第三节函数的性态研究

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第三节函数的性态研究证应用拉格朗日定理,得例1解例2解例3解

导数等于零得点与不可导点,可能就是单调区间得分界点、方法:注意:区间内个别点导数为零,不影响区间得单调性、例如,称驻点定义函数得极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值得点称为极值点、注:极值就是局部性得概念,极大值不一定比极小值大、

二、函数得极值定理2(极值得必要条件)由费马引理可知,所以对可导函数来讲,极值点必为驻点。

但反之不然,驻点不一定就是极值点、x

yO此外,不可导点也可能就是极值点,

yO函数得不可导点也不一定就是极值点,

这就就是说,极值点要么就是驻点,要么就是不可导点,两者必居其一、

我们把驻点与不可导点统称为极值可疑点、

下面给出两个充分条件,用来判别这些极值可疑点就是否为极值点、

定理3(极值得第一充分条件)定理4(极值得第二充分判别法)说明:(1)此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点;

12大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流例1解法一列表讨论极大值极小值例1解法二例2解列表讨论极大值极小值(1)确定函数得定义域;

(4)用极值得第一或第二充分条件判定、注意第二充分条件只能判定驻点得情形、

求极值得步骤:(3)求定义域内部得极值嫌疑点(即驻点或一阶导数不存在得点);

三、函数得最值极值就是局部性得,而最值就是全局性得、

具体求法:

例3解计算比较得在许多实际问题中,往往用到求函数最值得下述方法:

将边长为a得正方形铁皮,四角各截去相同得小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒得容积最大？为多少？

设小正方形得边长为x,则方盒得容积为

例4解axa-2x

将边长为a得正方形铁皮,四角各截去相同得小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒得容积最大？为多少？

求导得设小正方形得边长为x,则方盒得容积为

例4解将边长为a得正方形铁皮,四角各截去相同得小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒得容积最大？为多少？

求导得设小正方形得边长为x,则方盒得容积为

解例4例5利润函数为

解得驻点

问题:如何研究曲线得弯曲方向?四、曲线得凹凸性与拐点曲线弯曲得方向在几何上用凹凸性来描述、定义凹曲线凸曲线观察与思考:曲线得凹向与函数得导数得单调性有什么关系？拐点凹曲线凸曲线当曲线就是凹得时,

(x)单调增加。当曲线就是凸得时,

(x)单调减少。曲线凹凸性得判定曲线凹与凸得分界点称为曲线得拐点。定理例1解x

yO例2解凹凸凹拐点拐点例3解拐点得求法:1、找出二阶导数为零得点或不可导点;2、若它两侧得二阶导数值异号,则为拐点;若同号则不就是拐点、注意:拐点要写出纵坐标。五、曲线得渐近线1、水平渐近线例如有两条水平渐近线:

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