直角三角形（讲义）-2025年中考数学一轮复习

专题18直角三角形的核心知识点精讲

O复习目标O

1.了解直角三角形的概念；

2.证明并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余（无需证明）；直角三角形斜边上的中

线等于斜边的一半；

3.掌握直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形；

4.掌握勾股定理；会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形；

5.掌握直角三角形全等的判定定理：斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等；

O考点植理O

考点1:直角三角形的性质与判定

1.两锐角之和等于90°

2.斜边上的中线等于斜边的一半

3.30°角所对的直角边等于斜边的一半

1,若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°

性质（应用时需先证明）

2.勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,则

2122

a+b=c

直

角1.有一个角为90°的三角形时直角三角形

2.有两个角的和时90°的三角形是直角三角形

1,一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形

角判定2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c若满足

形

a+b2=c，那么这个三角形为直角三角形。

S」ab=J'其中'是底边常，hs是底边上的高

一仗

面积公式

b

考点2：勾股定理及逆定理

（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别

为a,b,斜边长为c,那么/+/=。2.

直角边

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a,b,c,满足/+62=02,那么这个三角形是直角三

角形.

（3）勾股数：像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。

勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数

0刃典例引领

【题型1：直角三角形的性质与判定】

【典例1】（2024•山东济宁•中考真题）如图，菱形4BCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点，连

接。E.若。E=3,则菱形的边长为（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

【分析】根据菱形的性质可得AC1BD,根据"直角三角形斜边中线等于斜边的一半"可得0E=/8,即

可得解.

本题主要考查了菱形的性质和"直角三角形中斜边中线等于斜边一半"的性质，熟练掌握以上知识是解题

的关键.

【详解】解：•••四边形力BCD是菱形，

•••ACLBD,

■■E是4B的中点，

■■.OE=^AB,

.'.AB=2OE=2x3=6。

故选：A.

即时检测

1.（2024•江苏徐州•中考真题）如图，4B是。。的直径，点C在4B的延长线上，CD与。。相切于点D,若

ZC=20°,贝！UC4D=

D

【答案】35

【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解.连接0。，构造直角

三角形，利用。力=。£）,从而得出NC4D的度数.

【详解】解：连接。。，

D

'J・・・CD与。。相切于点D,

・•・4。。。=90。，

•・•=20°,

・•・乙COD=70°；

OA=OD,

：./LODA=^CAD=^COD=35°,

故答案为：35

2.（2024•山东青岛•中考真题）如图，菱形ABCD中，BC=10,面积为60,对角线NC与AD相交于点O,

过点/作AE18C,交边BC于点£,连接E。，则EO=.

【答案】V10

【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质

求出AC、8。的长度.根据菱形的面积公式结合BC的长度即可得出BD、AC的长度，在RtaBOC中利

用勾股定理即可求出C。的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论.

【详解】解：•••四边形4BCD为菱形，

■,ACLBD,0A=OC,OB=OD1AB=BCCD=DA=10,

菱形4BCD=2A<-

：.AC-BD=120,

..BO•OC=30.

■.-BO2+C02=BC2=100,

..{BO+OC)2—2BO-CO=100,

.-.BO+C0=4V10（负值已舍去），

■.BO=4V10-OC,

■.BO2+CO2=102-

.■■（4V10-OC）+C02=100,

.-.co=Vio，CO=3V10（舍去）.

■：AEVBC,AO=CO,

.".EO-CO=V10.

故答案为：Vio.

3.（2024•山东东营•中考真题）如图，△28C内接于。。，4B是。。的直径，点E在。。上，点C是丽的中

点，AELCD,垂足为点。，DC的延长线交力8的延长线于点尸.

（1）求证：CD是。。的切线；

⑵若CD=百，^ABC=60°,求线段4F的长.

【答案】①见解析

（2）6

【分析】本题主要考查了圆与三角形综合.熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定.含30。的直角

三角形性质，是解决问题的关键.

（1）连接。C,由。2=。。，BC=CE,推出=得到0C||2D,由4E1CD,得到CD1OC,

即得；

（2）由直径性质可得〃CB=90。，推出ND4c=NB4C=30。，根据含30。的直角三角形性质得到

AD=3,根据NF=30。，得到4F=6.

【详解】（1）证明：•・•连接。C,贝U（M=OC,

：.Z.OAC=Z-OCA,

•・,点C是丽的中点，

：.BC=CE,

：.Z-OAC=Z.DAC,

.'.Z.OCA=Z-DAC,

：.OC||AD,

'：AE1CD,

••CD1OC,

••.C。是。。的切线;

(2)解：MB是。。的直径，

.ZCB=90。，

•••乙48。=60。，

：.LBAC=90°-AABC=30°,

.­.ZDi4C=30°,

,-CD=百，

：.AD=V3CD=3,

••2F=90°-(N84C+ZJX4C)=30°,

：.AF=2AD=6.

◎胃典例引领

【题型2：勾股定理及逆定理】

【典例2】(2024•四川巴中・中考真题)〃今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐•问:

水深几何？〃这是我国数学史上的〃葭生池中〃问题.即AC=5,DC=1,BD=BA,贝()

A.8B.10C.12D.13

【答案】C

【分析】本题考查勾股定理的实际应用.设8。=%,则8。=84=(%+1),由勾股定理列出方程进行求

解即可.

【详解】解：设3。=%,贝ijBD=84=(%+1),

由题意，得：（%+1）2=52+/,

解得：久=12,即BC=12,

故选：C.

1.（2024・辽宁，中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形40BC的顶点4在%轴负半轴上，顶点B在直

线y=|x上，若点B的横坐标是8,为点C的坐标为（）

A.(—1,6)B.(-2,6)

【答案】B

【分析】过点5作BD1X轴，垂足为点。，先求出B（8,6），由勾股定理求得B0=10,再由菱形的性质

得到BC=BO=10,BC||x轴,最后由平移即可求解.

【详解】解：过点2作轴，垂足为点。,

•••顶点B在直线y='上，点B的横坐标是8,

：.yB=8X-=6,即8。=6,

•••8(8,6)，

■:BD1久轴,

•••由勾股定理得：BO=VBD2+DO2=10,

•.•四边形A8CD是菱形，

,-.BC=BO=10,BC||x轴，

・•・将点B向左平移10个单位得到点C,

，点C（—2,6），

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确

添加辅助线是解题的关键.

2.（2024•江苏徐州•中考真题）如图，将矩形纸片ABCO沿边EF折叠，使点。在边中点M处.若

AB=4,BC=6,则CF=.

7

【答案】g/0.875

【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于》的方程.由矩形

的性质推出CD=4B=4,ZC=9O°,由线段中点定义得到CM=：BC=3,由折叠的性质得到：

MF=DF,设FC=x,由勾股定理得到（4一x）2=3?+久2,求出％=得到FC的值.

【详解】解：,•・四边形4BCD是矩形，

••.CD=AB=4,Z.C=90°,

是BC中点,

.-.CM=iflC=iX6=3,

由折叠的性质得到：MF=DF,

设尸C=久，

■•.FD=4-x,

.■.MF=4-x,

-：MF2=MC2+FC2,

■■■（4-x）2=32+x2,

•-y——7

"X-8,

■,'FC=i'

故答案为：，

3.（2024・江苏常州•中考真题）如图，在RtaABC中，34cB=90。,AC=6,BC=4,。是边4c的中点,E

是边BC上一点，连接B。、DE.将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点尸处，贝ME=.

【答案】I

【分析】本题考查勾股定理与折叠问题,勾股定理求出BD的长，折叠得到CD=DF,CE=EF/EFD=90°,

设CE=x,在Rt^BFE中，利用勾股定理进行求解即可.

【详解】解：••,立力CB=90。，AC=6,BC=4,。是边47的中点，

：.CD=^AC=3,

■■BD=7fiC2+CD2=5，

•.•将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处,

.-.CD=DF=3,CE=EF/EFD=90°,

.-.BF=BD-DF=2,乙BFE=90°,

设CE=x,贝lj：EF=x,BE=BC-CE=4-x,

在Rt^BFE中，由勾股定理，得：（4-X）2=X2+22,

解得：久=I；

...CE=|；

故答案为：

典例引领

【题型3：勾股定理与弦图、拼图】

【典例3】（2023•内蒙古・中考真题）如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与

一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小

的锐角为a,则cosa的值为（）

【答案】D

【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短

的直角边为a,则较长的直角边为a+1,再接着利用勾股定理得到关于a的方程，据此进一步求出直角三

角形各个直角边的边长，最后求出cosa的值即可.

【详解】•••小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,

••・小正方形的边长为1,大正方形的边长为5,

设直角三角形短的直角边为a,则较长的直角边为a+1,其中a〉0,

•••a2+(a+l)2=52.其中a>0,

解得：a=3,a+1-4,

4

■■■cosa=

故选：D.

【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关

键.

多即时检测

1.(2023・江苏扬州•中考真题)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图"，后人称之为“赵

爽弦图"，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图，直角三角形的直角边长为a、b,

斜边长为c,若b-a=4,c=20,则每个直角三角形的面积为.

【答案】96

【分析】由题意知，a2+h2=c2,由力一。=4,c=20,可得/+Q+=20?’计算求出满足要求

的a,然后求6,根据每个直角三角形的面积为3b,计算求解即可.

【详解】解：由题意知，a2+fo2=c2,

'：b—a=4,c=20,

••.a2+(a+4)2=202,

解得a=12,a=-16(舍去)，

•••b—16,

・•.每个直角三角形的面积为京6=96,

故答案为：96.

【点睛】本题考查了勾股定理.解题的关键在于对勾股定理的熟练掌握与灵活运用.

O好题冲关O

基础过关

1.（24-25八年级上•吉林四平•期末）如图，RtAABC=RtADBE,若乙4=30。，贝I此E的度数为（）

A.60°B.45°D.30°

【答案】A

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握全等三角形对应角相等

成为解题的关键.

根据全等三角形的性质可得=30°,然后根据直角三角形两锐角互余即可解答.

【详解】解：,.•内△Z8CwRtZ\DBE,

=乙4=30°,

：Z-DBE=90°,

・"=90。一功二60。.

故选A.

2.（24-25八年级上•河南郑州•期中）如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然

后将绳子拉到离旗杆底端5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m.如果设旗杆的高度为xm,那么

根据题意可列方程（）

A.(%-1)2+52=x2B.(x+I)2+52=x2

C.x2+52=(x-1)2D.%2+52=(%+I)2

【答案】D

【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可直接进行求解

【详解】解：由题意可得方程为久2+52=（久+1）2；

故选D

3.（24-25八年级上•四川•期中）一架长5m的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙1.4m,如果

梯子的顶端下滑0.8m,那么他的底部滑行了（）

A.0.8mB.ImC.1.2mD.1.6m

【答案】D

【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得2B=4.8m,设它的底

部滑行了xm,则有BE=(1.4+K)m,然后根据勾股定理可建立方程进行求解.

【详解】解：如图，

由题意得：AC=DE=Sm,AD=0.8m,BC=1.4m,=90°,

■■AB=yjAC2-BC2=4.8m,

■•.BD=AB-AD=4m,

设它的底部滑行了xm,则有BE=(i.4+；Qm,

.•-42+(1.4+X)2=52,

解得：x=1.6；

故选D.

4.(20-21八年级上•全国•课后作业)如图，长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm，点B与点C的距

离为5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点2爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是

A.25cmB.20cmC.24cmD.10V5cm

【答案】A

【分析】本题考查了平面展开一最短路径问题，勾股定理，分三种情况：把左侧面展开到水平面上；把

右侧面展开到正面上；把向上的面展开到正面上；分别利用勾股定理计算，再比较即可得解.

则力B=7(10+20)2+52=5V37(cm);

如图，把右侧面展开到正面上，连接力B,

图2

则4B=7(10+5)2+202=25(cm);

如图，把向上的面展开到正面上，连接4B,

贝口B=J(20+5)2+1()2=5历(cm)；

'•-5V37>5V29>25,

二一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点4爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是25cm,

故选：A.

5.(24-25八年级上•河北保定•阶段练习)如图，以数轴上的原点为圆心，。8长为半径画圆弧，交数轴正半

轴的点/处，则点/所表示的数为()

'B

-10121X

A.V9B.V7C.V6D.VS

【答案】D

【分析】此题考查了勾股定理，以及实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

运用勾股定理求得0B,即可得到点/所表示的数.

【详解】解：由勾股定理得：OB=0A=飞=行,

・••则点/所表示的数为打，

故选：D.

6.（24-25八年级上•河北保定•阶段练习）下图是由正方形和直角三角形拼组成的，若正方形3的面积分

别为9,4,则正方形C的面积是（

A.5B.V5D.V13

【答案】A

【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理得〃=SB+Sc，代入计算即可.

【详解】解：由勾股定理得，SA=SB+SC,

-A,2的面积分别为9,4,

二正方形C的面积为9-4=5,

故选：A.

7.（2024•安徽安庆•二模）如图，在长方形力BCD中，DC=6,在DC上存在一点E,沿直线4E把△4DE折叠,

使点。恰好落在BC边上，设此点为尸，若AABF的面积为24,则CE的长度为（）

8

A.3.5B-E3

【答案】B

【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，由矩形的性质可得4B=CD=6,AD=BC,

/_B=/_C=90°,求出BF=8,再由勾股定理结合折叠的性质可得4。=4尸=8。=10,DE=EF,设

CE=x,则DE=EF=6—x,再由勾股定理计算即可得解.

【详解】解：••,在长方形4BCD中，DC=6,

.-.AB=CD=6,AD=BC,z5=zC=90°,

・△力BF的面积为24,

：^AB•BF=24,

：.BF=8,

■■-AF=yjAB2+BF2=10,

由折叠的性质可得力D=4F=8C=10,DE=EF,

：.CF=BC-BF=2,

设CE=x,则DE=EF=6-x,

由勾股定理可得：CF2+CE2=EF2,即2?+・勾=(6—X)2,

解得：x=*

.3*

故选：B.

8.(24-25九年级上•江苏宿迁•期末)如图，2B是。。的直径，4C是O。的弦，AB=2,NB4C=30。，若

点。在。。上，且NB4D=60。，贝脂。长为______.

B

【答案】1或2

【分析】本题考查了圆周角定理，含30度的直角三角形的性质,90度的圆周角所对的弦是直径，运用

分类讨论思想是解题的关键.分两种情况：当点。在前上时；当点。在痂上时；然后分别进行计算

即可解答.

【详解】解：分两种情况：

当点。在前上时，如图：

B

MB是。。的直径，

=90°,

"48=30。，48=2,

：.BC=1AB=1,

■：^DAB=60°,

：.^DAC=乙DAB—乙CAB=30°,

：.^DAC=^CAB=30°,

：.DC=BC=1；

当点。在痂上时，如图：

-ADAB=60°f^CAB=30°,

.'.Z.CAD=乙BAD+/.CAB=90°,

・•.CO是。。的直径，

.,.CD=AB=2；

综上所述：CD=1或2,

故答案为：1或2.

9.(24-25八年级上•上海・期末)在平面直角坐标系中，点力的坐标为(0,5)，点P坐标为(3,0)，则线段4P=

【答案】V34

【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答的关键.

由题意可知。a=5,OP=3,再由勾股定理列式计算即可.

【详解】解:设在平面直角坐标系中，坐标原点为。，

,•,点4的坐标为(0,5)，点P坐标为(3,0)，

：.0A—5,OP—3,

•••尸=90。,

■■AP=J。屋+OP2=正+32=京,

故答案为：V34-

10.(24-25八年级上•吉林长春,期末)如图，将等腰直角三角尺一条直角边放在数轴上，顶点B和C对应的数

分别为o和1,再将三角尺绕顶点B逆时针旋转，使得斜边与数轴重合，则顶点a在数轴上对应的数

是

【答案】—42

【分析】本题主要考查了勾股定理和用数轴上的点表示有理数，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

先求出2B的长，再确定顶点4在数轴上对应的数.

【详解】解：•••△ABC是等腰直角三角形，直角边BC=1,

斜边48=Vl2+I2=瓜

・・•点B对应的数是0,旋转后，4在点B的左侧，且48=五，

••・顶点4在数轴上对应的数是-五.

故答案为：-五.

11.（24-25八年级上•福建厦门•期中）如图，在△ABC中，AB=BC,乙480=120。，过点B作BD18C,交

2C于点。，若2。=1,贝必。的长度为.

【答案】3

【分析】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形30。所对的边等于斜边的一半，需要熟练运用考查的

性质进行解题.

过点B作BE14C于点E,设DE=K,然后通过直角三角形30。角的性质求得BD=2X,CD=4x,

CE=3%,再运用由等腰三角形的性质得到力E=CE,列方程求解x,即可求出CD的长，进而求解.

【详解】解：如图，过点8作BE1AC于点E,

设DE=x,则力E=AD+DE=1+久,

•••AB=BC,N力BC=120。，

Z.A=Z-C=30°,

,；BD_LBC,

•••乙DBC=9U。,

Z.EDB=60°,=30°,

BD=2DE=2x,DC—2DB=4%,

CE=DC—DE=3%,

vAB=BC,BE1AC,

AE=CE,

1+x=3x,

解得x=9，

CD=4x=2,

AC=AD+CD=1+2=3；

故答案为：3

12.（24-25八年级上•陕西•期中）如图，在中，AACB=90°,Z/4=30°,4B=8,BC=4,若点。

在直线上，且NBCD=30。，贝口。的长为.

【答案】6或12

【分析】本题考查了含30。的直角三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握含30。直角三角形的性

质，学会分类讨论是解题的关键；

分①点。在线段4B时，②点。在线段4B延长线上时，③点。在线段BA延长线上时，三种情况讨

论求解即可.

【详解】解：,•,A4CB=90。，A4=30。，AB=8,BC=4,

.-.^ABC=60°,

①点。在线段48时,

・"CD=30。，ZB=6O°,

.-.ZBDC=9O°,

.；BD=加=2,

.-.AD=AB-BD=6；

②点D在线段48延长线上时,

・"CD=30°,^ABC=60°,

；ZD=4ABC—乙BCD=30°=乙BCD,

.-.BC=BD=4,

：.AD^AB+BD=12；

③点。在线段B2延长线上时,

止匕时即N8CO〉90。，故不符合题意，舍去,

综上，2。的长为6或12.

故答案为：6或12

13.(24-25八年级上•辽宁鞍山・期中)如图,4(0,3)，氏2,0),47=43,4。148,则点。的坐标为

【答案】(3,5)

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，点的坐标与几何图形，余角的定义，解题的关键是正确

添加辅助线构造全等三角形；

过点C作轴，再利用AAS判定△CD4三△AOB可得CD=4。，4D=OB,根据点/、8的坐标,

得出。力，0B,即可得出答案.

【详解】解：过点C作CDly轴，

：.^CAB=90°,4。4B+NZMC=90°.

■,-ADCA+Z.DAC=90°,

..Z-OAB=Z-DCA,

在△C1X4和△AOB中,

(^CDA=^LAOB=90°

]^ACD=^LOAB,

IAC=BA

：.△CDA=△ZOB(AAS)，

.t.CD=AO,AD=OB,

・•,点/的坐标为(0,3)，点8坐标为(2,0)，

.,.AO=3,BO=2,

:.CD=3,AD=2,

；.OD=5,

•・•点C的坐标为(3,5)

故答案为：(3,5).

14.(24-25八年级上•河北保定•阶段练习)数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端的绳子垂到地面时多出了3米,

把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点/处(如图12所示)，测得绳子底端/与旗杆根部C

之间的距离为9米，设旗杆8c的高度为x米.

⑴用含x的式子表示绳子4B的长为米；

⑵求旗杆的高度8C；

⑶珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子(接头处忽略不计)，把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰

好接触地面的点。处，求珍珍应从N处向东走多少米？

【答案】⑴Q+3)

(2)12米

(3)7

【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题.

(1)根据系在旗杆顶端的绳子垂到地面时多出了3米即可求解；

(2)根据勾股定理Be?+4。2=ag2列方程求解即可；

(3)先根据勾股定理求出CD,即可得解.

【详解】(1)解：用含x的式子表示绳子48的长为Q+3)米，

故答案为：(%+3)：

(2)解：由题意知：力C=9米，乙4cB=90。，

BC2+AC2=AB2,

•••X2+92=(X+3)2,

解得：x=12,

•••旗杆的高度8c=12米；

(3)解：由(2)知，48=久+3=15米，贝防。=15+5=20米，

•••CD=^BD2-BC2=16米，

：.AD=CD-AC=7^z,

珍珍应从N处向东走7米.

15.(2024•广东汕头•一模)如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，^ACB=^.DCE=90°,AC=BC,

DC=EC,连接力。,8£;

⑴求证：△4CD三△8CE；

⑵直接写出an和BE的位置关系.

【答案】⑴见解析

(2)AD1BE

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，对顶角相等，证明△4CD三

△8CE是解答本题的关键.

(1)先证明乙4CD=NBCE,然后根据SAS即可证明△2CD三△BCE；

(2)延长交BE于点「交BC于点M由全等三角形的性质得=由4乙4。+NANC=90。

可证NCBE+乙BNF=90°,进而可证结论成立.

【详解】(])-^ACB=/.DCE=90°,

'•Z-ACB—Z-BCD=Z-DCE—乙BCD,

：.Z.ACD=乙BCE,

-AC=BC,DC=EC,

△AC。三△BCE(SAS)；

(2)延长AD交BE于点R交BC于点N

B

-AACD=ABCEf

：.Z-CAD=Z-CBE

^^LACB=90°,

.•2OW+NANC=90。,

•:乙ANC=幺BNF,

乙CBE+乙BNF=90。,

・•/BFN=9。。,

.,.AD1BE.

常能力提升

1.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，菱形A8CD中，点。是BD的中点，AM1BC,垂足为M,AM

交BD于点、N,OM=2,BD=8,则MN的长为（）

A.V5B.警C.誓D.等

【答案】C

【分析】本题主要考查了解三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半.

先由菱形性质可得对角线4C与BD交于点O,由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得

OA=OC=OM=2,进而由菱形对角线求出边长，由5也4队4。=5也4。8。=卷解三角形即可求出

MC=ACsm^MAC=^-,MN=BMtanAOBC=

55

【详解】解：连接AC,如图,

•.・菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分,

又点。是BD的中点，

.••/、。、C三点在同一直线上，

.•.。4=0C,

•••0M=2,AMLBC,

：.0A=0C=0M=2,

:BD—8,

.-.0B=0D=^BD=4,

-BC=VOB2+OC2="+22=2V5,tanzOBC=^=7=p

ubqz

・"CM+/MAC=90。，乙4cM+4。8。=90。，

：.^MAC=Z.OBC

••.sin/MAC=sin乙OBC=黑=三=恒,

BC2V55

：.MC=ACsm^MAC=等

：.BM=BC-MC=2石一臂=等，

■,MN=BMX.anA.OBC=迪x:=幽

故选：c.

2.（2024•江苏苏州•中考真题）如图，矩形4BCD中，4B=百，BC=1,动点£,尸分别从点/,C同时出

发，以每秒1个单位长度的速度沿48,CD向终点3,D运动,过点£,p作直线/,过点/作直线/的

垂线，垂足为G,贝MG的最大值为（）

A.V3B.等C.2D.1

【答案】D

【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及

直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键.

连接AC,BD交于点0,取。4中点H,连接GH,根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G的轨迹,

从而求出4G的最大值.

【详解】解：连接4C8。交于点0,取。4中点H,连接GH,如图所示：

••・四边形力BCD是矩形，

■.^ABC=90°,0A=0C,AB||CD,

.•.在Rt△ABC中，AC=y/AB2+BC2=J(百了+/=2,

.-.0A=0C=^AC=l,

-：AB||CD,

Z.EA0=Z.FC0,

在△40E与△C0尸中，

(AE=CF

]/.EAO=乙FCO

I0A=0C

.•.AT10E=ACOF(SAS),

Z.AOE=Z-COF,

■-E,0,F共线，

AG1EF,“是。B中点，

.•.在Rt△AG。中，GH=/O=g,

G的轨迹为以H为圆心，£为半径即2。为直径的圆弧.

.•.2G的最大值为2。的长，即4Gmax=40=l.

故选：D.

3.（2024•西藏•中考真题）如图，在Rta4BC中，ZC=90°,AC=12,BC=5,点P是边48上任意一点,

过点尸作PD1AC,PELBC,垂足分别为点。，E,连接OE,则DE的最小值是（）

A

【答案】B

【分析】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难

度不大，设计很新颖，解题的关键是求DE的最小值转化为其相等线段CP的最小值.连接CP,根据矩形

的性质可知：DE=CP,当DE最小时，贝UCP最小，根据垂线段最短可知当CP_L48时，则CP最小，再

根据三角形的面积为定值即可求出CP的长.

【详解】解：■■RtAABC^,ZC=90°,2C=12,8C=5,

AB=Vxc2+BC2=13,

连接CP,如图所示：

•十。12。于点。，PE1CB于点E,Z.ACB=90°,

：.z.PDC=乙PEC=/.ACB=90°,

四边形DPEC是矩形，

；.DE=CP,

当DE最小时，贝IJCP最小，根据垂线段最短可知当CPLAB时，则CP最小,

此时。9=6=等=,.

故选：B.

4.（2024・广西中考真题）如图，边长为5的正方形力BCD,E,F,G,〃分别为各边中点，连接4G,BH,

CE,DF,交点分别为N,P,Q,那么四边形MNPQ的面积为（）

DGC

o

A.1B.2C.5D.10

【答案】C

【分析】先证明四边形MNPQ是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出。Q=PQ,AM=QM,证

明△4DG三△B2H(SAS)得出=则可得出/QMN=NAMB=90。，同理N&QD=90。，得

出平行四边形MNPQ是矩形，证明△4DQ三△BAM(AAS)，得出DQ=2M,进而得出

DQ=AM=PQ=QM,得出矩形MNPQ是正方形，在Rt△力DQ中，利用勾股定理求出QM?=5,然后

利用正方形的面积公式求解即可.

【详解】解：•••四边形2BCD是正方形，

.-.AB=BC=CD=DA,AB\\CD,AD\\BC,/.DAB=AABC=ABCD=ACDA=90°,

•■E,F,G,〃分别为各边中点，

:.CG=DG=^CD^AH,AE=^AB,

；.DG—CG—AE,

.•・四边形2ECG是平行四边形，

,■,AGWCE,

同理。F||BH,

四边形MNPQ是平行四边形，

■■AGWCE,

DQDG.

•,而=布=1，

■-DQ=PQ,

同理4M=QM,

-DG=AH,^ADG=Z.BAH=90°,AD=BA,

△ADG=△BZH(SAS)，

：.Z-DAG=乙ABH,

'.^DAG+Z.GAB=90°,

.・ZABH+2LGAB=90°,

.•ZQMN=/AMB=90。,同理NZQZ)=90。，

・•・平行四边形MNPQ是矩形，

■：^AQD=^AMB=90°,4DAG=4ABH,AD=BA,

△ADQ三△BAM(AAS)，

・•.DQ=AM,

又DQ=PQ,AM=QM,

：.DQ=AM=PQ=QM,

矩形MNPQ是正方形，

在Rt^ADQ中，AD2-DQ2+AQ2,

■-52=QM2+Q2QM)2,

■■■QM2=5,

正方形MNPQ的面积为5,

故选：C.

【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理

等知识，明确题意，灵活运用相关知识求解是解题的关键.

5.(24-25九年级上•重庆荣昌•期中)如图，在正方形2BCD中，E,F分别为BC,CD边上的点，AF与DE交

于点M,N为力E的中点，连接MN,若4B=4,CE=DF,CF=3DF,则MN的长度为.

【答案】|

【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质.证明

△。。七三4力。尸后可得44"6=90。，CE=DF=1,由已知及正方形的性质可求4E=5,利用直角三

角形斜边中线等于斜边一半可得结果.

【详解】解：•••正方形4BCD,

AD=CD=AB=BC=4f匕ADF=4DCE=90。,

・•・段尸分别为BC,CO边上的点，CF=3PF,

...”=#。=3,DF=1,

vEC=DF,Z.ADF=ADCE=90°,CD=AD,

DCE=△ZDF(SAS)，

Z-DAF=Z.CDE,CE=DF=1,

•・•乙4DE+NCDE=90。，

zX£)E+zD^F=90°,

・•/DMA=Z.AME=90°,

・•.BE=4—EC=3,

•••AE=JAB2+BE2=&+32=5，

•；N为力E的中点，

■■MN=^AE=l，

故答案为：|.

6.（24-25九年级上•广东汕头•期中）如图，△ABC中，乙4c8=90。，BC=8,2C=6,将△ABC绕点B逆

时针旋转得△4BC',若点。在4B上，连接力4,贝必4的长为.

【答案】2V10

【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识.由旋转的性质和勾股定理得出ac',4c’的长度,

利用勾股定理即可得出答案.

【详解】解：••・将△28C绕点B逆时针旋转得△4BC',

Z.A'C'B=NC=90°,A'C=AC=6,BC'=BC=8,AB=A'B,

根据勾股定理得：AB=7BC2+AC2=10,

•••AB=AB—10,

AC=AB-BC'=2,

在Rt^AAC'中，由勾股定理得：AA'=^AC'2+A'C'2=2V10.

故答案为：2V10.

7.（24-25九年级上•陕西咸阳•阶段练习）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直

角三角形围成的，若正方形4BCD的面积为25,正方形EFGH的面积为1,则tan/ABF的值为.

【答案】^/1|

【分析】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，根据题意和题目中的数据，可以求出直角三角形

各边的长，然后即可计算出tan乙48F的值.

【详解】解：•••正方形4BCD的面积为25,正方形EFGH的面积为1,

.-.AB^AD=5,EF=1,

•••"赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，

：.AE=BF,

设4E=BF=x,则4?=力岳+岳?=乂+1,

在RtLBF中，AF2+BF2-AB2,

.•.(%+I)2+x2=52,

整理得/+%-12=0,

解得=3,x1=-4,

.t.AE=BF=%=3,AF=AE+EF=%+1=4,

,CLAF4

.-.tan^ABF=-=-,

故答案为：2

8.(2024・四川内江•中考真题)如图，在△A8C中，乙48c=60。，BC=8,E是8c边上一点，且BE=2,点

/是△48C的内心,B/的延长线交"于点D,P是8。上一动点，连接PE、PC,则PE+PC的最小值为.

【答案】2Vli

【分析】在48取点R使BF=8E=2,连接PF,CF,过点尸作FH，BC于“，利用三角形内心的定义

可得出N2BD=NCB。，利用SAS证明ABFr三ZiBEP,得出PF=PE,则PE+PC=PF+PC2CF,当

C、P、厂三点共线时，PE+PC最小，最小值为CF,利用含30。的直角三角形的性质求出BH,利用勾股

定理求出FH,CF即可.

【详解】解：在4B取点尸，使BF=BE=2,连接PF,CF,过点尸作FH1BC于X,

BHEC

•”是△ABC的内心，

.•卸平分乙4BC,

：.Z-ABD=乙CBD,

又BP=BP,

△BFP=△BEP(SAS)，

；.PF=PE,

；.PE+PC=PF+PCNCF,

当C、P、下三点共线时，PE+PC最小，最小值为CF,

■：FH1BC,^ABC=60°,

.-.^BFH=30°,

.-.BH=^BF=1,

..FH=YJBF2-BH2=V3-CH=BC-BH=7,

■■CF=VCH2+FH2=2V13，

■-PE+PC的最小值为2后.

故答案为：2V13.

【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含30。的直角三角形的性质，勾股定理

等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含30。的直角三角形是解题的关键.

9.(2024・四川雅安・中考真题)如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点£处，BE与AD交

于点R若AB=6,BC=