiiimiiiiiiiiiiiiiiiuiii-----------------------

1'用标准方程研究几何性质的步骤

(1)将椭圆方程化为标准形式；

(2)确定焦点位置；

(3)求出a,b,c；

(4)写出椭圆的几何性质.

注：长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是a,b,c的两倍.

2、利用椭圆的几何性质求标准方程的思路

利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：

(1)确定焦点位置；

(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；

(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数.列方程(组)时常用的关系式有—

3、求椭圆离心率及范围的两种方法

(1)直接法：若已知a,c可直接利用e=。求解.若已知a,b或b,c可借助于片二"+廿求出。或°,

再代入公式e=。求解.

(2)方程法：若a,c的值不可求，则可根据条件建立a,6,c的关系式，借助于/=〃+°2,转化为关

于a,c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以。的最高次幕，得到关于e的方程或不等式，

即可求得e的值或范围.

4、判断直线与椭圆的位置关系

判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，

得到关于另一个变量的一元二次方程，则/>0台直线与椭圆相交；/=00直线与椭圆相切；/<00直线与椭

圆相离.

5、解决椭圆中点弦问题的两种方法

(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与

系数的关系以及中点坐标公式解决；

(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中

72

点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(X1，力)，8(X2，>2)是椭圆方=l(a>6>。)上的两个不同的点，

M(x0,")是线段A8的中点，

由①-②,得力?一施+如一加。,变形%苔=4•总一嚼,即一簿

6、求与椭圆有关的最值、范围问题的方法

(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理.

(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解.

(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭

圆的范围.

7、解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)

(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题.

(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解.

(3)用解得的结果说明原来的实际问题.

Q考点剖析

--------------lllllllllllllillllllillllllllllllllllllll-----------------------

考点一：由标准方程研究几何性质

22

例1.（2023秋•高二课时练习）椭圆一L—+二一=1的焦点坐标为（）

m-2m+3

A.(±5,0)B.(0,±5)

C.(+75,0)D.(0,土斯)

222

变式1.（2023秋•高二课时练习）椭圆三+匕=1与椭圆工+^^=1（0<%<9）的关系为（）

2599-k25-k

A.有相同的长轴长与短轴长B.有相同的焦距

C.有相同的焦点D.有相同的离心率

22

变式2.（2023秋•四川内江•高三期末）椭圆亍+1_=1的焦点为可、工，点”在椭圆上且询轴，则

£到直线月M的距离为（）

A.-B.3C.—D.3—

5311

22

变式3.（2023秋•高二课时练习）已知耳，耳是椭圆上+乙=1的两个焦点，点尸在椭圆上，如果月耳是

94

直角三角形，求点尸的坐标.

考点二：利用几何性质求标准方程

例2.（2023秋•高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程:

⑴焦点在y轴上，焦距是4,且经过点”（3,2）；

⑵经过两点4（0,2）和8

(3)经过A2,两点.

v22

（4）过点（-3,2）且与椭圆土+?=1有相同焦点.

22

变式1.（2023・高二课时练习）求与椭圆上+匕=1的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程.

43

变式2.（2023•高二课时练习）与椭圆9/+4y=36有相同的焦点，且短半轴长为2石的椭圆方程是（）

,2

A.£+《=1B.匕+片=11_]D

C.-口言=1

252025204520

变式3.（2023秋•高二课时练习）中心在原点,焦点在工轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三

等分，则此椭圆的方程是（）

A.JJ1”11

B.

8172819

%-/J

c.D.=1

7281972

变式4.（2023・全国•高二专题练习）若椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦

点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为白，则这个椭圆的方程为（）

A.工+匚1

129129912

cJJD.J

91239

考点三：点与椭圆的位置关系

（一）点和椭圆位置关系的判断

小]例3.（2023・全国•高二假期作业）已知椭圆C:[+;=l,则下列各点不在椭圆内部的是（）

A.（1,1）B.1）

C.（"0）D.（川

22

变式1.（2023秋•高二课时练习）若点（3,2）在椭圆二+1=1上，则下列说法正确的是（）

ab

A.点（-3,-2）不在椭圆上B.点（3,-2）不在椭圆上

C.点（-3,2）在椭圆上D.无法判断上述点与椭圆的关系

变式2.（2023春•上海浦东新•高二统考期中）已知椭圆C:二+上=1,直线

259

/:（m+2）x-（〃z+4）y+2—7〃=O（7〃CR）,则直线/与椭圆C的位置关系为（）

A.相交B.相切C.相离D.不确定

（二）根据点和椭圆位置关系求参数

例4.（2023秋•高二课时练习）已知点在椭圆8x2+3y2=24上，则机的取值范围是

22

变式1.（2023・高二课时练习）点4（凡1）在椭圆?+]=1的外部，则”的取值范围是（）

A.卜母，母）B.卜8,-

C.（-2,2）D.（-1,1）

22

变式2.（2023秋•高二课时练习）若点A（»U）在椭圆宁+三=1的内部，则实数机的取值范围是.

（三）点和椭圆位置关系的应用

例5.（2023秋・广东惠州•高二惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）己知直线2"-y+2=。与椭

22

圆土+匕=1（，〃>0）恒有公共点，则实数%的取值范围为.

9m

变式1.（2023・全国•高二专题练习）如果直线/：丁=々卜+百）与椭圆C：/+产=1（">1）总有公共点，

求实数a的取值范围.

22

变式2.（2023秋・湖南郴州•高二校考期中）已知点P。,2）和焦点在y轴上的椭圆：±+乙=1,且过尸作

4m

椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距C的取值范围是（）

A.0<c<2B.c>2C.0<c<型D.c>—

33

22

变式3.【多选】（2023春・重庆渝中•高二重庆复旦中学校考开学考试）已知椭圆乙+匕=1的左、右焦点

43

分别为B,F2,过、的直线〃与过B的直线〃交于点设M的坐标为（xo,yd）,若〃，/2,则下列结论正

确的有（）

A.9+武<1B.三+苑>1C.4君+3y；<lD.4尤；+3*>1

4343

考点四：椭圆的离心率问题

（一）求椭圆的离心率

在1例6.（2023秋•高二单元测试）设耳，工是椭圆E：J+"=l（a>6>0）的两个焦点，P为直线y=

上一点，△片尸鸟是底角为30。的等腰三角形，则E的离心率为.

22

变式1.（2023•海南海口•海南华侨中学校考模拟预测）已知耳，F?分别是椭圆C：=+当=1（a>b>0）

ab

的左，右焦点，尸是C上的一点，若31Ml=2闺6且/尸片月=60。，则C的离心率为（）

A.B.2-73C.币-2D.3-20

变式2.（2023春・河北•高二校联考期末）如图所示，斜率为一冷的直线/交椭圆5+/=1（°>6>0）于M、

N两点，交x轴、y轴分别于Q、尸两点，且标=函，则椭圆的离心率为.

22

变式3.（2023春•广东深圳・高二统考期末）已知椭圆C:二+与=1（。>6>0）的右焦点为尸，过原点的直线

ab

/与c交于A8两点，若AF'M,>|AF|=3|BF|,则C的离心率为（）

A.叵B.叵C.2D.1

4553

变式4.（2023春•上海虹口•高二统考期末）已知△△耳耳是等边三角形，M、N分别是边A耳和A耳的中点.

若椭圆以耳、F?为焦点，且经过/、N,则椭圆的离心率等于.

22

变式5.（2023春・湖北武汉•高二校联考期末）已知椭圆C:2+券=1（。>匕>。）的左、在顶点分别为4，4，

且以线段A4为直径的圆与直线融--+2仍=。相切，则C的离心率为（）

A-B.也C.逅D.逑

3333

22

变式6.（2023•河北衡水・衡水市第二中学校考三模）已知椭圆C:J+2=l（a>6>0）的左、右焦点分别为

ab

耳,F2,P为C上的动点.若「耳|+怛闾=46，且点P到直线x-y+6=0的最小距离为0,则C的离心

率为.

22

变式7.（2023・高二课时练习）已知椭圆「+==1（a>b>0）的一条弦所在的直线方程是2x-y+5=0,

ab

弦的中点坐标是河（T」），则椭圆的离心率是（）

A.|B.叵C.在D.也

2225

（二）求椭圆的离心率的取值范围

22

例7.（2023•全国•高三专题练习）已知椭圆。:。+2=1（〃>人>0）的左右焦点为耳,鸟，若椭圆。上

ab

恰好有6个不同的点，使得△大工尸为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

A.(《,；)B.(1,1)C乂吗9D.受5：1）

变式1.（2023•全国•高三专题练习）已知椭圆C关于X-轴、y轴均对称，焦点在y轴上，且焦距为2c（c>0）,

若点A|c,事c不在椭圆C的外部，则椭圆C的离心率的取值范围为（）

22

变式2.（2023・全国•高三专题练习）已知居C。）是椭圆C:=+2=l（a>6>0）的左、右焦点,

ab

若椭圆C上存在一点尸使得而「而2=。2，则椭圆Jc的"离心率e的取值范围是（）

C.也八号。,归

22

变式3.（2023•全国•高二期末）己知点耳，工是椭圆=+多=1（。>6>0）的左右焦点，椭圆上存在不同两点

ab

A8使得率=2可，则椭圆的离心率的取值范围是（）

A.陷B.唱C.D.［对

22

变式4.（2023春•上海青浦•高二统考期末）点A为椭圆C:=+R=l（a>匕>1）的右顶点，尸为椭圆C上一

ab

点（不与A重合），若西.用：=0（。是坐标原点），则椭圆。的离心率的取值范围是（）

B.D.

变式5.（2023春・湖南益阳・高二统考期末）若椭圆上存在点P,使得P到椭圆两个焦点的距离之比为2:1,

则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率e的取值范围是（）

A.再B.1o闸C.D.

L3J（3JL3）I3」

（三）由椭圆的离心率求参数（范围）

［、］例8.（2023秋•重庆沙坪坝•高二重庆市第七中学校校考期末）已知椭圆工+二=1的离心率0=匕

则上的值可能是（）

或？7

A.3B.7C.3D.7或了

O

变式1.（2023・全国•高三专题练习）设椭圆土+上=1（加＞0,〃＞0）的离心率为e,则”是“m=4〃”

mn2

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

变式2.（2023春•河北石家庄•高二正定中学校考阶段练习）若椭圆C:二+f=1的离心率为逅，则椭圆

m23

C的长轴长为.

变式3.（2023春・湖南衡阳•高二衡阳市八中校考阶段练习）已知椭圆、+4=1（。＞人＞。）的离心率为巫，

则长轴与短轴的比值为.

22

变式4.（2023•全国•统考高考真题）设椭圆G：3+y2=l（a＞DC：L+y2=l的离心率分别为e..若

a4

e2-gq，则。=（）

A.箸B.&C.73D.76

考点五：直线与椭圆的位置关系

2

（2023春•江西吉安•高二校考期中）直线＞=x+l与椭圆炉+乙=1的位置关系是（)

2

B.相切C.相交D.无法确定

22

变式1.（2023秋•黑龙江绥化•高二海伦市第一中学校考期中）直线/：依+y-a+l=0与椭圆上+匕=1的

32

位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.相切或相交

变式2.（2023春•上海浦东新•高二上海南汇中学校考期中）直线3元-2y+6=0与曲线仁一型=1的公共

94

点的个数是（）.

A.1B.2C.3D.4

变式3.（2023秋•内蒙古赤峰•高二校考期末）若直线如-〃y=4与。0：/+,2=4没有交点,则过点P（m,n）、

22

。（。,5）两点的直线与椭圆/+?=：!的交点个数是（）

A.至多为1B.2C.1D.0

变式4.（2023・湖南长沙•长沙市明德中学校考三模）直线/：升2y—4=0与椭圆二二+上=1（%＞0）有且仅有一

m+1m

个公共点P,则m=，点P的坐标是.

变式5.（2023春・河南•高三校联考阶段练习）已知椭圆C:/+0=l,离心率为乎，过尸（1,2）的直线分

别与C相切于A,B两点，则直线方程为（）

A.%+y-1=0或%+4,-1=0B.%+4y-1=0

C.x+y-l=0D.尤+y+l=0或％+4)—1=0

考点六：弦长及中点弦问题

（-）弦长问题

0Q例］0.（2023秋•高二课时练习）过椭圆3d+4/=48的左焦点产引斜率为1的直线交椭圆于A、B

两点，贝"A引等于.

变式1.（2023•全国•高三对口高考）已知椭圆j+/=l,过左焦点P作倾斜角为工的直线交椭圆于A、B

96

两点，则弦48的长为.

22

变式2.（2023秋•福建莆田•高二校联考期末）已知椭圆二+2=1（。>6>0）的一个顶点为以0,4）,离心率

ab

e=也,直线/：>=x-4交椭圆于M,N两点.求弦MN的长.

5

1fV2

变式3.（2024秋.云南.高三云南师大附中校考阶段练习）斜率为三的直线/与椭圆C：二+乙=1交于A,

3364

B两点，且尸（3夜,@在直线/的左上方.若ZAP3=60。，则AF钻的周长是.

变式4.（2023秋・山东滨州•高二统考期末）已知椭圆C的两个焦点分别是£（-1,0）,巴（1,0）,并且经过点

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线/：y=x+%与椭圆C相交于A,8两点，当线段A8的长度最大时，求直线/的方程.

变式5.（2023春・河南开封•高二统考期末）已知点尸在圆。:必+y=4上运动，过点尸作x轴的垂线段尸

为垂足，M为线段PZ）的中点（当点尸经过圆与x轴的交点时，规定点M与点尸重合）.

⑴求点M的轨迹方程；

（2）经过点（班,0）作直线/,与圆。相交于A,8两点，与点M的轨迹相交于C3两点，若恒斗仁必=乎，

求直线/的方程.

22

变式6.（2023春・广东广州•高二统考期末）已知椭圆C:^+齐=1（°>6>。）的焦点坐标为片（T，°）、60，°），

点AL」十为椭圆C上一点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）经过点尸?且倾斜角为45。的直线,与椭圆C相交于M、N两点，。为坐标原点，求AOMN的面积.

变式7.（2023春・广东江门•高二统考期末）已知椭圆。/+。1（。＞人＞0）的离心率为弓,且与双曲线

/-犬=：有相同的焦距.

⑴求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A8,过左焦点歹的直线/交椭圆C于。E两点（其中点。在x轴上方），

求AAEF与NBDF的面积之比的取值范围.

22

变式8.（2023・陕西商洛•镇安中学校考模拟预测）已知耳,工分别为椭圆加：［+2=1（°＞6＞0）的左、右焦

ab

点，直线乙过点尸2与椭圆交于A，8两点，且耳工的周长为（2+忘）。.

⑴求椭圆M的离心率；

⑵直线4过点F?,且与4垂直，4交椭圆M于两点，若求四边形AC即面积的范围.

（二）中点弦问题

例1L（2023秋•安徽安庆・高二安庆市第二中学校考阶段练习）已知椭圆工+：=1的弦被点（1,1）平

分，则这条弦所在的直线方程为.

22

变式1.（2023春•新疆塔城•高二统考开学考试）已知过点MCM）的直线，与椭圆上+匕=1相交于A,B

42

两点，且线段A8以点〃为中点，则直线的方程是.

22

变式2.（2023・全国•高三对口高考）直线x+y-l=O截椭圆上+乙=1所得弦的中点M与椭圆中心连线。0

43

的斜率为.

变式3.（2023秋•高二课时练习）椭圆妙2+冲2=1与直线＞=1—无交于出，N两点，过原点与线段MN中

点的直线的斜率为正，则‘等于（）

2n

A.1B.变C.-D.立

2233

22

变式4.（2023・吉林长春•东北师大附中校考模拟预测）已知斜率为2:的动直线与椭圆r上v+二=1交于A8两

554

点，线段A8的中点为则M的轨迹长度为.

变式5.（2023春•广西•高二校联考阶段练习）在直角坐标系无2y中己知A（-5,0）,3（5,0）,尸是平面内一动

点，且直线B4和直线尸2的斜率之积为-g.记点尸的运动轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

（2）若直线/与曲线C相交于N两点.且线段的中点为求|MN|.

考点七：求椭圆的参数或范围问题

22

例12.（2023秋・广西钦州•高二校考阶段练习）已知点A,3是椭圆±+±=1上不关于长轴对称的

1612

两点，且48两点到点〃（加,0）的距离相等，求实数机的取值范围.

22

变式1.（2023秋・湖北荆州•高二沙市中学校考阶段练习）已知椭圆上+乙=1,若椭圆上存在两点A、B关

43

于直线y=4x+〃z对称，则机的取值范围是（）

22

变式2.（2023・全国•高二专题练习）已知椭圆C：工+2=1（a>人>0）的右焦点尸（c,0）,点P（x,y）

ab

是椭圆。上的一个动点.求证：a-c<\PF\<a+c.

22

变式3.（2023•全国•高三专题练习）已知椭圆+3=1的焦点为F2,椭圆上的动点尸坐标（5,%）在

第一象限，且/与尸鸟为锐角，%的取值范围为

变式4.（2023•高二课时练习）已知椭圆?+y2=i的两个焦点为耳，F2,尸（x,y）为椭圆上任意一点，求

使"PF?290。的x的取值范围.

22

变式5.（2023・全国•高三专题练习）若经过点E（l,0）的直线/与椭圆亍+]=1有A,8两个交点（其中点

A在x轴上方），求k目的取值范围.

考点八：求椭圆的最值问题

由例⑶22

（2023秋•高二课时练习）已知点尸（x,y）是椭圆器+卷=1上一点，求点尸到点A（3,0）的距

离的取值范围.

2

变式1.（2023•全国•高三专题练习）己知椭圆C:（+f=1的右顶点为A,P为C上一点，则为1的最大值

为.

变式2.（2023春•广东茂名•高二统考期末）已知椭圆。：捺+，=1（4>6>0）的离心率为手，下顶点为3,

点/为C上的任意一点，则|阿|的最大值是（）

A.当bB.肥bC.拒bD.2b

丫225

变式3.（2023・全国•高二专题练习）已知点尸在椭圆±+±=1上运动，点。在圆（元-1）2+9=-上运动，

938

则|尸。的最小值为.

变式4.（2023秋•江苏苏州•高二统考期末）若且尸在;+[=1上，Q在圆红-1）2+丁=；上，

则；|24|+|尸0|的最小值为.

变式5.（2023秋・广东佛山・高二佛山一中校考阶段练习）已知点P（a,b）是曲线（x-2y+2）•，12-3炉-49=0

上的动点则1+,+；|的取值范围是.

考点九：椭圆的定点、定值问题

例14.（2023・福建福州•福建省福州第一中学校考模拟预测）己知椭圆E：[+'=ig>Z>>0）离心

率为孝，焦距为2VL

⑴求E的方程；

（2）过点T。,。）分别作斜率和为1的两条直线4与4,设4交E于A、8两点，4交E于C、。两点，AB,CD

的中点分别为M、N.求证：直线过定点.

22

变式1.（2023春・陕西西安•高二西安市铁一中学校考阶段练习）已知椭圆C：，+多=1（。>6>0）的离心

率为孝，左、右顶点分别为A、B,点、P、。为椭圆上异于4、8的两点，A/MB面积的最大值为2.

⑴求椭圆C的方程；

（2）设直线AP、8。的斜率分别为6、k2,且3勺=5右.求证：直线尸。经过定点.

变式2.（福建省泉州市部分中学2022-2023学年高二下期末联考数学试题）己知。为坐标原点，点尸到点

产（1,0）的距离与它到直线/：x=4的距离之比等于记尸的轨迹为「.点A,8在「上，£48三点共线，M

为线段48的中点.

(1)证明：直线与直线的斜率之积为定值；

(2)直线与/相交于点N,试问以为直径的圆是否过定点，说明理由.

丫2v21

变式3.(2023春.上海崇明.高二统考期末)已知椭圆「*+方=1(°>10)的离心率是万，其左、右焦点分

别为耳、F2,过点3(0,6)且与直线8耳垂直的直线交x轴负半轴于£).

(1)设6=24,求。的值；

(2)求证：2根+@=6；

(3)设a=2,过椭圆「右焦点F?且不与坐标轴垂直的直线/与椭圆「交于尸、。两点，点M是点尸关于x轴

的对称点，在x轴上是否存在一个定点N,使得M、Q、N三点共线？若存在，求出点N的坐标；若不存

在，说明理由