正切函数的图象与性质

第07讲正切函数的图象与性质

知识清单

知识点01正切函数的图像与性质

解析式y二=tanx

：）\n

图象!一心E

。/111•

“一£R,且xW,+左兀，

定义域

值域R

周期71

奇偶性奇函数

对称中心佟o),kQZ

卜配）上GZ内都是增函数

单调性在开区间（一微+E，Y

【即学即练1】（2122高一下•上海长宁•期中）函数y=tan（3x-?J的单调增区间是.

71k7l71k7l

【答案】--------1------,-----1------，左£Z

12343

【分析】根据正切函数的单调性即可得出答案.

【详解】解：令一女下<3无一~-<—+k7i,

242

/口兀k汽兀krc1「

得+—<%<—+—,keZ,

12343

所以函数，，!1,-3的单调增区间是1-^|+浮9+",%€2.

故.答案为:（「五兀+丁kjr丁兀牙女%）卜7合.

题型精讲

题型一：正切函数的图象

1.（2223高一下•上海浦东新■阶段练习）&=2桁+力仕©2）是1311々=1；111£的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.既非充分也非必要条件D.充要条件

【答案】C

【分析】利用特值法，结合充分必要条件的定义即可

【详解】由于a==r满足tana=tan£,但推不出a=2fai+£优eZ）,故必要性不满足；

由于c=g,4=］满足。=2析+分亿eZ）,但正切值不存在，所以充分性不满足；

所以&=2航+尸化eZ）是tana=tan/的既非充分也非必要条件

故选：C

2.（高一下,上海浦东新,期末）方程石sinx+cosx=0的解集是（）

A.{巾=左肛％£Z}B.卜卜=2左»一

C.卜卜=左4一看,左£2,D.卜卜二左4+卞左£2,

【答案】C

【分析】把方程化为tanx=-迫，结合正切函数的性质，即可求解方程的解，得到答案.

3

【详解】由题意，方程\/5sinx+cosx=0,可化为tan%=

3

TTTT

解得尤=上万-彳，左eZ,即方程的解集为{尤|x=A万左eZ}.

故选：C.

3.（高一下•上海杨浦•期中）函数，=卜加工的对称轴是.

【答案】尤=1，keZ

【分析】作出函数y=kanx|的图象，观察图象可得出函数y=1anx|的对称轴方程.

【详解】函数y=|tanX的图象是〉=1如*把x轴的下部分翻折到x轴的上方可得到的，如下图所示:

由图象可知，函数y=gn,的对称轴是x=¥,keZ.

故答案为：x=,左eZ.

【点睛】本题考查含绝对值的正切函数对称轴的求解，作出函数图象是关键，考查数形结合思想的应用,

属于基础题.

4.（2021高一・上海・专题练习）作出函数＞=|tanx|的图象.

【答案】图见解析

【分析】依题意，=1tanx|是将y=tanx在x轴下方部分的图象关于x轴翻折上去，即可得到y=|tan尤|的函

数图象；

【详解】解：函数y=|tanx|是将y=tanx在无轴下方部分的图象关于无轴翻折上去，所以y=|tanx|的图象

题型二：利用正切函数的单调性求参数

5.（2021高一下•上海宝山・期末）函数y=2tan0x（常数。＞0）在开区间卜彳上是严格增函数，则实

数。的取值范围是.

【答案】［o,1

【分析】根据题意，结合正切函数的单调区间，即可求解.

Ijrk冗冗k4\

【详解】由题意可知，函数y=2tanGx的单调递增区间为-丁keZ,

\2a）①2co①）

（712万I

因函数y=2tans（常数。＞0）在开区间上是严格增函数,

乃〉71

了一一茄

2»<»

所以解得。

~T~2O)

。〉0

故答案为：（0,；.

TTTT

6.（2324高一下•上海•期中）若函数y=tanox在-上为严格增函数，则实数。的取值范围是.

【答案】0<。<2

/7）7TTT

【分析】根据正切型函数的单调性可得差<w,即可求解.

42

TTTT

【详解】y=tan@x在-1]上为严格增函数，则。>0,

।十7171I,「6971O）Tl~\,,「69716971-I（兀兀、

由于XW——,则SW----,——，故----,——U——,

L44」L44y[_44」一（22）

因止匕—<—，解得0<<y<2,

42

故答案为：0<°<2

7171

7.（高二上•上海黄浦•期中）若"Vxe,tan%,相〃是真命题，则实数，〃的最小值为_____.

o4_

【答案】1

7t4

【分析】依题可知，只需求出'=1211*在xe上的最大值，即可求出.

64_

【详解】因为y=tanx在xe上单调递增，所以为-=tanf=I.

64jmax4

JTTT

若“Vxe—,tan内,是真命题，所以加21.

64

故答案为：I.

【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法以及正切函数单调性的应用，属于基础题.

8.（高三下•上海黄浦•阶段练习）若函数y=tan@x在（-万/）上是递增函数，则。的取值范围是

【答案】（0,1]

【分析】根据正切函数的单调区间列不等式组，解不等式组求得。的取值范围.

【详解】由于数>=tan<yx在（-万，万）上是递增函数，所以0>0.由-n<x<7T,则-0兀兀，由正切函

7兀/

KH——<一①71a)<-k+—

7兀7"匚Ur、I27

数的递增区间可知:K7i——<a)x<kn+—,所以《],由于。>0,故取4=0,所以

22.71

E兀①WkT—

22

0<69^—.

2

故填：（。,?.

【点睛】本小题主要考查根据正切函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，属于中档题.

题型三：求正切（型）函数的奇偶性

9.（2324高一下•上海•期末）下列函数为奇函数，且在（。,1）上是严格增函数的是（）

A.y=-sinxB.y=cosxc.y=tanxD.y=|sinA-|

【答案】C

【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和单调性依次判断各个选项即可.

【详解】对于A,因为y=-sinx定义域为R,其在上是严格减函数，A错误；

对于B,,・,，=8sx定义域为R,cos（—x）=cosx,，y=8sx为偶函数；B错误；

（兀兀I

对于C,・.・y=tan%定义域为［-5++EJ（左eZ）,tan（-x）=-tanx,

，y=tanx为奇函数，由正切函数性质知y=tanx在（0,|J上是严格增函数，C正确；

对于D,•.•y=kinx|定义域为R,曲（-刈=何11X，.•.y=|sin,为偶函数；D错误.

故选：C.

10.（2324高二上•上海闵行•期末）下列函数是偶函数的是（）

A.y=tanxB.J=log2x

C.y=JD.y=2x+Tx

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，y=tan尤是奇函数，不符合题意.

B选项，V=log?尤是非奇非偶函数，不符合题意.

C选项，y=V是奇函数，不符合题意.

D选项,设〃x）=2，+2T,的定义域为R,

f（-x）=2-x+2x=f（x）,所以为偶函数.

故选：D

11.(2122高一下•上海浦东新•期末)下列3个函数：①y=|sinx|；(2)y=cos2%-sin2%；③y=tan［尤+g；

其中最小正周期为"的偶函数的编号为.

【答案】①②

【分析】利用偶函数的定义判断各函数的奇偶性，再结合周期函数的定义判断各函数的周期，由此确定符

合要求的函数的编号.

【详解】记〃£Hsinx|,则函数I(x)Tsinx|的定义域为R,且

/(-%)=|sin(-x)|=|-sinx|=|sinx|=/(x),所以/(x)=|sinx|为偶函数,

因为/(x+兀)=Mn(x+兀)|=|-sinx|=kinx|=/(x),所以兀为函数〃尤)的周期，

若0<7<兀为函数的周期，则〃T)=〃0)=0,/(r)=|sinT|^0,矛盾，所以兀为函数的最小正周期，

所以函数y=|sinx|满足要求，

记g(x)=cos2_r-sin2x,贝!|g(x)=cos2x,函数g(x)的定义域为R,因为g(-x)=cos(-2x)=cos2x=g(x),

所以函数g(x)为偶函数，又函数g(x)的最小正周期为三=无，所以函数、=8$2》-$山2彳满足要求,

(、sinx+—

记〃(x)=tan[x+j),则〃(%)=----=，所以函数人(力的定义域为左eZ},且

''cosx+—

I2

,/\cos(—X)COSX(7l\

h(-x)=--——r-=--=-h[x},函数y=tan|x+7|不满足要求,

sin(-x)sinx2)

故答案为：①②.

12.(2021高一•上海・专题练习)判断下列函数的奇偶性

7171

(1)y=tan(3x--)(2)y=\tan(x+—)|

【答案】(1)非奇非偶函数；(2)非奇非偶函数.

【分析】根据函数奇偶性定义判断即可.

【详解】(1)由3%—乙。工+Z肛(％wZ)得工。豆+豆，(keZ),

32183

TT小点+”,优的｝不关于原点对称,

所以y=tan(3x--)定义域为

lo3

故函数是非奇非偶函数;

(2)由％+?£2)得%工?+左肛(左GZ),

所以y=|tan(x+?)|定义域为卜卜w?+左左，仕eZ)｝不关于原点对称,

故函数是非奇非偶函数.

题型四：由正切函数的奇偶性求函数值

.X3c

13.（2122高一下•上海浦东新•期中）已知函数/（x）=atanx+b7sm——\-ex+2,且/⑴=4,则/(一1)=

V8

【答案】0

【分析】计算得到/⑴+/（-D=4,代入计算得到答案

【详解】/(1)+/(-1)=[atanl+bsing+c+2)+(-atanl-Z?sinJ1-c+2)=4,

2

则/(-D=o.

故答案为：0

14.(2021高一下•上海浦东新•期中)函数/(x)=atanx-1,若/(3)=-2,则/(-3)的值为

【答案】0

【分析】由/(3)=-2,可得atan3=-l,然后再求出了(-3)

【详解】因为/(x)=atanxT,且/(3)=-2,

所以atan3-l=-2,得atan3=-l,

所以/(—3)=atan(—3)—l=—atan3-1=1—1=0,

故答案为：0

题型五：求正切（型）函数的周期

15.（2025・上海•模拟预测）已知oeR,不等式<。在（0,2025）中的整数解有

机个.关于机的个数，以下不可能的是（）.

A.0B.338C.674

【答案】D

71

【分析】由题设可得。<tan-X<a+l,结合正切函数的周期分aV-道或azg时，和两种

情况讨论求解即可.

即〃<tan-x\<a+l

6J

对于"x）=tan/J,周期为T=6,

且"0）=0"⑴邛F（2）=544）=一6〃5）=考"6）=0,

当-右或北若时，不等式a<tan偿x[<a+l在（0,2025）中无整数解；

当-6<"有时，若不等式。<tan[^x卜。+1有在（0,6]内只有1个整数解,

比如a=l时，此时在（0,6］内的整数解为x=2,

而2025=6x337+3,

则在（0,2025）中可能有337+1=338个整数解；

若不等式tailed<a+l有在（0,6］内只有2个整数解，

比如。=-0.9时，此时在（0,6］内的整数解为x=5或x=6,

则在（0,2025）中可能有337x2=674个整数解；

由于#T<1,>1,一道一卜？>1,<1,

则在（0,6］内最多只有2个整数解，因此在（0,2025）中不可能有1012个整数解.

故选：D.

16.（2324高一下•上海宝山•期末）函数y=tan［3x+］|的最小正周期为.

771

【答案】

【分析】由正切型函数周期性定义计算即可得.

71

【详解】由正切型函数性质可知丁=§.

故答案为：y.

7T

17.（2324高一下•上海•期中）函数y=tan（3x+m）的最小正周期为____.

4

JT\

【答案】d万

71

【分析】根据7=时，直接计算可得结果.

【详解】由正切函数的周期公式得：T=^.

jr

故答案为：—

18.（高一下•上海静安•期末）已知余切函数f（x）=cotx.

（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明）

（2）求证：余切函数〃x）=cotx在区间（0,万）上单调递减.

【答案】（1）奇函数；周期为万，单调递减速区间：（版■，亿+1）万）左eZ（2）证明见解析

【分析】（1）直接利用函数的性质写出结果.

（2）利用单调性的定义和三角函数关系式的变换求出结果.

【详解】(1)奇函数；周期为万，单调递减区间：(日伏+l”"eZ

(2)任取4，x,G(O,^),玉<马,有

coscosxsin(x}-x?)

cotx2-cot%=———-——；——-=~；---

sinx2sinxxsin石sinx2

因为0<X]<%2<九,所以一万<芯一入2<0，

于是sin玉/>0，sin(%1-x2)<0,

从而cotx2-cot%v0,cotx2<cotx1.

因此余切函数"X)=cotX在区间(0,%)上单调递减.

【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数关系式的应用，主要考查学生的运算

能力和转化能力，属于基础题型.

题型六：由正切函数的周期求值

19.(2021高一・上海•专题练习)函数Ax)=tanox(o>0)的图像相邻的两支截直线y=JTT所的线段长度为71T,

44

则的值为()

71八

A.—B.0C.1D.2

4

【答案】B

JT

【分析】依题意可得函数的最小正周期为即可求出。，再代入求值即可；

4

【详解】解：因为函数/(x)=tans(0>O)的图像相邻的两支截直线y=JTT所的线段长度为1JT,所以函数

44

/(%)=tans3>0)的最小正周期为二，所以工二:，所以口=4,所以/(x)=tan4x,所以

4co4

f=tan(4x；]=tan兀=0

故选：B

20.(2122高一下•上海浦东新•阶段练习)若函数y=tan]ox+?)(其中常数oeR)的最小正周期为万，

则常数。取值集合元素个数为

【答案】2

【分析】由正切型函数的周期求解.

兀

【详解】由题意向=万，/=±1,共两个.

故答案为：2.

21.（2122高一下•上海奉贤・期中）直线y=a与函数》=tanx的图象的相邻两个交点的距离是.

【答案】式

【分析】利用正切函数的性质即得.

【详解】直线，=。与丁=1211元的图象的相邻两个交点的距离刚好是函数，=1211元的一个周期，

因为函的最小正周期为万，

所以直线与函数y=tanx的图象的相邻两个交点的距离是;r.

故答案为：71.

22.（2021高一下•上海杨浦•期中）若函数y=tan（s+m（其中常数。＞0的最小正周期为2,则。的值为

【答案】三

2

【分析】结合正切型函数的周期公式即可直接求解.

TTTT

【详解】由题意可知丁=工=2,解得G=£,

co2

TT

故答案为：

题型七：求正切（型）函数的对称中心

23.（2122高一下•上海黄浦・期中）函数y=3tan13x-：J的一个对称中心是（）

A.朋）B.加C,［扣）D.1用

【答案】C

【分析】求解出对称中心为左eZ,对上赋值则可判断.

【详解】令3x-：=g,%eZ,

42

,/口kit7T,

解At得x=+二,kwZ,

o12

所以函数y=3tan（3x-：图象的对称中心是［不+丘左eZ,

令左=-2,得函数y=3tan（3x-：］图像的一个对称中心是卜：,0

故选：C.

24.（2021高一・上海・专题练习）函数y=tan2x的图像关于点成中心对称.

【答案】（HkeZ

【分析】根据正切函数的对称性可得出函数v=tan2x图象的对称中心点的坐标.

【详解】由正切函数的基本性质可知，函数>=tanx的图象关于点［1,0j(左eZ)成中心对称，

令2户容(3)得x咛QeZ),所以函数y=tan2x的图像关于点《,。］(左eZ)成中心对称

故答案为：仔,。［伏eZ).

25.(高一下•上海浦东新•期中)函数y=tanx的对称中心是.

【答案】仔,。),3

【分析】由正切函数的性质即可得到答案.

【详解】由正切函数的图象可知，y=tan尤的对称中心是(与,0)/eZ.

故答案为：(”,0)«eZ

2

【点睛】本题考查正切函数的对称中心，考查学生对正切函数性质的理解与掌握，是一道基础题.

26.(2021高一下•上海•单元测试)写出函数/(x)=tan13x+£|的定义域、最小正周期、单调区间、对称中

心.

【答案】定义域+周期T=g,在［4万-?,*万+5］左eZ递增，无递减区间，对称

中心〔9喂°卜”

【分析】由3x+J*1br+g,可求得其定义域，利用整体思想结合正切函数的周期性、单调性及对称性可求

得其最小正周期、单调区间、对称中心；

【详解】解：由3x+?一版+］,得：xwgv+q,keZ.

所以，其定义域为八|彳力^万+合,出€2｝；

由，(x)=tan［3x+7］得：其最小正周期7=(；

।.7C_7C.7Tzi—»kJTkJT,r

FHK7t<JXH<K7TH,：—7T<X<—71H,攵♦/.

24234312

所以，函数/(x)=tan(3x+?］的单调递增区间为+左EZ,kcZ.无递减区间；

由3%+生=上得：x=—7i~—,keZ.

42灯612

-eZ

所以y=/(x)的对称中心为(612)；

题型八：求正切（型）函数的定义域

27.（2324高一下•上海•期中）下列四个函数中，定义域为R且为奇函数的是（）

A.y=cos%B.y=sinxC.=tanxD.y=sinx+cosx

【答案】B

【分析】根据三角函数的定义域和奇偶性直接分析判断即可.

【详解】由三角函数可知：y=cosx,y=sin尤的定义域均为R,

y=tanx的定义域为M1+、欢eZ：,不为R,故C错误；

且;y=cos尤为偶函数，y=sinx为奇函数，可知y=sin尤+cosx为非奇非偶函数，

故AD错误，B正确；

故选：B.

28.（2021高一下・上海金山•期中）下列命题中正确的是（）

A.函数y=tanx的定义域是卜

B.第一象限的角必是锐角

C.若sina=sin6,则a与£的终边相同

D.>=sin|x|不是周期函数.

【答案】D

【分析】根据正切函数的定义可知A错误；容易举出反例判定BC错误；根据正弦函数的性质和周期函数的

定义，的利用反证法可以证明D正确.

【详解】由正切函数的定义可知函数>=tanx的定义域为卜"0+却回口时正切函数是有意义的,

故A错误；

380。是第一象限角，但不是锐角，故B错误；

60。和120。的正弦值相等，但终边不相同，故C错误；

假若函数'=$达|元|是周期函数，存在D0,使得危+刀式力对于任意实数x恒成立，

当x>0时，由正弦函数的周期性得,T=2觊，眼N*,

所以函数>=$山|彳|不是周期函数，故D正确.

故选：D.

29.（2324高一下•上海黄浦・期末）设040<兀，若函数y=tan（x+°）的.定义域为W祈+三,左ez1,则。

的值为.

IT1

【答案】3小

6o

【分析】根据正切函数的定义域，列式求解.

TTTT

【详解】由题意可知，hi+—+（p=hi+—,keZ,

所以夕=1

o

故答案为：--

O

30.（2223高一下•上海静安•期中）函数y=tan[x+，的定义域是.

【答案】{x|%wl+6匕旌Z}

【分析】根据正切函数的定义域，列不等式求解，可得答案.

1T

【详解】由于正切函数y=tai式的定义域为{x|xw-w+E#eZ},

故令工无+工工二+E,4wZ,

632

解得光w1+6k,keZ,

即函数y=tan[%+]]的定义域是{x|xwl+6左次$Z},

故答案为：{%l%wl+6N上£Z}

31.（2324高一・上海•课堂例题）求函数y=2tan（3x-^|的定义域和单调区间.

【答案】定义域为卜|xw1+1~,左eZ：,增区间为[石-§,彳+eZ,没有减区间

【分析】根据正切型三角函数定义域、单调区间的求法求得正确答案.

【详解】由3尤-3*航+三，解得天/"+M，

6239

所以函数y=2tan「x-W的定义域为,

1,7T_71J7ChTiyrzjkit71kK2兀

由ku—<3x—<kuH—解得-----<x<1,

2623939

所以函数y=2tan]3x-《）的单调递增区间为十号+高,％eZ,没有减区间.

题型九：求正切（型）函数的值域及最值

32.（2122高三上•上海浦东新•期中）下列函数中，值域为（。,内）的是（）

3

A.y=4'B.-2

,y-Ar

C.y=tanxD.y=cosx

【答案】A

【分析】逐一进行验证，可判断结果.

【详解】对A,函数y=4工的值域为（0,+w）；

3

对B,函数y=尤5的值域为[0,+8）;

对C,函数y=tanx的值域为R；

对D,函数，=cos龙的值域为[-1,1]

故选：A

33.（2021高三上•上海浦东新•期中）已知/（x）=tanx,xeZ,则下列说法中正确的是（）

A.函数/■（%）不为奇函数B.函数/'（%）存在反函数

C.函数“X）具有周期性D.函数〃元）的值域为R

【答案】B

【解析】根据/（x）=tanx,xeZ图象与性质，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】对于4/（X）的定义域关于原点对称，且/（-工）=1311（-&）=-1311；1=-/（元），xeZ,故/（X）为奇函数,

故A错误；

对于B：y=/（x）=tanx,xeZ在定义域内---对应，所以x=arctany,即的反函数为y=arctanx,

故B正确；

对于C：因为/'（xhtanx,xeZ,故/（尤）图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以“可不具有周期性，

故C错误；

对于。：因为/（x）=tanx,xeZ,所以/（尤）图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以〃尤）的值域为一些

点构成的集合，不是R,故。错误.

故选：B

34.（2021高一下•上海长宁•期末）函数y=tan]x-：）xeQ亳的值域为.

【答案】（1,内）

【分析】由题意利用正切函数的性质，即可解出.

・、、，,「兀3兀、71（717l\一田，n

【详解】当；•函数y=tan（x-j>l，

故函数的值域为（1,a）,

故答案为：（l,y）.

35.（2425高一•上海•随堂练习）求函数＞=tan|x|的定义域与值域，并作其图像.

【答案】答案见解析

【分析】由xNO和x＜0去掉国上的绝对值符号，可得函数的定义域与值域；当xNO时，函数在y轴右侧

的图像即为y=tanx的图像不变，当x＜0时，函数在y轴左侧的图像为〉、©》在＞轴右侧的图像关于＞轴

对称的图像，画出即可.

兀

tanx,x>0且xw%乃H——

【详解】由己知，设/（x）=tan|x|=:，（丘z）,

-tanx,x<0且xw左乃H——

2

可知，函数的定义域为:

—7T

{x\xeR,S.x^k7i+—,keZ},值域为R；

2一

当xNO时,函数y=tan|x|在y轴右侧的图像即为y=tanx的图像不变;

当x<0时,y=tan|x|在y轴左侧的图像的y=tanx在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，如图所示（实

线部分）.

题型十：求含tanx的二次式的最值

7E71

36.（2324高一下•上海浦东新•期中）函数〃x）=tan2x-tanx,尤e的最大值与最小值之和

为.

【答案】47

4

JT-JT

【分析】换元法求函数值域，首先令tanx=r,根据尤e得年［-!』，进而结合二次函数的图象与性

质即可求解.

JTJT

【详解】令tanx=f,xe

贝Ijy=一；，因为对称轴为/=；,

所以y=在fe-1,|上单调递减，在此g,l上单调递增，

11

所以，当/=一1时，加=2,当仁]时，ymn=--,

17

函数〃x)=tan2x_tanx的最大值与最小值之和为2-1="

7

故答案为：—.

4

37.(2122高一下•上海长宁•期中)函数〃x)=-2tan2尤+5tan尤-2,xe-的值域为

【答案】[一9,1]

【分析】由x的范围求出tanx的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案.

【详解】解：因为xe,所以tanxe[-l』，

f(x)=-2^tanx-|^

则当tanx=l时，1mx=1,

当tanx=-l时，/(%"=一9，

所以函数〃x)的值域为

故答案为：[-9』.

38.(2021高一下•上海徐汇・期中)函数/(x)=tan2尤+tanx-2,xe的值域是

44_

-9'

【答案】-了。

【分析】求出tanx的范围，利用二次函数的性质得出值域.

7171

【详解】*•*xe—丁，:，••tanxe[—1,1]

_44_

(1丫9

,/f(x)=tan2x+tanx-2=Itanx+I-

9

-9-

故答案为：-7。

39.(2021高一•上海•专题练习)已知y=tan2x-2tanx+3,求它的最小值

【答案】2

【分析】由题意，可得y=(tanx-iy+2,利用二次函数的性质，即可求解函数的最小值，得到答案.

【详解】由题意，可得y=（tanx-l）2+2,由于taraeR,所以当tanx=l时，函数取最小值2.

【点睛】本题主要考查了正切函数的值域，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数

的值域，合理应用二次函数的性质求解是解答的关键，注重考查了推理与计算能力，属于基础题.

40.（2021高一・上海•专题练习）求函数y=i+（tan.l）2的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量x的

集合.

【答案]'max=2,此时x==?+左/，左ez}

【分析】令f=tanx,贝heR,了«）=历可，根据二次函数及反例函数的性质可得t=l时/⑺1mx=2,

即可求出函数的最大值及最大值时x的取值集合；

【详解】解：因为军=]+侬：._1）2，令tutanx,则feR,7（'）=不1]/，因为y=1+«-1）221,所以

2

0</(^)=,即r=1时f(^)max=2,即tanx=l,x=?+k7i,kQZ,即当x=x\x=—+k7l,k€Z

时函数取得最大值，皿=2

ffl强化训练

一、单选题

1.（2425高一下•上海•单元测试）下列函数中在（0,1）上为严格减函数的是（）

A.y=cosx；B.y=2*；C.y=sin无；D.y=tanx.

【答案】A

【分析】利用指数函数、二角函数的单调性判断即得.

【详解】函数y=cosx在（0,1）上单调递减，函数y=2'y=sinx,y=tanx在（0,1）上都单调递增.

故选：A

2.（2324高一下•上海•期中）函数y=tanx是（）.

A.最小正周期为F7T的奇函数

B.最小正周期为g的偶函数

2

C.最小正周期为兀的奇函数

D.最小正周期为兀的偶函数

【答案】C

【分析】根据正切函数的性质判断即可.

【详解】函数y=tanx为最小正周期为兀的奇函数.

故选：C

3.（2324高一下・上海松江・期末）下列函数中，既是偶函数又是周期为兀的函数为（）

A.y=cosxB.y=|sinx|C.y=sin2xD.y=tan2x

【答案】B

【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可.

【详解】对A,y=cosx是偶函数，周期为2兀，故A错误；

对B,设外力=卜山|,定义域为R,且〃-%）=卜苗（-可口sinx|,则其为偶函数，

因为y=sinx周期为2兀，则y=卜加|的周期为兀，故B正确；

对C,y=sin2》是奇函数，周期为兀，故C错误；

对D,y=tan2尤是奇函数，周期为7T:，故D错误.

故选：B.

4.（2324高一下•上海嘉定・期中）我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组"平行曲线".而"平行曲线"

具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的"平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数

>—心工+曰®>。）图像中的两条相邻"平行曲线"与直线>=2024相交于A、3两点，且网=^，己知

命题：①。=4：②函数在［0,2024可上有4048个零点，则以下判断正确的是（）

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

【答案】D

【分析】根据已知条件得自=工，求出。，即可判断①；令tan（2x+含）=0,求出x,解不等式-£4尤42024兀,

即可判断②.

【详解】依题意得［=火，所以。=2,故①为假命题；

2CD

所以y=tan（2无+制，

令tan（2x+蛋）=0,得2%+上=也，kcZ,^x=———,kcZ,

\12/12224

jr）1

由OW---------<2024K,得一4Z44048+—，keZ,

22^^1212

所以整数上的值有4048个，函数在［0,2024可上有4048个零点，故②为真命题.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：根据|钿|为函数的一个周期，求出。是解决本题的关键.

二、填空题

5.（2324高一下•上海•期中）满足tana=6的所有a的集合为.

【答案】|a|a=j+far,A:ezj

【分析】根据题意结合正切函数的性质解方程可得a=：+析,左eZ,进而可得结果.

【详解】因为tana=A，HJW«=+eZ,

所以所有a的集合为+kez}.

故答案为：1a|a=j+fet,^ezj.

6.（2223高一下•辽宁・期中）若/（x）=tan0x的相邻两个对称中心距离是则正实数。的值是.

【答案】1

【分析】根据正切型函数的对称中心与周期的关系即可求解.

【详解】由于"xhtanw的周期为T=j，由于相邻两个对称中心距离是:T,所以;T=方则

T=7l=>0）=1,

故答案为：1

7.（2324高一下•上海•阶段练习）函数y=l-tan无的最小正周期为

【答案】兀

【分析】由'=1皿工的最小正周期为兀，根据图象变换的原则，即可得到函数y=l-tan尤的最小正周期.

【详解】函数y=l-tan龙的最小正周期即函数丫小血》的最小正周期，

所以所求最小正周期为兀.

故答案为：兀.

兀71

8.（2324高一下•上海•期中）函数y=tan2x,xe的最大值为_____.

O0_

【答案】V3

【分析】首先判断函数的单调性，由单调性求出函数的最大值.

JTTTTTTT717r

【详解】当尤e时2尤€,所以y=tan2x在一二上单调递增，

66」[_33J66_

所以当x=《时y=tan2x取得最大值，即一x=tan（2x胃=6.

故答案为：6

9.（2324高一下•上海嘉定•期中）若tana=tan/,且满足a<〃，则£-e的最小值为.

【答案】兀

【分析】利用正切函数的性质求解即可.

【详解】y=tanx周期为兀，且在区间^5+也弓+版）（左©Z）上为单调增函数，

tana=trn/3,故尸一a=E,左wZ.

且a＜尸，故尸-。的最小值为兀.

故答案为：兀

10.（2021高一下•上海金山•期中）函数y=tanx+l的图象的对称中心为.

【答案】

【分析】由正切函数的图象的对称性，结合图象平移变换即可得到答案.

【详解】y=tanX的对称中心是（与,0）MeZ.

团函数y=tanx+l的图象由》=1211尤的图象向上平移1个单位得到，

回函数＞=tanx+l的对称中心为（容1）,左eZ

故答案为：（年

11.（2223高一下•上海嘉定•期中）下列关于函数y=tanQx+3的说法：①在区间卜曰上为严格增

函数；②最小正周期为兀；③图像的对称中心为-今0）（左eZ）.其中正确的说法是.（只填写正确

说法的序号）

【答案】①③

【分析】直接利用正切函数的图象和性质的应用即可判断.

【详解】对于①，令一火+E＜2x+巴＜析+工（ZeZ）,解得-2+@＜》＜2+如（左eZ）,

232122122

当上=0时，-署。*,所以函数/（元）在区间上为严格增函数，①正确；

对于②，函数/（元）的最小正周期为T=',②错误；

对于③，令2元+乙=幺依eZ）,解得x*-白keZ）,

3246

所以函数/（元）图象的对称中心为仁吟。,eZ）,③正确.

故答案为：①③

12.（2122高一下•上海浦东新•期末）对于函数＞=/