微元法（讲义）-2025年高考物理二轮复习（新高考）含解析

微专题十微元法

目录

01考情透视•目标导航............................................................................2

.............................................................................................................................................................................................................3

.............................................................................................................................................................................................................3

....................................................................................................................................................................................................4

一、微元法................................................................................4

二、微元法的解题步骤.......................................................................4

....................................................................................................................................................................................................4

....................................................................................................................................................................................................5

考向一静动力学中的微元法..................................................................5

考向二变力做功中的微元法..................................................................6

考向三柱状流体和离子模型中的微元法........................................................7

考向四均匀带电体电荷微元法................................................................8

考向五电磁感应中棒类模型的微元法..........................................................9

考向六带电粒子在磁场中的微元法...........................................................10

考情透视・目标导航

题统计

2024年2023年2022年

命题要点

2024湖南卷T82023全国甲卷T122022山东卷T3

热

考2024全国甲卷T122023江西卷T152022福建卷T8、15

微元法

角2024海南卷T132022辽宁卷T15

度

从近三年高考试题来看，试题以计算题为主，大多在电磁感应中考查单双棒

命题规律

问题，在其中应用动量定理处理安培力冲量时多用到微元法。

预计在2025年高考中，还会多以考查电磁感应现象中的单双棒问题，从中

考向预测

用微元法，解决安培力的冲量问题，这种类型的题目应多关注。

命题情景多以典型的电磁感应中单双棒为命题背景

常用方法微元法

小知识导图•思维引航\\

I核心精讲4

—•，一―微元法

微元法是一种处理物理问题的方法，它从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体问

题的目的。微元法的核心思想是“化整为零”，即先分析“微元”，再通过“微元”分析整体。这种方法

通过将问题分解为众多微小的“元过程”，每个“元过程”所遵循的规律是相同的，然后对“元过程”进

行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。

二、微元法的解题步骤

1.明确研究对象或研究过程，并对其进行合理的分割，选择适当的微元。微元的选取应尽量简单，便于分析

处理，可以是长度、时间、质量等基本物理量。

2.对微元进行分析，找出其满足的物理规律。可以使用基本的物理公式或定理，也可以根据具体情况建立新

的物理模型。

3.对微元进行数学处理，包括代数运算、微积分等。这一步是微元法的核心，需要熟练掌握数学工具。

4.将微元的结果进行累加或累乘，得到整体的结果。这一步需要注意物理量的方向、正负号等问题。

对整体结果进行讨论和解释，明确其物理意义和适用范围。需要注意的是，微元法虽然是一种有效的解题

方法，但并不是万能的。在应用微元法时，应充分考虑其适用范围和局限性，避免出现错误或遗漏。

j真题研析］

1.（2022•山东•高考真题）半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于。点，环上均匀分布着电量

为。的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、8处两段弧长均为AL的小圆弧上的电荷。将一点电荷

q置于OC延长线上距。点为2R的。点，。点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变,q为（）

、十尾*QALc十*y/3QAL

A.正电何，q=------B.正电何，q=------

兀RTIR

C.负电荷，4=改丝D.负电荷，q=2+Q'L

兀RTIR

【技巧点拨】

（1）明确点电荷场强的计算公式；

（2）利用微元法结合场强矢量叠加原则，求解电荷量。

2.（多选）（2024・湖南•高考真题）某电磁缓冲装置如图所示，两足够长的平行金属导轨置于同一水平面

内，导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连，导轨段与8G段粗糙，其余部分光滑，A4右侧处于竖直

向下的匀强磁场中，一质量为根的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度%沿导轨向右经过A4进入

磁场，最终恰好停在CG处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R,与粗糙导轨间的摩擦因数为〃，

AB=BC=d,导轨电阻不计，重力加速度为g,下列说法正确的是（）

C

XX

RXX

XX

d——d—H

A.金属杆经过网的速度为年

B.在整个过程中，定值电阻R产生的热量为:

C.金属杆经过441g内与B4GC区域，金属杆所受安培力的冲量相同

D.若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2倍

【技巧点拨】

（1）根据动能定理，求解产生的热量多少；

（2）利用微元法和动量定理求解速度、冲量和距离。

;命题预测.

考向一静动力学中的微元法

3.（多选）（2024高三.全国•模拟预测）从地面上以初速度W竖直向上抛出一质量为根的球，若运动过程

中球受到的空气阻力与其速率成正比，球运动的速率随时间变化规律如图所示，〃时刻到达最高点，再落回

地面，落地时速率为V/,且落地前球已经做匀速直线运动。已知重力加速度为g,则（）

V

A.球上升的时间等于下落的时间

B.球上升阶段阻力的冲量大于下落阶段阻力的冲量

C.球上升的最大高度H二（“一劭

g

/、

D.球抛出瞬间的加速度大小%=g1+乜

IvoJ

4.（多选）（2024•全国•模拟预测）随着我国体育在国际体育产业地位的不断提高，2023年多场大型高尔

夫球赛事落地中国。高尔夫球比赛过程中教练员可根据风力指示杆上飘带的形态提示运动员现场风力的情

况。若飘带可视为粗细一致，其所处范围内风速水平向右、大小恒定且不随高度改变。设飘带的总长度为L

质量为“2,宽度为d,风速为V,空气密度为可认为风与飘带相互作用后速度变为0。如图所示现截取

极小的一段△/研究，设其与竖直方向的夹角为凡则下列说法正确的是（）

A.风对该段飘带的水平作用力为0cos。

B.风对该段飘带的水平作用力为0dA\2cosO

C.整条飘带应呈一条向上弯曲的曲线形态

D.整条飘带应呈一条倾斜直线形态

考向二变力做功中的微元法

5.（2022.贵州黔南.模拟预测）在多年前的农村，人们往往会选择让驴来拉磨把食物磨成面，假设驴对磨

杆的平均拉力为600N,半径「为0.5m,转动一周为5s,则（）

B.驴转动一周拉力所做的功为650R

C.驴转动一周拉力的平均功率为120;rW

D.磨盘边缘的线速度为Qbrm/s

6.（多选）（2023•山东青岛•模拟预测）冬天的北方，人们常用狗来拉雪橇。一条狗用水平拉力拉着质量

为80kg的雪橇（包括内部物品），在水平雪面做半径为24m的匀速圆周运动，速度大小为3m/s,雪橇与

地面间的动摩擦因数0.05,重力加速度取10m/s2,cos53°=0.6o下列说法正确的是（）

A.雪橇受到狗的水平拉力大小为40N

B.狗给雪橇的水平拉力方向与雪橇前进方向成37°

C.狗给雪橇的水平拉力功率为150W

D.狗拉着雪橇转过30。圆弧的过程中，雪橇克服地面摩擦力做功160兀J

考向三柱状流体和离子模型中的微元法

7.（2024・安徽合肥・二模）我国是世界上第三个突破嵌套式霍尔电推进技术的国家。霍尔推进器的工作原

理简化如下图所示，放电通道的两极间存在一加速电场。工作物质氤气进入放电通道后被电离为氤离子，

经电场加速后以某一速度喷出，从而产生推力。某次实验中，加速电压为U,款离子向外喷射形成的电流

强度为/.氤离子的电荷量与质量分别为q和相，忽略离子的初速度及离子间的相互作用，则离子推进器产

生的推力为（）

8.（多选）（2024・福建•三模）如图所示，消防员正在进行消防灭火演练，消防员用高压水枪喷出的强力

水柱冲击着火物，设水柱直径为D以水平速度V垂直射向着火物，水柱冲击着火物后速度变为零。高压水

枪的质量为消防员手持高压水枪操作，进入水枪的水流速度忽略不计，水的密度为下列说法正确

的是（）

A.水枪的流量为1兀uD?

B.水枪的功率为：兀0£?2,

C.水柱对着火物的冲击力为2V2

O

D.向前水平喷水时，消防员对水枪的作用力方向向前且斜向上方

考向四均匀带电体电荷微元法

9.（2023・河北•模拟预测）已知均匀带电薄壳外部空间电场与其上电荷全部集中在球心时产生的电场一样，

内部空间的电场处处为0.如图所示为一带电量为+Q,半径为，的均匀带电球壳，以球心为坐标原点，建

立。r轴，其中A点为壳内一点，8点坐标为2R,静电力常量为公下列说法正确的是（）

A.将+4的试探电荷由壳内A点移到。点，试探电荷的电势能减小

B.在圆心。处放一个电量为-2。的点电荷，球壳外表面带电量仍为+Q

C.在+R处取走极小的一块面积A5,。点场强大小为石=然^

D.在圆心。正上方处取走极小一块面积AS,B点场强大小为峪

ZSJTIR

10.（24-25高三上•河北・开学考试）如图，一均匀带正电荷的圆环，其半径为R,圆心为。，AB和C。为

圆环的直径，A8与C。垂直，尸点为圆弧AC的二等分点，四分之一圆环AC部分的全部正电荷在圆心。处

产生的电场强度大小为4,关于圆环各部分电荷在圆心。处产生的电场强度，说法正确的是（）

A.整个圆环全部正电荷在圆心。处产生的电场强度大小为44

、_3

B.四分之三圆环部分的全部正电荷在圆心。处产生的电场强度大小为^耳)

C.半圆环ACB部分的全部正电荷在圆心。处产生的电场强度大小为2&E0

D.八分之一圆环AP部分的全部正电荷在圆心。处产生的电场强度大小为V2+V2

考向五电磁感应中棒类模型的微元法

11.(2024.全国甲卷・高考真题)如图，金属导轨平行且水平放置，导轨间距为L,导轨光滑无摩擦。定值

电阻大小为R,其余电阻忽略不计，电容大小为C。在运动过程中，金属棒始终与导轨保持垂直。整个装置

处于竖直方向且磁感应强度为B的匀强磁场中。

(1)开关S闭合时，对金属棒施加以水平向右的恒力，金属棒能达到的最大速度为川。当外力功率为定值电

阻功率的两倍时，求金属棒速度v的大小。

(2)当金属棒速度为v时，断开开关S,改变水平外力并使金属棒匀速运动。当外力功率为定值电阻功率的

两倍时，求电容器两端的电压以及从开关断开到此刻外力所做的功。

R

I——1--------------------1

12.(2025•全国•模拟预测)如图甲所示，在光滑绝缘水平桌面上平放一闭合正方形导线框成加，其阻值

R=0.2O,边长L=0.4m,边界平行的有界磁场的宽度为L磁感应强度大小B=0.5T、方向竖直向下。线

框以大小为%=(应m/s的初速度水平向右沿与磁场边界垂直的方向运动，当时边与磁场左边界间的距离为

L时线框受到一水平向右的恒定拉力厂作用，刃边运动到磁场左边界时立即撤去力F,线框加速度随位移

图甲图乙

⑴线框进入磁场的过程通过线框某一横截面的电荷量;

(2)%=0.4m时线框的速度大小；

(3)力尸的大小。

考向六带电粒子在磁场中的微元法

13.（2025•云南昆明•一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第三象限内，区域I（x<-L）内有方向

垂直xOy平面向外的匀强磁场；区域H（-L<x<0）内有一平行纸面且大小、方向均未知的匀强电场（图

中未画出）。一质量为加、电荷量为q（4>0）的粒子从点a（-2L,-2L）沿y轴正方向、以大小为%的

L

初速度开始运动，从点b（-L,-乙）沿X轴正方向进入区域n,粒子在电场中运动时间「后，从坐标原

2%

点进入第一象限，第一象限内存在垂直无Oy平面向里的磁场，该磁场内各点的磁感应强度大小与与横坐标

尤满足与=履（左为大于0的常量）。不计粒子重力，求：

（1）区域I内匀强磁场磁感应强度耳的大小；

（2）区域H内匀强电场场强E的大小；

（3）该粒子在第一象限内运动过程中与y轴的最大距离。

14.（2024・福建厦门•二模）如图所示，直角坐标系xOy平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀

强磁场2和沿y轴正方向的匀强电场E,E、B大小均未知。质量为相、电荷量为一q（q>0）的粒子从无轴

负半轴M点与无轴正方向成60。射入电场，经电场偏转后以速度vo从点P（0,d）垂直y轴进入磁场，最后

从N点与x轴正方向成60。射出磁场，不计粒子重力。

（1）求粒子进入电场时的速度大小；

（2）求磁感应强度B的大小；

（3）若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力/=E（左为已知常量），粒子恰好从。点（图中未标出）

垂直x轴射出磁场，求。点的坐标；

（4）在第（3）问的情况下，求粒子从P点运动到。点的轨迹长度。

题统计

2024年2023年2022年

命题要点

2024湖南卷T82023全国甲卷T122022山东卷T3

热

考2024全国甲卷T122023江西卷T152022福建卷T8、15

微元法

角2024海南卷T132022辽宁卷T15

度

从近三年高考试题来看，试题以计算题为主，大多在电磁感应中考查单双棒

命题规律

问题，在其中应用动量定理处理安培力冲量时多用到微元法。

预计在2025年高考中，还会多以考查电磁感应现象中的单双棒问题，从中

考向预测

用微元法，解决安培力的冲量问题，这种类型的题目应多关注。

命题情景多以典型的电磁感应中单双棒为命题背景

常用方法微元法

小知识导图•思维引航\\

1核心精讲4

—•，一―微元法

微元法是一种处理物理问题的方法，它从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体问

题的目的。微元法的核心思想是“化整为零”，即先分析“微元”，再通过“微元”分析整体。这种方法

通过将问题分解为众多微小的“元过程”，每个“元过程”所遵循的规律是相同的，然后对“元过程”进

行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。

二、微元法的解题步骤

1.明确研究对象或研究过程，并对其进行合理的分割，选择适当的微元。微元的选取应尽量简单，便于分析

处理，可以是长度、时间、质量等基本物理量。

2.对微元进行分析，找出其满足的物理规律。可以使用基本的物理公式或定理，也可以根据具体情况建立新

的物理模型。

3.对微元进行数学处理，包括代数运算、微积分等。这一步是微元法的核心，需要熟练掌握数学工具。

4.将微元的结果进行累加或累乘，得到整体的结果。这一步需要注意物理量的方向、正负号等问题。

对整体结果进行讨论和解释，明确其物理意义和适用范围。需要注意的是，微元法虽然是一种有效的解题

方法，但并不是万能的。在应用微元法时，应充分考虑其适用范围和局限性，避免出现错误或遗漏。

j真题研析］

1.（2022•山东•高考真题）半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于。点，环上均匀分布着电量

为。的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、8处两段弧长均为A£的小圆弧上的电荷。将一点电荷

q置于OC延长线上距。点为2R的。点，。点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变,q为（）

,T»升QMC十届*yf3QAL

A.正电荷，q-------B.正电何，q=------

nR”兀R

C.负电荷，q=改丝D.负电荷，其1四

兀RTIR

【答案】C

【详解】取走A、8处两段弧长均为AL的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，圆环在。点产生的电场强度

为与A在同一直径上的4和与B在同一直径上的助产生的电场强度的矢量和，如图所示，因为两段弧长非

QNL

常小，故可看成点电荷，则有p万一上。羽由图可知，两场强的夹角为120。，则两者的合场强为

已I1=K;2-=K------r

R2兀

E=g=Z曰根据。点的合场强为0,则放在。点的点电荷带负电，大小为笈=£=左器根据

2兀N2万收

E'=联立解得4=跑廿故选C。

（2人）nR

•-

D

【技巧点拨】

（1）明确点电荷场强的计算公式；

（2）利用微元法结合场强矢量叠加原则，求解电荷量。

2.（多选）（2024.湖南・高考真题）某电磁缓冲装置如图所示，两足够长的平行金属导轨置于同一水平面

内，导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连，导轨2C段与4G段粗糙，其余部分光滑，AA右侧处于竖直

向下的匀强磁场中，一质量为机的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度%沿导轨向右经过A4进入

磁场，最终恰好停在CG处。己知金属杆接入导轨之间的阻值为R,与粗糙导轨间的摩擦因数为〃,

AB=BC=d.导轨电阻不计，重力加速度为g,下列说法正确的是（）

A\B—\C

I

XX;XX

I

：

RXXIXX

I

XXX!XXX；XX

A.金属杆经过2瓦的速度为当

B.在整个过程中，定值电阻R产生的热量为:加喏

c.金属杆经过"48与84GC区域，金属杆所受安培力的冲量相同

D.若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2倍

【答案】CD

【详解】A.设平行金属导轨间距为L金属杆在区域向右运动的过程中切割磁感线有E=B加，

1=—金属杆在AAiBiB区域运动的过程中根据动量定理有—BILM=mAv贝U-更丝At=mAv由于

27?2R

d=EvtAt,则上面方程左右两边累计求和，可得-岁旦=mvB-mv0则喔=%-岁旦设金属杆在BBQC

2R2mR

D2r27

区域运动的时间为to,同理可得，则金属杆在B8/GC区域运动的过程中有-匕巴-〃〃7gr°=-%VB解得

2R

支出+综上有多+幺等〉?则金属杆经过皿的速度大于多，故A错误；

112mR82222

B.在整个过程中，根据能量守恒有:加说=〃侬〃+。则在整个过程中，定值电阻R产生的热量为

QR=：Q=；根〃相gd故B错误；

A2r2p2r2

C.金属杆经过AA/B/B与3B/GC区域，金属杆所受安培力的冲量为-2台尼加二-2”匕加二色上则金

2R2R

属杆经过A4出力与B2/GC区域滑行距离均为4,金属杆所受安培力的冲量相同，故C正确；

D.根据A选项可得，金属杆以初速度%在磁场中运动有-里!衿一8务=一m%金属杆的初速度加倍，

2

设此时金属杆在2SC/C区域运动的时间为〃，全过程对金属棒分析得-三B三T?X-〃/gf'=O-2根％联立整理

2R

得92(龙-4叽mg(2r0-f)分析可知当金属杆速度加倍后,金属杆通过BBCC区域的速度比第一次大，

故/'</。，可得x>4d可见若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2倍，故D

正确。故选CD。

【技巧点拨】

(1)根据动能定理，求解产生的热量多少；

(2)利用微元法和动量定理求解速度、冲量和距离。

命题预测.

考向一静动力学中的微元法

3.（多选）（2024高三.全国•模拟预测）从地面上以初速度vo竖直向上抛出一质量为,"的球，若运动过程

中球受到的空气阻力与其速率成正比，球运动的速率随时间变化规律如图所示，〃时刻到达最高点，再落回

地面，落地时速率为v/,且落地前球已经做匀速直线运动。已知重力加速度为g,则（）

A.球上升的时间等于下落的时间

B.球上升阶段阻力的冲量大于下落阶段阻力的冲量

C.球上升的最大高度"=3。—g'l）"

g

/、

D.球抛出瞬间的加速度大小%=g1+—

IvoJ

【答案】C

【详解】A.由于上升过程与下落过程的位移大小相等，又有速度-时间图像与时间轴所围面积表示位移可

知，上升过程中的平均速度大于下落过程中的平均速度，则小球在运动的全过程，上升的时间小于下落的

时间，故A错误；

B.由题意可得，阻力与速率的关系为4=人故阻力的冲量大小为4=耳"=五仁依其中x表示位移，因为

上升过程和下落过程位移相同，则上升和下降过程冲量大小相等，故B错误；

C.设上升时加速度大小为m由牛顿第二定律得相g+E=〃幻解得a=g+&y取极短。时间，速度变化Av有

m

上kk

Av=-a\t=-gAt——v-Az,必/=A/z上升全程，贝!j有ZAu=0-%=—gEA/——£八%则%=曰1+—〃空气阻

mmm

力与其速率成正比，最终以以匀速下降，由平衡条件则有机g=在联立解得"=止星丛故C正确；

g

D.小球抛出瞬间，由牛顿第二定律则有其中上=螫解得球抛出瞬间的加速度大小为

V1

+故D错误。故选C。

4.（多选）（2024.全国•模拟预测）随着我国体育在国际体育产业地位的不断提高，2023年多场大型高尔

夫球赛事落地中国。高尔夫球比赛过程中教练员可根据风力指示杆上飘带的形态提示运动员现场风力的情

况。若飘带可视为粗细一致，其所处范围内风速水平向右、大小恒定且不随高度改变。设飘带的总长度为L

质量为能，宽度为d,风速为v,空气密度为0,可认为风与飘带相互作用后速度变为0。如图所示现截取

极小的一段△/研究，设其与竖直方向的夹角为。，则下列说法正确的是（）

A.风对该段飘带的水平作用力为“so

B.风对该段飘带的水平作用力为0dA/cosO

C.整条飘带应呈一条向上弯曲的曲线形态

D.整条飘带应呈一条倾斜直线形态

【答案】BD

【详解】AB,长度为△/的飘带质量为=。根风吹到长度为A/的飘带上的有效面积S=dA/cos。则在极

短时间加内撞击到有效面积的风的质量Am'=pSvAt根据动量定理FM=Am”联立解得F=夕根

据牛顿第三定律?二尸二夕如、2cose故A错误，B正确;

CD.根据三力平衡的条件和几何关系可知tan6==皿门。，。整理得上%=2叱可见微元飘带与

\mgmgcos8mg

竖直方向的夹角仅取决于空气密度、风速及飘带整体的相关性质，与所取得微元飘带本身并无关系，也就

是说，飘带的各部分与竖直方向的夹角都是相同的，因此飘带应呈一条倾斜的直线的形态，故C错误，D

正确。故选BD。

考向二变力做功中的微元法

5.（2022.贵州黔南.模拟预测）在多年前的农村，人们往往会选择让驴来拉磨把食物磨成面，假设驴对磨

杆的平均拉力为600N,半径厂为0.5m,转动一周为5s,则（）

B.驴转动一周拉力所做的功为6509

C.驴转动一周拉力的平均功率为120;rW

D.磨盘边缘的线速度为0.1〃m/s

【答案】C

【详解】AB.驴对磨的拉力沿圆周切线方向，拉力作用点的速度方向也在圆周切线方向，故可认为拉磨过

程中拉力方向始终与速度方向相同，故根据微分原理可知，拉力对磨盘所做的功等于拉力的大小与拉力作

用点沿圆周运动弧长的乘积，则磨转动一周，弧长

L=2兀r=欣m)

所以拉力所做的功

W=FL=600x万J=600万J

故AB错误；

C.根据功率的定义得

史叨W=120»W

t5

故C正确；

D.线速度为

2万r2%x0.5._.,

v=-----=-----------m/s=O.z^rn/s

T5

故D错误。

故选C。

6.（多选）（2023•山东青岛•模拟预测）冬天的北方，人们常用狗来拉雪橇。一条狗用水平拉力拉着质量

为80kg的雪橇（包括内部物品），在水平雪面做半径为24m的匀速圆周运动，速度大小为3m/s,雪橇与

地面间的动摩擦因数0.05,重力加速度取10m/s2,cos53°=0.6o下列说法正确的是（）

A.雪橇受到狗的水平拉力大小为40N

B.狗给雪橇的水平拉力方向与雪橇前进方向成37°

C.狗给雪橇的水平拉力功率为150W

D.狗拉着雪橇转过30。圆弧的过程中，雪橇克服地面摩擦力做功160兀J

【答案】BD

【详解】A.狗拉雪橇的水平拉力有两个作用效果，一个作用效果平衡雪橇做圆周运动时切向受到的摩擦力,

233

另一个作用效果使雪橇做圆周运动，根据雪橇做圆周运动，由牛顿第二定律有《=加余v■=80x五N=30N在

雪橇前进的方向上始终有F切=Mg=40N则可得雪橇受到狗的水平拉力大小为F==SON

F3

B.狗给雪橇的水平拉力方向与雪橇前进方向之间夹角的正切值为tane=h=i可得夹角夕=37。故B正确;

*切4

C.狗给雪橇的水平拉力功率为P=Fwv=40x3W=120W故C错误；

D.狗拉着雪橇转过30。圆弧的过程中，雪橇克服地面摩擦力做功皿=《〃加g-2万R=160万J故D正确。故选

BD。

考向三柱状流体和离子模型中的微元法

7.（2024•安徽合肥・二模）我国是世界上第三个突破嵌套式霍尔电推进技术的国家。霍尔推进器的工作原

理简化如下图所示，放电通道的两极间存在一加速电场。工作物质氤气进入放电通道后被电离为氤离子，

经电场加速后以某一速度喷出，从而产生推力。某次实验中，加速电压为U,流离子向外喷射形成的电流

强度为/.氤离子的电荷量与质量分别为q和相，忽略离子的初速度及离子间的相互作用，则离子推进器产

生的推力为（）

放电通道©*G*

G>

G>

阳极阴极

【答案】D

【详解】伍离子经电场加速，根据动能定理有机。2-o解得丫=I辿设单位体积内离子数目为〃，加

m

速喷出时截面积为S,在加时间内，有质量为△加的债离子以速度V喷射而出Am=根的形成电流为/：

bmU\2mU

I=阳Sv由动量定理可得FM=Amv联立可得F=［于离子推进器产生的推力为/小子。故选D。

8.（多选）（2024・福建•三模）如图所示，消防员正在进行消防灭火演练，消防员用高压水枪喷出的强力

水柱冲击着火物，设水柱直径为D以水平速度V垂直射向着火物，水柱冲击着火物后速度变为零。高压水

枪的质量为消防员手持高压水枪操作，进入水枪的水流速度忽略不计，水的密度为下列说法正确

的是（）

A.水枪的流量为1兀uD?

B.水枪的功率为：兀0£?2,

C.水柱对着火物的冲击力为2V2

O

D.向前水平喷水时，消防员对水枪的作用力方向向前且斜向上方

【答案】BD

【详解】A.设△/时间内，从水枪喷出的水的体积为AV,质量为△根，则A和AV=SvM=-nD2v\t

4

流量万。2y,A错误；

At4

B.加时间内水枪喷出的水的动能为石卜=：Aww2二b小/加知高压水枪在此期间对水做功为

28

卬=线=1兀。。7加高压水枪的功率为尸=艺=!兀。。2优，B正确；

8Ar8

C.考虑一个极短时间在此时间内喷到着火物上水的质量为机，设着火物对水柱的作用力为凡由动量

22

定理得FM'=mvA/,时间内冲到着火物上水的质量为m=\pnDV\t'解得F=^npD-v由牛顿第三定律可

知，水柱对着火物的平均冲力为厂'=?=!兀00、2,c错误；

D.当高压水枪水平向前喷出高压水流时，水流对高压水枪的作用力水平向后，由于高压水枪有重力，根据

平衡条件，手对高压水枪的作用力方向斜向前上方，D正确。故选BD。

考向四均匀带电体电荷微元法

9.（2023・河北•模拟预测）已知均匀带电薄壳外部空间电场与其上电荷全部集中在球心时产生的电场一样，

内部空间的电场处处为0.如图所示为一带电量为+。，半径为r的均匀带电球壳，以球心为坐标原点，建

立3轴，其中A点为壳内一点，8点坐标为2R,静电力常量为匕下列说法正确的是（）

A.将+4的试探电荷由壳内A点移到。点，试探电荷的电势能减小

B.在圆心。处放一个电量为-2Q的点电荷，球壳外表面带电量仍为+Q

C.在+R处取走极小的一块面积AS,。点场强大小为E=

D.在圆心。正上方处取走极小一块面积AS,B点场强大小为片=锣二

【答案】C

【详解】A.壳内场强处处为0,故移动试探电荷不做功，A错误；

B.在圆心。处放一个电量为-2Q的点电荷，由于静电感应，球壳内表面感应出+2。的电荷，则球壳外表

面的电荷量为-。，B错误；

C.在+R处取走极小一块面积AS,根据对称性，在一尺处极小一块面积的电荷产生的电场

kASQQAS

c正确；

D.整个球壳在8点的电场与=空水平向右，在圆心。正上方处取走极小一块面积A5在8点的场强为

4=2,导0=鬟2方向斜向右下，4与E2矢量作差即为B点电场强度，D错误。故选C。

5A2\J7IR

10.（24-25高三上•河北・开学考试）如图，一均匀带正电荷的圆环，其半径为R,圆心为。，AB和C。为

圆环的直径，A8与CD垂直，尸点为圆弧AC的二等分点，四分之一圆环AC部分的全部正电荷在圆心。处

产生的电场强度大小为4,关于圆环各部分电荷在圆心。处产生的电场强度，说法正确的是（）

A.整个圆环全部正电荷在圆心。处产生的电场强度大小为4综

3

B.四分之三圆环AC3。部分的全部正电荷在圆心。处产生的电场强度大小为］综

C.半圆环AC8部分的全部正电荷在圆心。处产生的电场强度大小为2及

E。

八分之一圆环部分的全部正电荷在圆心。处产生的电场强度大小为

D.AP也+近

【答案】D

【详解】AB.圆环上取一微元电荷q,可视为点电荷，根据真空中点电荷电场强度计算公式，微元电荷q

q

在圆心。处产生的电场强度大小E=左圆环上电荷到圆心。的距离相同，都为R,则每个微元电荷q在

R2

圆心。处产生的电场强度大小都相等，方向从微元电荷指向圆心。，根据对称性和叠加原理可知整个圆环

全部正电荷在圆心。处产生的电场强度大小为0；同理，根据对称性和叠加原理可知圆环AC和部分全

部正电荷在圆心。处产生的电场强度大小为0,则四分之三圆环AC8D部分的全部正电荷在圆心。处产生

的电场强度大小相当于四分之一圆环部分在圆心。处产生的电场强度，四分之一圆环部分在圆心O

处产生的电场强度大小与四分之一圆环AC部分在圆心。处产生的电场强度大小相等，即为《，故AB错

误；

C.根据对称性可知四分之一圆环AC部分的全部正电荷在圆心。处产生的电场强度大小为综，方向沿PO

方向，圆环8C部分的全部正电荷在圆心。处产生的电场强度大小也为心,方向垂直于PO方向，根据叠

加原理和平行四边形定则可知半圆环部分的全部正电荷在圆心。处产生的电场强度大小为4

故C错误；

D.设八分之一圆环AP部分的全部正电荷在圆心。处产生的电场强度大小为马，根据对称性可知八分之一

圆环CP部分的全部正电荷在圆心O处产生的电场强度大小也为生，根据对称性和叠加原理可知两电场强

度方向夹角为45。,两电场强度矢量和即为四分之一圆环AC部分的全部正电荷在圆心O处产生的电场强度，

45。E=———=-=J。

所以有2七85二-=4解得22cos竺?/l+cos45°收二故D正确。故选D。

22^三

考向五电磁感应中棒类模型的微元法

11.（2024・全国甲卷・高考真题）如图，金属导轨平行且水平放置，导轨间距为L导轨光滑无摩擦。定值

电阻大小为凡其余电阻忽略不计，电容大小为C。在运动过程中，金属棒始终与导轨保持垂直。整个装置

处于竖直方向且磁感应强度为8的匀强磁场中。

（1）开关S闭合时，对金属棒施加以水平向右的恒力，金属棒能达到的最大速度为川。当外力功率为定值电

阻功率的两倍时，求金属棒速度v的大小。

（2）当金属棒速度为v时，断开开关S,改变水平外力并使金属棒匀速运动。当外力功率为定值电阻功率的

两倍时，求电容器两端的电压以及从开关断开到此刻外力所做的功。

R

I——1-------------------i-

【答案】（I）v=T；（2）U=也，w=CB"v。2

248

【详解】（1）开关S闭合后，当外力与安培力相等时，金属棒的速度最大，则