指对幂等函数值大小比较的深度剖析（讲义）-2025年高考数学二轮复习提升

专题03指对幕等函数值大小比较的深度剖析

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图思维引航............................................................3

03知识梳理•方法技巧...........................................................4

04真题研析•精准预测............................................................5

05核心精讲题型突破...........................................................11

题型一：直接利用单调性11

题型二：引入媒介值13

题型三：含变量问题15

题型四：构造函数18

题型五：数形结合22

题型六：特殊值法'估算法26

题型七：放缩法29

题型八：同构法34

重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法38

差情;奏汨•日标旦祐

指'对、幕形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以

选择题为主.每年高考题都会出现，难度逐年上升.

考点要求目标要求考题统计考情分析

预测2025年高考趋

2024年北京卷第9题，5分

势，指对幕比较大小或以

2024年天津卷第5题，5分

掌握指对塞大小2022年新高考I卷第7题，5分小题压轴，预计：

指对幕比较大小比较的方法与技2022年天津卷第5题，5分(1)以选择、填空题型呈

巧2022年甲卷第12题，5分现，侧重综合推理。

2021年II卷第7题，5分

(2)构造灵活函数比较大

2021年天津卷第5题，5分

小将成为考查热点。

〃・知识导图•思维引航

㈤3

.n过偏—・—拈工弓

(1)利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a,b,C的大小.

(2)指、对、塞大小比较的常用方法:

①底数相同，指数不同时，如a'】和a，。，利用指数函数y=a，的单调性；

②指数相同，底数不同，如流和燧利用幕函数y=^单调性比较大小；

③底数相同，真数不同，如log^i和log/2利用指数函数logM单调性比较大小；

④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小

关系的判定.

(3)转化为两函数图象交点的横坐标

(4)特殊值法

(5)估算法

(6)放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法

(7)常见函数的麦克劳林展开式：

①e-+%+萧+…+p鬲产

②Sin久=X—捺+卷一…+(—1)'潦京+0(/+2)

③COSX=1+,_9+•••+(_磊+。(/与

④ln(l+%)=%—曰+?一…+(—1)九詈+o(/+i)

⑤=1+x+%2+…+xn+o(xn)

@(1+x)n=1+nx++o(%2)

0

//慎题砒如糖\\

1.(2024年新课标全国I卷数学真题)已知函数/(X)的定义域为R,/(x)>/(x-1)+/(%-2),且当久<3

时/(%)=久，则下列结论中一定正确的是()

A.7(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【解析】因为当x<3时f(x)=X,所以/(1)=1/(2)=2,

又因为/⑴>/(%-1)+/(x-2),

则f(3)>f(2)+/(1)=3/(4)>/(3)+f(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8/(6)>/(5)+/(4)>13/(7)>/(6)+/⑸〉21,

f(8)>f(7)+f(6)>34/(9)>f(8)+/⑺〉55/(10)>f(9)+/(8)>89,

/(ll)>/(10)+/(9)>144/(12)>/(ll)+/(IO)>233/(13)>/(12)+/(ll)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610/(15)>/(14)+/(13)>987,

f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000,则依次下去可知f(20)>1000,则B正确；

且无证据表明ACD一定正确.

故选：B.

2.(2024年天津高考数学真题)设a=4.2-。,2,匕=4.2。2,c-log4.20.2,则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】因为y=4.2，在R上递增，M-0,2<0<0,2,

所以0<4,2­0-2<4.2°<4.202,

所以0<4,2-。2<1<4,2。2,即o<a<l<b,

因为y=log4.2%在(0,+8)上递增，且0<0.2<1,

所以log4,20-2<log4.21=0，即c<0,

所以c<a<b,

故选：D

3.(2024年北京高考数学真题)已知(久1，月)，(久2,及)是函数丫=2"的图象上两个不同的点，贝U()

..八〜yi+yz/xi+xz口.yi+yz、刈+%2

A.log2^—<B.\og2—^—>

「iy-i+yz,,„,yi+vi、.

C.log2^-<%1+x2D.10g2->%1+%2

【答案】B

【解析】由题意不妨设％1<久2，因为函数y=2、是增函数，所以0<2整<20，即0<%<及，

对于选项AB：可得《詈>庄冬=2中，即工/>2券>0,

根据函数y=log2X是增函数，所以1嘀空>1嘀2空=空，故B正确，A错误；

对于选项D：例如肛=0/2=1，则yi=l,y2=2,

可得log2空=log2|e（0,l）,即10g2空<1=小+犯，故D错误：

1

对于选项C：例如=-1,%2=-2,贝1yl=*及=；，

可得log?"产=Iog2（=log23-36（-2,-1）,即log2号">一3=Xi+%2，故C错误，

故选：B.

4.（2023年天津高考数学真题）=1.01°-5,6=1.0106,c=O.605,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】由y=1.0y在R上递增，则a=1.01。・5<匕=

由y=在［0,+8）上递增，贝Ija=1.O105>c=O.605.

所以6>a>c.

故选：D

5.（2022年新高考天津数学高考真题）设。=2。乙b=（9°【c=log2|,贝b力,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

【解析】因为267>（1）>0=log2l>log2|,故a>b>c.

故选：D.

6.（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知96=104=106—11/=8机—9,贝|（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【解析】［方法一］:（指对数函数性质）

由9小=10可得m=log910=曾>1,而lg91gli<（鹭罗）2=（等y<i=（lgio）2,所以署〉品，即

m>lgll,所以a=10小—11>10恒11-11=0.

又lg81gl0<（咒31。）=（嘤）<（lg9）2,所以署>曾，Bpiog89>m,

所以匕=8小一9<81°889—9=0.综上，a>O>b.

［方法二］：【最优解】(构造函数)

由9nl=10,可得m=log910e(1,1.5).

根据a力的形式构造函数/(久)=xm-x-l(x>1),则/(尤)=mxm-1-1,

令/口)=0,解得孙=加右,由?n=logmW(1,1.5)知x()e(0,1).

f(x)在(1,+8)上单调递增，所以〃10)>/(8),即a>6,

又因为/(9)=91哂1。-10=0,所以a>0>b.

故选：A.

【点评】法—：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

法二：利用a力的形式构造函数/(幻=%加一x—l(x>l),根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是

该题的最优解.

7.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)已知a=f1,b=cos；,c=4sin；,贝|()

DZq4

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】［方法一］:构造函数

因为当x£(。弓)，尤<tan久

故?=4tan">l,故">1,所以c>b；

设/'(%)=COSX+-x2—l,xG(0,+OO),

「(%)=—sinx+x>0,所以/(%)在(0,+8)单调递增，

故府)>/(。)=0,所以cos；_||>0,

所以b>a,所以c>b>a,故选Z

［方法二］:不等式放缩

因为当汽£(0卷)sin%<x,

取％=!得：cos^=1-2sin21>1-=||,故b>a

o4-o\ozOZ

4sin［+cos：=V17sinG+9),其中9c(0,。，且sin?=^cosg=今

当4sin［+cos；=V17时，"+W=3及0=］一:

.,1411

止匕时sinj=cos(p=^=,cos-=sing=

,114.1.1.r,

故rcos1=而<=Sin-<4Asin-,故b<c

所以b>a,所以c>b>a,故选/

［方法三］:泰勒展开

设工％=0n.o2r5,则mil。=豆31=1《---0.2-52,b.=cos-1«.1---0.2-52+.0.254

.i

c=4sin；=苧*1+计算得c>b>a,故选A.

4

［方法四卜构造函数

因为(=4tan3，因为当(0,，sin%〈久Vtan%,所以tan［>；,即1,所以c>b；设/(久)=cos%+#

一1/6(0,+8),p(%)=-sinx+x>0,所以/(%)在(0,+8)单调递增，则f©>/(0尸0,所以cos»||

>0,所以b>a,所以c>b>a,

故选：A.

［方法五］:【最优解】不等式放缩

因为1=4tanj因为当％EV%<tan%,所以tan">/即1,所以c>b；因为当》£(0()》也

%<%,取'=!得cos==1_2si吟>1—2借=||,故b>a,所以c>b>a.

o4o\o/3N

故选：A.

【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法;

方法5：利用二倍角公式以及不等式xe(0(),sinx<x<tanx放缩，即可得出大小关系，属于最优解.

8.(2022年新高考全国I卷数学真题)设a=0.1eai,6=3c=—ln0.9,贝ij()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【解析】方法一：构造法

1V

设/'(%)=ln(l+x)—x(x>-1),因为尸(x)=4一1=一苗，

当万€(—1,0)时，((久)>0,当xe(0,+8)时r(%)<0,

所以函数/(*)=ln(l+x)—%在(0,+8)单调递减，在(一1,0)上单调递增，

所以偌></(。)=0,所以In与一9<3故《>1端=—ln0.9,即b>c,

」

9亲1

故

-<e所以<-

所以/(一为</(0)=0,所以1端玲<0,109

10

故Q<b,

设9(%)=+ln(l—%)(0<x<1),则=(x+l)ex+±="+)

令h(x)=ex(x2—1)+1,h!(x)=ex(x2+2x—1),

当0<久<鱼一1时，h'M<0,函数九(%)=二(%2—1)+1单调递减，

当鱼一1<%V1时，h!(x)>0,函数九(%)=二(%2-1)+1单调递增,

又九(0)=0,

所以当0<%<鱼一1时，/i(x)<0,

所以当0V%<鱼一1时，函数g(X)=疣久+ln(l—%)单调递增，

所以g(0.1)>g(0)=0,BPO.le0-1>—ln0.9,所以a>c

故选：C.

方法二：比较法

a=O.le01,b=,c=—ln(l—0.1),

①Ina—\nb=0.1+ln(l—0.1),

令/(%)=久+ln(l—x),xE(0,0.1］,

1—x

则f(x)=1--=0,

故f(x)在(0,0.1］上单调递减，

可得/(0.1)</(0)=0,即Ina-Inh<0,所以a<b；

②a-c—O.le01+ln(l—0.1),

令g(x)=xe*+ln(l—x),xE(0,0,1］,

则g'(x)=xe，+"一E=(1+，)(匚；)"i,

令k(x)=(1+x)(l—x)ex—1,所以kf(x)=(1—x2—2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1］上单调递增，可得k(x)>k(0)>0,即gf(x)>0,

所以g(%)在(0。1］上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,BPa—c>0,所以a>c.

故cVa<b.

9(2021年天津高考数学试题)设a=k)g2年36=logL。4c=0.4°汽则〃，b,c的大小关系为()

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

【答案】D

vlog20.3<log2l=0,Aa<0,

logi0.4=—log20.4=log2|>log22=1,

22

•・•0<O,40-3<0,4°=1,0<c<1,

a<c<b,

故选：D.

10.(2021年全国新高考n卷数学试题)已知。=log52,b=log83,c=1,则下列判断正确的是(

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】c

【解析】a=log52<log5Vs=|=log82V2<log83=b,即a<c<6.

故选：C.

11.(2021年全国高考乙卷数学(理)试题)设a=21nl.01,fo=lnl.O2,c=VL04-l.贝U()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】［方法一］:

a=21nl.01=lnl.012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=b,

所以力<a；

下面比较c与的大小关系.

记f(x)=21n(l+X)-Vl+4%+1,则f(0)=o,r(x)=2一

由于1+4久一(1+x)2=2x—x2=x(2—x)

所以当0cx<2时，l+4x—(l+x)2>0,即“+4x>(1+x),f(x)>0,

所以f(x)在［0,2］上单调递增，

所以/'(0.01)>f(0)=0SP21nl.01>VL04-l,即a>c；

令9(x)=ln(l+2x)-4+4x+l,则g(0)=0,g，Q)=备一瘾=#悬言学，

由于1+4%—(1+2x)2=—4%2,在x>0时，1+4%—(1+2%)2<0,

所以g'(%)V。即函数9(%)在［0,+8)上单调递减,所以g(0.01)Vg(0)=0,即lnl.02vVf前一1,即*c；

综上，b<c<a,

故选：B.

［方法二］:

令f(%)=—x—1(%>1)

(。)=-号出<°，即函数f(x)在(1，+8)上单调递减

/(V1+0.04)</(I)=0,・•.bVc

令9(%)=21n—X+1(1<%<3)

。'(久)=与詈包>0，即函数9(x)在(1，3)上单调递增

g(y/l+0.04)⑨⑴=0,•••a)c

综上，b<c<a,

故选：B.

题型一：直接利用单调性

【典例1-1】设a=2i，2,6=lg3,c=ln，则a、b、c的大小顺序为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

【答案】A

【解析】由函数、=111%7=坨%在（0,+8）上单调递增，可得lngvlnl=O,0=Igl<lg3<IglO=1.

因函数y=2%在R上单调递增，贝I。？>21=2.故IngVIni=0=Igl<lg3<1<21-2,

即Q>b>c.

故选：A

【典例1-2】（2024•高三•黑龙江鸡西•期中）已知函数f（%）=2、+%,5（x）=log2x+x,九（%）=炉+%的零点

分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】由函数解析式可知三个函数在定义域上均为单调递增函数.

-1

•••/(())=2。+0=1>0,=1=—5<0,故—l<a<0,

=lo§21+1=_1<0>5(1)=log21+1=1>0,故0<6<1,

h(0)=0,故c=0,

.,.a<c<b.

故选：B.

巧

利用指对塞函数的单调性判断

【变式1-1]已知a=log56力=logo,52,C=e12,比较q,[C的大小为()

A.b>a>cB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】c

【解析】因为函数y=log5X在（0,+00）上单调递增，

所以a=logs6<logs5=1,

又c<l,所以a>c,又因为函数y=logo,5%在（0,+8）上单调递减，

所以b=logo,52<logos】=0，因为c>0,

所以b<c,综上，a>c>b.

故选：C.

【变式1-2］已知a=0.33",6=（j1）（e为自然对数的底数）c-tanl,比较a,b,c的大小（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【解析】由三角函数线可得：不等式1&11汽>%>$也招工6（0,。，

则c=tanl>1,

又函数y=%e为增函数，y=0.33%为减函数，

则1>G）e>Q）e>0.33e>0.337r>0,

所以1>b>a,

综上所述：c>b>a,

故选D.

命题预测

5

1.(2024•江西新余•一模)故a=(y,b=(J,c=logy,则

3a,b,c的大小顺序是（）

A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

553

g、YI15、114

7>b=>1=logy>C=logy,

1.33

所以c<b<a,

故选：D

2.已知实数Q,b满足2。+a=2/=logi63,贝I()

A.a>bB.a<bC.ci—bD.a,6的大小无法判断

【答案】A

【解析】函数/(x)=2，+x在R上单调递增，S/(|)=V2+|<2,贝I］由2。+。=2,得a>:,

1

又b=log163<log164=-,所以a>b.

故选：A

题型二：引入媒介值

【典例2-1】(2024•高三•江西•期中)已知a=ln2,b=cos2,c=G),贝!Ja,b,。的大小顺序为()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【答案】A

【解析】Q=ln2>In盛=T，b=cos2<0,c=(g)=22=4,贝！Jc>a>b.

故选：A

Q1

【典例2-2】三个数Q=sin,,b=2例c=ln3—ln2的大小顺序是()

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

Q1O

【解析】Q=si丐E(0,1),fo=23>1,c=ln3—ln2=In-G(0,1),

所以b最大，

因为X**所以孚<sin|<L

因为9<e,所以,<五，则h4<lnV^=J,所以sin,>ln|,

4NNLNN

即cVaVb.

故选：B

巧

寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.

2

【变式2・1］已知a=log23,b=(|)3,c=cos(-|ji)-sin(-3，比较a,b,c的大小为()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】B

［解析］易知c=cos(—|兀)—sin(—=cos1+sin^=|,

a=log23>log2(2V2)=|=(|)=c>b=(|)l

故选：B

2

【变式2-2］已知a=ln4,b=lg4,c=Q)3,贝!J()

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<c<b

【答案】A

21.

【解析】因为ln4>Ine=1,lg4<IglO=1,lg4>IgVlO=Q)3<Q)2=

2

所以GT<】g4<ln4,所以c<bVa.

故选：A.

I命题预测31-

1.已知a=logo.48,b=log0.60.5,c=log23,贝！J()

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【解析】CL=logo_48<logo.41=0,而0.65=VO.216<VO.25=0.5<0.6,

则1=log0,60.6<log0,60.5<log0,60.62=-,又c=log23>log22V2=

所以c>b>a.

故选：D

2-已知。=总b=^c=l，则()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】D

【解析】由题意可得：a=^=^=log2e,h=^|=log23,c=|=log222=log2V8,

因为3>V8>e,且y=log2%在定义域(0,+8)内单调递增，

可得log23>Iog2V^>log2e,所以b>c>a.

故选：D.

3.已知a=k)gi.40.7,b=1.407,c=0.71-4,则a,b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

1407

【解析】由于a=logi,40.7<10gl.41=0，0<c=0.7<0.7°=1=1.4°<1,4=b,

所以a<c<b.

故选：B

题型三：含变量问题

bd2a2a

【典例3-1］［新考法］若0V2a<bV1,=a,x2=(2a),x3=b,x4=(2b)f则()

A.%4<%3V<%2B.<%2<%3<%4

C.x2<%1<%4<x3D.%3<%4<%1<X2

【答案】B

【解析】方法一：因为b>0,所以函数丫=/在9+8)上单调递增.

因为a>O所以abv(2a)"即%i<%2・

同理，由函数y=%?。在(0,+8)上单调递增，得扶即%3<%4.

因为0<2a<b,所以(2a)2a<b2a.

因为0V2a<1,所以y=(2a尸在R上单调递减，

所以(2a)b<(2a)2a,所以(2。*<炉。,即第2<%3，

所以％IV%2<%3V%4・

方法二：

由0v2aVb<l,令a=b=3,

oZ

1

r4

则"1='=乎，X2=:，丫3=(£)=当X4=1.

因为坐<1，所以％1V%2V%3<%4.

故选：B.

【典例3-2】(2024•高三•河北邢台・期中)已知1VmVnV2,口=俨,b=w,cfogHm,贝！JQ,瓦c的大小关

系是()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】A

【解析】因为所以)/=")=771久7=108几%在(0,+8)上均单调递增,

771n1

所以a=几>几1>L匕=m>m>1,c=lognm<lognn=1,即a>c,b>c,

对于a,6,构造函数/(%)=等=((尤)=胃二

易知e>x>0时，f'(x)>0,即此时函数单调递增，则/⑺</(>)=*<*

所以711nm<mlnn=>lnmn<lnnm,

因为y=ln%在(0,+8)上单调递增，所以血九〈九小，

综上a>b>c.

故选：A

国囱目巧

对变量取特殊值代入或者构造函数

【变式3-1](多选题)已知正数a力满足ea(l—lnb)=l,则()

1

A.e<b<e2B.ea+->2

C.ea>bD.ea-Inb>1

【答案】BCD

【解析】对于A中，因为a>0,可得0<?<1,又因为1—lnb=±,所以0<l—lnb<l,

可得0<lnb<l,解得lVbVe,所以A不正确；

对于B中，由a>0,则6。>1,则e。+±22口^=2,

当且仅当即a=0时，等号成立，因为a>0,所以6。+々>2,所以B正确，

QaQa

对于C中，由函数/(%)=/—%—1,可得r(%)=e、一l,

当％V0时，<0,/(%)单调递减；

当%>0时，/(%)〉0,/(%)单调递增，

所以=/(0)=0，则/(%)=e久一%—1N0,即

当且仅当久=0时，等号成立，

因为a>0时，因为即(1一111力)=1,可得1―1出7=6一。>一。+1,

所以a>lnb,即e。〉》，所以C正确；

对于D中，由1—lnb=e—。，所以e。+1—Inb=e。+。>2,可得e。一lnb>l,所以D正确.

故选：BCD.

【变式3-2](2024•陕西西安•统考一模)设a>/?>0,a+h=1且％=—(工)：'=log汹z=lo§(l+l)ah,则%,y,

z的大小关系是（）

A.x<z<yB.z<y<x

C.y<z<xD.x<y<z

【答案】A

【解析】由Q>b>0,a+b=1,可得0<bV1<aVl,

则z=lo8fll)ah=log必ab=loS±ab=-1

\a+b/abab

因为0Vb<1,所以logb。Vlogbb=1,则y=loSla=—log^a>—log)=—1,

因为t=——1,所以％<zVy.

故选：A.

［命题理测］

1.(多选题)若0<aVb<c,且Iga+1g匕+Ige=0,则下列各式一定成立的是()

A.20+2b>4B.ab<1C.a+c2>2D.a2+c>2

【答案】BC

【解析】因为lga+lgb+lgc=0,所以lgabc=0,则abc=l,

又由于OVaVbVc,所以OVaVl,c>1,ab=-,贝Ijabvl,故B正确；

因为">1,所以a+>2以etc?=2缶>2,故C正确；

当^二ab=1,c=2时，可20+2°=鱼+2<4,故A错误；

当口=专，b=,，c=|时，a2+c=1+|<2,故D错误.

故选：BC.

2.(多选题)若0<aVbVl,贝!J()

A.ab<baB.ab+1<a+b

rbra

C.a-<b-D.loga(l+Z?)>logb(l+a)

【答案】AC

【解析】A选项中，因为0<a<l,故丫=a”在R上单调递减，故加v废，

因为y=%。在(0,+8)上单调递增，故即<》。，综上，ab<aa<ba,A正确；

B选项中，由于a+b—ab—1=(a—1)(1—力)<0,而已知0Va<bVl,所以B不正确;

C选项中，ai-b<公―ao(l-b)lna<(1—a)lnb=署<的，

设/⑺=罟(0<X<1)，则/'(X)=言其。<X<1),

-I

设g(%)=Inx+--1(0<%<1),

则g'O)=没<o=g(x)>g(i)=>o,

所以在(0,1)上递增，这样/(a)</(b),故C正确；

D选项中,取a=5,b=l，则loga(l+b)=log\=log簪，logKl+a)=log得,

又竽=等>与>1，故1嗝(1+))=1。酷<1脸(1+砌=1。嘴，所以D错误.

故选：AC.

题型四：构造函数

【典例4-1](2024•陕西咸阳・模拟预测)已知a=i^,b=*c=M，贝心力,。的大小为()

A.b>c>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

【答案】D

【解析】因为。=苧=好=苧，©=(=臂，

i-(2x)-21nx_1—Inx

贝，(X)=

一(2x)22x2

所以当X6(0,e)时，尸。)>0,/(无)单调递增;

当xG(e,+8)时,/'(%)<0,/(x)单调递减;

所以a=f(2)<f(e)=c,b=f(3)<f(e)=c,

又因为。=宁_31_n_2__l_n84_l_n9__2_1_n3__l_n3

~TT~7272~^2~~~6~

所以c>b>a.

故选：D.

【典例4-2](2024•全国•模拟预测)若4=&，b=2,c=苧，则a,b,c的大小顺序为()

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【答案】B

【解析】构造函数f(x)=等，则a=f停),b=f(e),c=f(2),

由广(久)=^^，令((久)>。得。<x<e,令尸(x)<。得%>e,

则/(%)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减.

因为2<e,所以f(2)<f(e),所以c<6；

因为e<1,所以/'(e)>/(?),所以b>a；

令Xi%2=e2,且l<xi<e<X2，则/(打)_/(%2)=/(%1)_/(旨)=翳_(2一黑""，

令9⑴喈-号，久Me),

1-lnx

则丁(“)=黑=(1_lnx)缶>0,

2e2

所以g(x)在(l,e)上单调递增，

又9(e)=0，所以g(x)<0，所以fOi)</。2)，

因为qx2=e2,且l<2<e<，所以a=/'停)>f(2)=c,所以c<a<b.

故选：B

国国国

构造函数比大小是高考数学的重点题型，它可以从“形”与“数”两个角度入手解题。

“形”的构造：不等式两边的结构相似时，我们可以构建一个函数，通过分析这个函数的单调性，进而根据“若

函数g(x)单调递增，则X]2/Og(xj2g(x2)；若函数/(X)单调递减，再之工2=g(xjwg(x2)”

判断.

“数”的构造：观察到待比较式子间数与数的关系后，我们可据此构造函数.

【变式4-1】新考法|设函数/⑴=x+lnx,g(x)=xlnx-1,八⑴=1一§+1+?在(0,+8)上的零点分别

为a,b,c,则a,瓦c的大小顺序为()

A.c<b<aB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】因为/'(X)=x+lnx,f'(x)=1+|>0,所以/'(%)在(0,+8)上单调递增，

又因为/©=|-ln20<0/(1)=10>0,所以存在ae@,1)使得/(a)=0,

所以ae@,1),

1

因为9(%)=%ln%—1,g'(x)=Inx+1,令夕(久)=0,解得第=9

当xe(0,9时，^(%)<0,则g(x)在(0,目上单调递减，

当xeg,+8)时，)(久)>0,则g(x)在(0,9上单调递增，

又因为g(l)=—1<0,g(2)=21n2-1>0,l•,bG(1,2),

又/i(x)=1?xe(0,+00),所以〃(久)=等+：++>0,所以％(%)在(0,+8)上单调递增，

又陪)<0,h⑴>0,所以存在ceg,i)使得h(c)=0,所以b最大，

ell11C111

因为.=^=元=春>再，所以lng>ln斯=lneW=—5，

词=尾+江-0.5+30,二(1€出》,

又啕+红。，小信1)

a<c<b.

故选：B.

【变式4-2］已知。=遮，b=ln(V5+1),c=\^,试比较a,b,c的大小()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

［解析】设TH(%)=In%—%+1,

则当x>1时=--1<0,zn(x)单调递减，

故m(遮+1)=ln(V5+1)-(V5+1)+1<m(l)=0,

故In(乃+1)<乃，进而b<a,

设71(%)=41nx+x—6,

由于函数y=In%和y=支均为定义域内的单调递增函数,

所以?1(%)=41nx+%—6为(3,+8)上的单调递增函数，

因此n(遥+1)=41n(V5+1)+(V5+1)-6>n(3)=41n3-3>0,

故41n(代+1)+(V5+1)-6>0^>ln(V5+1)>-叱。+6=

故6>c,

因此a>b>c,

故选：B

命题预测

1.已知a=ln(sinl.O2),b=c=lnl.02,则()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<a<c

【答案】C

【解析】因为y=sinx在(0,()内单调递增，

Tl

则0=sinO<sinl,02<sin-=1,即sinl.02G(0,1),

又因为y=In%在(0,+8)内单调递增,

则a=ln(sinl,O2)<Ini=0,c=lnl.02>Ini=0,可得a<c；

令％=0.02,则匕=售^,c=ln(l+x),

构建f(x)=ln(l+>0,

1x

_(际<0,

则尸(%)=二一一二际=F

■*■十41+x22(l+x)Vl+x

可知f(x)在(0,+8)上递减,则/'(0.02)(0)=0,即c<b；

综上所述：a<c<b.

故选：C.

2.若a=g,b=cos(1—^),

C=~71,则a、b、c满足的大小关系式是().

A.a>b>cB.a<b<cC.a>c>bD.b>c>a

【答案】A

111jr1

【解析】显然§>/即a>c,而b=cosQ-5)=si丐,

设/(%)=x—sin%(0<%<1),求导得/(%)=1—cosx>0/(%)在(0,1)上单调递增,

则f(%)>/(0)=0,即当0<%<1时，x>sinx,因此a=g>sing=b；

设g(x)=sinx—%+y(0<%<1),求导得g<%)=cosx—1+y,

令夕(％)=cosx—1+y(0<x<1),(p'{x}=—sin%+%>0,

则函数9(%),即g'(x)在(0,1)上单调递增，g'(x)>