中考数学解题方法专项训练：几何中的最值问题之和长度有关的最值之多线段的最值（原卷版+解析）

42第8章几何中的最值问题之和长度有关的最值之多线段的最值

一、单选题

1.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2,AE=4,P是AC上一动点，则PB+PE的最小值

A.6B.275C.8D.2^/13

2.如图，正方形ABCD中，AB=4,E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB

的最小值为（）

A.4B.2小C.472D.4G

3.如图，在边长为4的正方形ABC。中，点E、P分别是边BC、上的动点，且BE=CF,连接8尸、DE,

则BF+DE的最小值为（）

A.V12B.V20c.V48D.V80

4.如图，在菱形A3CD中，ZA=60°,AB=3,QA,03的半径分别为2和1,P,E，R分别

是CD边、0A和0B上的动点，则尸E+PF的最小值是（）

c

B.2C.3D.3A/3

5.如图，等边△ABC中，于。，AO=3.5cm,点P、Q分别为A3、A。上的两个定点且5尸=AQ=2cm,

在上有一动点E使PE+QE最短，贝UPE+QE的最小值为()

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

6.如图，在锐角AABC中，AB=AC=10,S“BC=25,NBAC的平分线交BC于点。，点M,N分别是A。

和AB上的动点，则8M+MN的最小值是()

C.5D.6

二、填空题

7.如图所示，R3ABC中，AC=BC=4,A。平分/BAC,点E在边AB上，且AE=1,点尸是线段A。上的

一个动点，则PE+PB的最小值等于

8.如图，正方形ABCD的面积为16,E为AD的中点，R为对角线3。上的一个动点，连接AF、EF,

则线段”+石厂的最小值是

9.如图，0加，0乂，已知边长为2的正446。，两顶点人,2分别在射线OM、ON上滑动，当NQ43=23°

时，ZNBC=,滑动过程中，连结0C,则线段0C长度的取值范围是.

10.如图，在矩形A8C。中，AB=4,AO=5,连接AC,。是AC的中点，M是上一点，且〃。=1,P

是BC上一动点，则PM-P。的最大值为

11.如图，等腰三角形ABC的底边3c长为4,面积是18,腰AC的垂直平分线"分别交AC,A6边

于E,尸点.若点。为3c边的中点，点G为线段所上一动点，则ACDG周长的最小值为

12.如图，在AABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD是/BAC的平分线.若E是AC上一点且BEJ_AC,

P是AD的动点，则PC+PE的最小值是.

D

三、解答题

13.如下右图所示.(1)作出AA3C关于丁轴对称的图形AA]4C；(2)在％轴上确定一点p,使得QA+PC

最小.

14.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上，

(1)AABC的面积为；

(2)在图中画出与AABC关于直线1成轴对称的△AiBiCi；

(3)利用网格线在直线1上求作一点P,使得PA+PC最小.请在直线1上标出点P位置,PA+PC最小为

个单位.

k

15.如图，直角△ABC中，NC=90°,AC=2,BC=4,AC平行于无轴，A、B两点在反比例函数y=—(x

x

>0)的图象上.延长CA交y轴于点D,AD=1.

(1)求反比例函数的解析式;

（2）在y轴上是否存在点P,使△出8的周长最小，若存在，直接写出此时的周长；若不存在，说

明理由.

16.如图，在边长为2cm的正方形ABC。中，。为BC边的中点，P为对角线AC上的一个动点，连接

PQ,求APB。周长的最小值.

17.如图，一次函数y=-x+6的图像与正比例函数y=2x的图像交于点A.

（1）求点A的坐标；

（2）已知点B在直线y=-x+6上，且横坐标为5,在x轴上确定点P,使PA+PB的值最小，求出此时

P点坐标，并直接写出PA+PB的最小值.

18.如图，在心A43C中，NACB=90°,BC=AC=2,。为AB中点，E,尸分别是AC,3c上的

动点，且满足N£DF=90°.

（1）求证：DE=DF；

（2）求四边形CEDE的面积;

（3）求ACM周长的最小值（结果保留根号）.

19.A3两个小镇在河流/的同侧，它们到河流的距离AC=4千米，5£>=8千米，且CD=5千米，现要

在河边修建一自来水厂，向A,8两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元.

B

cn1

（1）请你在河岸上选择水厂的位置使铺设水管的费用最少（不写作法，保留作图痕迹）;

（2）最低费用为多少？

20.如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上.

（1）作AABC关于直线MN对称的图形△ABC".

（2）若网格中最小正方形的边长为1,求AABC的面积.

（3）点P在直线MN上，当PA+PC最小时，P点在什么位置，在图中标出P点.

（4）求出第三问中PA+PC的最小值

21.已知在平面直角坐标系中，A（4,0）,B（0,3）,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形

ABC,AB=AC,ZBAC=90°.

（1）在图（1）中，求点C坐标；

（2）在图（2）中，动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度向x轴正方向运动，设点P的运动时间

为t,APAC的面积为S,求S与t的关系式，并写出t的取值范围.

（3）在（2）问条件下，若PB+PC的值最小时，求P点坐标及t的值.

22.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、8的坐标分别是A(3,2),

B(1,3),ZVIOB关于y轴对称的图形为△4021.

(1)画出△4。修并写出点Bi的坐标为；

(2)写出△AOS的面积为；

(3)点P在x轴上，使B4+P2的值最小，画出p点

(4)在(3)的条件下，求出+P8的的最小值.

23.如图，在平行四边形A3CD中，AB=2,AD=1,ZB=6Q°,将平行四边形A3CD沿过点A的直线/

折叠，使点。落到AB边上的点O'处，折痕交CD边于点E.

(1)求证：四边形3CE。'是菱形；

(2)若点尸是直线/上的一个动点，请作出使尸ZT+P3为最小值的点尸，并计算PD4PB.

24.如图，在AA3C中，已知=AB的垂直平分线交A3于点N,交AC于点四，连接MB

(2)若=AMBC的周长是18cm

①求3C的长度；

②若点P为直线MN上一点，请你直接写出AP5C周长的最小值

42第8章几何中的最值问题之和长度有关的最值之多线段的最值

一、单选题

1.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2,AE=4,P是AC上一动点，贝|PB+PE的最小值

A.6B.275C.8D.2^/13

【答案】D

【分析】由正方形的性质得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE,交AC于P,

连接BP,则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可.

【解答】解：如图，连接DE,交AC于P,连接BP,则此时PB+PE的值最小，

:四边形ABCD是正方形，

；.B、D关于AC对称，

；.PB=PD,

PB+PE=PD+PE=DE.

VBE=2,AE=4,

；.AD=AB=6,

；.DE="+62=25,

故PB+PE的最小值是2岳.

【点评】本题考查轴对称一最短路线问题，其中涉及正方形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度

较易，掌握相关知识是解题关键

2.如图，正方形ABCD中，A3=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB

的最小值为（）

D

A.4B.275C.472D.4G

【答案】B

【分析】由正方形的中心对称性质，可得PE+PB的最小值即是DE的值，再由勾股定理解题计算即可.

【解答】连接DE,交AC于点P,连接BD,

•・•点B与点D关于AC对称，

DE的长即为？E+PB的最小值，

-,-AB=4,E是BC的中点，

CE=2，

在Rt^CDE中，

DE=slCD2+CE2=742+22=2A/5

PE+PB的最小值是2石.

故选：B.

【点评】本题考查两点对称的性质、两点间的距离、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关

知识是解题关键.

3.如图，在边长为4的正方形ABC。中，点E、尸分别是边BC、C。上的动点，且BE=CR连接2尸、

DE,则BE+OE的最小值为（）

A.V12B.720C.V48D.780

【答案】D

【分析】连接AE,利用△ABE0dBCF转化线段BF得到BF+DE=AE+DE,则通过作A点关于BC对

称点H,连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可.

【解答】解：解：连接AE,如图1,

四边形ABCD是正方形，

；.AB=BC,ZABE=ZBCF=90°.

又BE=CF,

AABE^ABCF(SAS).

所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值.

作点A关于BC的对称点H点，如图2,

连接BH,则A、B、H三点共线，

连接DH,DH与BC的交点即为所求的E点.

根据对称性可知AE=HE,

所以AE+DE=DH.

在RtAADH中，DH2=AH2+AD2=82+42=80

，DH=4逐

.♦.BF+DE最小值为4班

【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短

距离问题，都转化为一条线段.

4.如图，在菱形A3CD中，ZA=60°,AB=3,©A,的半径分别为2和1,P,E，F分

别是C£＞边、0A和上的动点，则尸石+尸尸的最小值是()

A.3方-3B.2C.3D.373

【答案】C

【分析】利用菱形的性质及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+尸尸的最小值，进而求解即可.

【解答】解：作点A关于直线CD的对称点A、连接BD,DAS

•••四边形ABCD是菱形，

；.AB=AD,

,/ZBAD=60°,

AABD是等边三角形，

ZADB=60°,

VZBDC=ZADB=60°,

ZADN=60°,

ZA,DN=60°,

AZADB+ZADA=180°,

AASD,B在一条直线上，

由此可得：当点P和点D重合，E点在AD上，F点在BD上，此时尸E+PF最小，

:在菱形ABCD中，ZA=60°,

；.AB=AD,

则AABD为等边三角形，

；.BD=AB=AD=3,

OA,OB的半径分别为2和1,

.*.PE=1,DF=2,

，PE+PF的最小值为3.

故选C.

【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，点与圆的位置关系等知识.根据题意得出点P位置

是解题的关键.

5.如图，等边AABC中，BZUAC于。，AD=3.5cm,点P、。分别为A3、上的两个定点且8P=AQ=2cm,

在3。上有一动点E使尸E+QE最短，则尸E+QE的最小值为（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【答案】C

【分析】作点Q关于BD的对称点Q，，连接PQ咬BD于E,连接QE,此时PE+EQ的值最小.最小值

PE+PQ=PE+EQ，=PQ'

【解答】解：如图，・・・△ABC是等边三角形，

ABA=BC,

VBD1AC,

AD=DC=3.5cm,

作点Q关于BD的对称点Q\连接PQ，交BD于E,连接QE,此时PE+EQ的值最小.最小值为

PE+PQ=PE+EQ'=PQ',

*.*AQ=2cm,AD=DC=3.5cm,

・・・QD=DQ，=1.5(cm),

CQ—BP=2(cm),

・・・AP=AQ，=5(cm),

ZA=60°,

.♦.△APQ，是等边三角形，

；.PQ'=PA=5(cm),

-,.PE+QE的最小值为5cm.

故选：C.

【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解

决最短问题.

6.如图，在锐角△ABC中，AB=AC=1Q,S^ABC=25,NBAC的平分线交BC于点D,点N分别是

和AB上的动点，则8M+MN的最小值是()

24

A.4B.——C.5D.6

5

【答案】C

【分析】根据AD是NBAC的平分线，AB=AC可得出确定出点B关于AD的对称点为点C,根据垂线段最

短，过点C作CNXAB于N交AD于M,根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，

CN=BM+MN,利用三角形的面积求出CN,从而得解.

【解答】解：如图，：AD是NBAC的平分线，AB=AC,

点B关于AD的对称点为点C,

过点C作CN±AB于N交AD于M,

由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，CN=BM+MN,

VAB=10,SAABC=25,

1

二—xlO«CN=25,

2

解得CN=5,

即BM+MN的最小值是5.

故选：C.

【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质，等腰三角形的性质，凡是涉及最短距

离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

二、填空题

7.如图所示，RtZ\ABC中，AC=BC=4,AD平分NA4C,点E在边A8上，且AE=1,点P是线段4。上的

一个动点，则PE+P8的最小值等于.

【答案】5

【分析】作E关于AD的对称点E,连接2E'交于尸，于是得至UPE+PB的最小值=BE,根据勾股定理即

可得到结论.

【解答】解：作E关于的对称点£,连接交AO于尸，

则此时PE+PB有最小值，PE+PB的最小值=8£,

：.AE'=AE=1,

'：AC=BC=4,

:.CE'=3,

:出e73〜BC?=5,

：.PE+PB的最小值=5,

【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，根据已知得出对应点P位置是

解题关键.

8.如图，正方形ABC。的面积为16,£为AZ）的中点，F为对角线8£＞上的一个动点，连接A/、EF,

则线段AR+石厂的最小值是.

【答案】2乖

【分析】连接CF,当点E,F,C在同一直线上时，AF+FE的最小值为CE长，根据勾股定理计算即可.

【解答】解：：四边形ABCD为正方形，

.•.A关于BD的对称点为C,

贝ljAF=CF,

，线段AF+石厂的最小值为线段CF+EF的最小值，

当点E,F,C在同一直线上时，AF+FE的最小值为CE长，

正方形ABCD的面积为16,

；.AD=CD=4,

•；E为AD中点，

；.DE=2,

二在RtZ\CED中，

CE=VDE2+CD2=275，

则线段AF+EF的最小值是2行，

故答案为：2®

【点评】本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据正方形的性质作得出A关于BD的对称点C是解答此

题的关键.

9.如图，，ON,已知边长为2的正AABC,两顶点A,B分别在射线OM、ON上滑动，当ZOAB=23°

时，NNBC=,滑动过程中，连结OC,则线段OC长度的取值范围是.

【答案】53。2<OC<l+73

【分析】根据三角形内角和为180。，等边三角形各内角为60。，根据NOAB=23。，即可求得NNBC的度数；

取AB的中点D,连接OD及DC,根据三角形的边角关系得到OC小于等于OD+DC,只有当0、D及C

共线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD,由等边三角形的边长为2,根据D为AB中点，得到BD为1,

根据三线合一得到CD垂直于AB,在直角三角形BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在直角三角形AOB

中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD等于AB的一半，由

AB的长求出OD的长，进而求出DC+OD,即为OC的最大值，当4ABC的边与OM和ON共线时，OD

最小，且为2,即可得出OC的长度范围.

【解答】解：等边三角形各内角为60。，

VZNBC=180°-ZABC-ZABO,ZABO=90°-ZOAB,NOAB=23°,

ZNBC=53°；

取AB中点D,连OD,DC,有OCWOD+DC,

当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD.

ABC为等边三角形，D为中点，

，BD=1,BC=2,根据勾股定理得：CD=G，

又AAOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，

1

.•.OD=-AB=1,

2

.,.OD+CD=l+73，即OC的最大值为1+石，

当AABC的边与OM和ON共线时，OD最小，且为2,

二线段OC的取值范围是：2<OC<1+百，

故答案为：53°；2<OC<1+V3.

【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理，其中

找出OC最大时的长为CD+OD是解本题的关键.

10.如图，在矩形ABC。中，AB=4,AD=5,连接AC,。是AC的中点，/是上一点，且P

是BC上一动点，则PM-PO的最大值为.

3/D

0\k

BPC

【答案】-

2

【分析】连接MO并延长交BC于P,则此时，PM-PO的值最大，且PM-PO的最大值=OM,根据全等三

角形的性质得到AM=CP=4,OM=OP,求得PB=1,过M作MNLBC于N,得到四边形MNCD是矩形,

得到MN=CD,CN=DM,根据勾股定理即可得到结论.

【解答】•..在矩形A8C。中，AO=5,MD=1,

：.AM=AD-DM=5-1=4,

连接MO并延长交BC于P,

则此时，尸河-尸0的值最大，且尸尸。的最大值=OM,

VAM//CP.

：.ZMAO=ZPCOf

VZAOM=ZCOPfAO=CO,

：.AAOM^^COP(ASA),

・・・AM=C尸=4,OM=OPf

:.PB=5-4=1,

过M作MALLBC于N,

・•・四边形MNCO是矩形，

:・MN=CD=AB=4,CN=DM=\,

：.PN=5-1-1=3,

・•・MP=7M^2+/W2=^42+32=5,

【点评】本题考查轴对称-最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出

辅助线是解题的关键.

11.如图，等腰三角形ABC的底边3c长为4,面积是18,腰AC的垂直平分线跖分别交AC,A5边

于区厂点.若点。为3C边的中点，点G为线段所上一动点，则△CDG周长的最小值为.

c,

B

【答案】11

【分析】连接AD,AG,由于^ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故ADLBC,再根据三角形的

面积公式求出AD的长,再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C,GA=GC,

推出GC+DG=GA+DG>AD,故AD的长为BG+GD的最小值，由此即可得出结论.

【解答】解：连接AD,AG.

「△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

.".ADXBC,

SAABC=—BC-AD=—x4xAD=18,解得AD=9,

22

VEF是线段AC的垂直平分线，

...点A关于直线EF的对称点为点C,GA=GC,

GC+DG=GA+DG>AD,

AAD的长为CG+GD的最小值，

.♦.△CDM的周长最短=(CG+GD)+CD=AD+—BC=9+—x4=9+2=l1.

22

故答案为：11.

【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

12.如图，在AABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD是NBAC的平分线.若E是AC上一点且BE

±AC,P是AD的动点，则PC+PE的最小值是.

一小48

【答案】y

【分析】连接PB,根据三线合一得出PB=PC,将求PC+PE的值最小，转化为PB+PE的值最小，易知BE

的长即为所求，再根据面积相等即可求出BE的值，从而得出答案.

【解答】解：连接PB,

AB=AC=10,AD是/BAC的平分线，

.•.AD为BC的垂直平分线，

.,.PB=PC.

要是PC+PE的值最小，即PB+PE的值最小，只有点P、B、E在一条直线上时，PB+PE的值，即BE的长

即为所求.

AB=AC=10,BC=12,AD=8,BE±AC,

xBCxAD=—xACxBE,

22

gp-xl2x8=-xlOxBE,

22

48

解得：BE=《.

48

「.PC+PE的最小值是

48

故答案为：—■

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，将求PC+PE的值转化为求BE的值是解题的关键.

三、解答题

13.如下右图所示.（1）作出AA3C关于V轴对称的图形儿4,与。1；（2）在x轴上确定一点P,使得QA+PC

最小.

【答案】（1）如图所示△A4G；（2）如图所示点P.

【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；

（2）最短路径问题，找其中一个点的对称点，和另一个点连接起来即可.

【解答】（1）如图所不；

（2）如图所示，过A点作关于x轴的对称点A2,连接A2c与x轴交于点P,此时P4+PC最小.

【点评】本题考查了轴对称图形的作法，最短路径问题，熟练掌握对称的性质是解题的关键.

14.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上，

（1）AABC的面积为:

(2)在图中画出与4ABC关于直线1成轴对称的△AiBiCi；

(3)利用网格线在直线1上求作一点P,使得PA+PC最小.请在直线1上标出点P位置,PA+PC最小为

个单位.

【答案】(1)4；(2)见解析；(3)734;

【分析】①根据割补法求解可得；

②分别作出点A,B,C关于直线1的对称点，再顺次连接即可得；

③连接ACi,与直线1的交点即为所求.

【解答】解：(1)ZXABC的面积为3x3—工X1X3-LX2X2.LX1X3=4,

222

故答案为：4.

(2)如图，△AiBiCi即为所求.

(3)点P如图所示，

PA+PC=PA+PCi=CiA

根据两点之间线段最短原理可得PA+PC最小为CiA的长

根据勾股定理得CIA=752+32=用■

【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点

的位置，熟记轴对称的性质是解题的关键.

k

15.如图，直角△A3C中，ZC=90°,AC=2,BC=4,AC平行于x轴，A、B两点在反比例函数y=—(%

x

>0)的图象上.延长CA交y轴于点。，AD=l.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)在y轴上是否存在点P,使的周长最小，若存在，直接写出此时的周长；若不存在，说

明理由.

A

【答案】(1)y=—(x>0);(2)存在.AR4B的周长的最小值为2逐+4起.

x

【分析】(1)设A(1,k),则B(3,k-4),利用反比例函数图象上点的坐标特征得到3(k-4)=k,解得

k=6,从而得到反比例函数的解析式；

(2)先计算出AB=2百，作A点关于y轴的对称点A，，连接BA，交y轴于P点，连接PA,如图，则A，

(-1,6),PA=PA\利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB的值最小，^PAB的周长最小，然后计算出

BA\从而得到APAB的周长的最小值.

【解答】(1)VZC=90°,AC平行于X轴，

轴，

VAD=1,AC=2,BC=4,

二设A(1,k),则B(3,k-4),

点在反比例函数y=月(x>0)的图象上，

x

.*.3(4-4)=k,解得。=6,

，反比例函数的解析式为y=9(x>0)；

(2)存在.

VA(1,6),B(3,2),

-'-AB=J(l—3、+(6-2>=2后,

作A点关于y轴的对称点4，连接54'交y轴于P点，连接力，如图，4(-1,6),

则PA=PA',

：.PA+PB=PA'+PB=BA',

此时B4+P2的值最小，的周长最小,

BA'=J(3+If+(2-6)2=472

△B4B的周长的最小值=AB+BA'=2逐+4e•

【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，做此类题，先设出含有待定系数的反比例函数解

析式>=幺（k为常数，原0）,然后把一组对应值代入求出k,从而得到反比例函数解析式.也考查了最短

x

路径问题.

16.如图，在边长为2cm的正方形ABCZ）中，。为BC边的中点，P为对角线AC上的一个动点，连接尸8,

PQ,求△PB。周长的最小值.

【答案】1+石.

【分析】

由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DQ,交AC于点P,由最短路径问题模型知，此时APBQ的

周长最小，APBQ的周长=BP+PQ+BQ=DQ+BQ.在Rt^CDQ中，由勾股定理先计算出DQ的长度，再得

出结果.

【解答】

解：连接DQ,交AC于点P,连接PB、BD,BD交AC于O.

•/四边形ABCD是正方形，

.\AC±BD,BO=OD,CD=2cm,

.••点B与点D关于AC对称，

；.BP=DP,

BP+PQ=DP+PQ=DQ.

在Rt^CDQ中，由勾股定理，得QD=J。h+c02=也2+F=6

.•.△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ=J?+1(cm).

【点评】本图主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路径问题，同时也考查了勾股定理得应用.是常考的基

本题.

17.如图，一次函数y=-x+6的图像与正比例函数y=2x的图像交于点A.

(1)求点A的坐标；

(2)已知点B在直线y=-x+6上，且横坐标为5,在x轴上确定点P,使PA+PB的值最小，求出此

时P点坐标，并直接写出PA+PB的最小值.

2?

【答案】(1)点A的坐标(2,4)；(2)P点坐标为(彳，0),PA+PB的最小值为国.

【分析】(1)把两个函数关系式联立成方程组求解，即可求得交点A的坐标；

(2)作点B关于x轴的对称点C,连接AC交x轴于P,连接PB,此时PA+PB的值最小，利用两点之间的距

离公式计算即可求得最小值.

【解答】⑴解方程组4°,

、y=2x

.•.点A的坐标为(2,4)；

(2)•.•点B在直线y=—x+6上，且横坐标为5,

.,.点B的坐标为(5,1),

作8点关于x轴对称点C,

则点C的坐标为(5,-1),

连接AC交x轴于P,连接PB,此时PA+PB的值最小，

设直线AC的表达式为y=kx+b,

2k+b=4

将点A、C的坐标(2,4)、(5,-1)代入，得：〈一，，

5k+b=-l

k,=—5

3

解得：上

b=—

[3

522

直线AC的表达式为y=——x+—,

33

令y=0,则％=彳，

22

・・・尸点坐标为（彳，0）,

/.PA+PB的最小值=AC=J（5—2『+（—1—4）2=用.

【点评】本题考查了轴对称-最短问题，一次函数的交点问题，一次函数的应用，两点间距离公式等知识，

解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题.

18.如图，在心AA3C中，NACB=90°,BC=AC=2,。为A3中点，E，P分别是AC,3c上的

动点，且满足NEDF=90°.

（1）求证：DE=DF；

（2）求四边形CEDE的面积；

（3）求AC印周长的最小值（结果保留根号）.

【答案】（1）见解析；（2）1；（3）2+6

【分析】（1）连结CD,由等腰直角三角形的性质和角的和差可得：ZCDE=ZBDF,由全等三角形的判定

可得aDEC丝ZkDFB,进而由全等三角形的性质求证结论；

（2）利用分割法将四边形CFDE分成两部分，即ADEC和aCDF,由（1）可知ADEC丝△DFB,进而可

知四边形CFDE的面积等于ABCD,根据三角形的面积公式代入数据即可求解；

（3）由（1）可知CE=FB,石D=ED,继而可得CE+CF=BC=2,根据等腰直角三角形可得EF=®DF，

根据题意可知当EDLCB时，FD最小,继而求得ACEF周长的最小值.

【解答】（1）证明：连结CD

vZACB=9Q°,BC=AC,。为AB的中点

:.CD=CB,NCD8=90°，ZACD=ZB=45°.

•.•ZEDF=90°,

.-.ZCDE=ZBDF.

在ADEC与ADFB中,

ZEDC=ZBDF

CD=BD

ZECD=ZB

ADECsADFB(ASA).

:.ED=FD-.

D

E

B

（2）解：由（1）知：ADEC=ADFB

一S四边形CFDE=S^cED+SKCFD=M3BF+\CFD=^ACBD=]MBC

^AABC=2,

…S四边形CFDE=1

（3）由（1）知：ADEC=M）FB,

:.EC=FB

:.EC+CF^FB+CF=2

由（1）知：ED=FD，

­.•ZEDF=90°,

EF=y[2FD

当EDLCB时，FD最小,此时历最小为行，从而ACFE周长的最小值为2+夜.

【点评】本题主要考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式和周

长，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质.

19.A,8两个小镇在河流/的同侧，它们到河流的距离AC=4千米，3£>=8千米，且CD=5千米，现要

在河边修建一自来水厂，向A,3两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元.

B

CD1

（1）请你在河岸上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）最低费用为多少？

【答案】（1）详见解析；（2）39万元

【分析】（1）根据题意，要使铺设水管的费用最少，则自来水厂与A、3两个小镇的距离和最小，所以作

出点A关于直线/的对称点E，连接班，则座与直线/的交点即是水厂的位置

（2）首先根据勾股定理，求出BE的长度是多少，即可判断出铺设水管的长度最短是多少；然后根据总价=

单价x数量，用每千米的费用乘以铺设的水管的长度，求出最低费用为多少即可.

【解答】解：（1）根据分析，水厂的位置“为：

图1

（2）如图2,在直角三角形5石尸中，

EF=CD=5（千米），

BF=BD+DF=8+4=12（千米），

BE=NEF+BF?=J52+12?=13（千米）,

二铺设水管长度的最小值为13千米，

二•铺设水管所需费用的最小值为：

13x3=39（万元）.

答：最低费用为39万元.

【点评】（1）此题主要考查了轴对称-最短路线问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：凡是涉及

最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线

的对称点.

（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握.

（3）此题还考查了总价、单价、数量的关系：总价=单价x数量，单价=总价:数量，数量=总价+单价,

要熟练掌握.

20.如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上.

（1）作AABC关于直线MN对称的图形△A'B'C.

（2）若网格中最小正方形的边长为1,求AABC的面积.

（3）点P在直线MN上，当PA+PC最小时，P点在什么位置，在图中标出P点.

（4）求出第三问中PA+PC的最小值

【答案】(1)见解析；(2)3；(3)见解析；(4)2^/13.

【分析】(1)根据轴对称的性质即可作AABC关于直线MN对称的图形△ABC；

(2)根据网格中最小正方形的边长为1,即可求AABC的面积；

(3)根据两点之间线段最短，作点A关于MN的对称点A，，连接AC交直线MN于点P,此时△PAC周

长最小；

(4)PA+PC的最小值即为A9,运用勾股定理求解即可.

(2)4ABC的面积为：—x3x2=3；

2

(3)因为点A关于MN的对称点为A，，连接AC交直线MN于点P,此时APAC周长最小.

所以点P即为所求.

(4)PA+PC的最小值即为AC,

由勾股定理得，AfC=762+42=2A/13-

故PA+PC的最小值为：2曲,

【点评】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和两点之间线段最短.

21.已知在平面直角坐标系中，A(4,0),B(0,3),以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形

ABC,AB=AC,ZBAC=90°.

(1)在图(1)中，求点C坐标；

(2)在图(2)中，动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度向x轴正方向运动，设点P的运动时

间为t,△PAC的面积为S,求S与t的关系式，并写出t的取值范围.

(3)在(2)问条件下，若PB+PC的值最小时，求P点坐标及t的值.

【答案】(1)C(7,4)；(2)S=8-4r(O<r<2),S=4t-8(t>2)；(3)P(3,0),t=1.5

【分析】（1）过点C作CH，x轴于点H,利用AAS证得aAOB名ZM2DA,从而得到AD、CD,就可得到

点C的坐标；

（2）分两种情况①当点P在OA上时，②当点P在OA延长线上时，再利用三角形的面积公式即可

（3）找点B关于x轴的对称点E,连接CE与x轴交于点P,则PB+PC的值最小，求出CE的解析式，可

得点P的坐标，再根据OP=2t即可得出t的值.

【解答】证明：（1）过点C作CDJ_x轴于D,

・•・NADO90。

■:ZBAD=ZBAC+ZCAD=ZOBA+ZBOA

ZBOA=ZBAC=90°

・•・ZCAD=ZOBA

VZBOA=ZADC=90°,AB=CA

・•・AABO^ACAD(AAS)

.\OA=DCOB=AD

VA(4,0),B(0,3)

・・・OA=4,OB=3

ADC=4AD=3

.*.OD=7

JC(7,4)

(2)OP=2t

①当点P在OA上时，AP=4-2t

AP-CD(42)4/、

S=---==84(0<t<2)

②当点P在OA延长线上时，AP=2t-4

°AP-CD(2^-4)-4

S=----------=-----------=4b8(%>2)

22v7

(3)点B关于x轴的对称点E坐标为(0,-3),连接EC交x轴于点P

设BE解析式为y=kx+b,

17左+/?=4

〈；

b=-3

k=l

b=-3

直线CE解析式为y=x-3

当y=0时，x=3

：.P(3,0)

2t=3

t=1.5

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、利用轴对称的性质求最短路径，全等三角形的性质与

判定，解答本题的关键是数形结合思想及待定系数法的应用，难度一般.

22.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点48的坐标分别是A(3,2),

B(1,3),ZVIOB关于y轴对称的图形为△403.

(1)画出△4081并写出点31的坐标为；

(2)写出△4021的面积为；

(3)点P在x轴上，使B4+PB的值最小，画出p点

(4)在(3)的条件下，求出+PB的的最小值.

【答案】(1)ZVliOBi见解析，(-1,3)；(2)3.5；(3)P点的位置见解析图；(4)J河.

【分析】(1)根据网格结构找出点A、B关于y轴的对称点Ai、Bi的位置，再与。顺次连接即可，然后根

据平面直角坐标系写出点Bi的坐标；

(2)利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解；

(3)找出点A关于x轴的对称点A］立置，连接A，B,根据轴对称确定最短路线问题与x轴的交点即为所求

的点P;

(4)借助网格，利用勾股定理即可求得A，B即为用+四的的最小值.

222

=9-1-3-1.5

=9-5.5

=3.5；

故答案