中考数学难点突破与训练：固定面积的存在性问题（原卷版+解析）

专题53固定面积的存在性问题

【题型演练】

一、解答题

1.【探索发现】

⑴如图1,是一张直角三角形纸片，ZB=90。，小明想从中剪出一个以NB为内角且面积最大的矩形，经

过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正

确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为.

【拓展应用】

⑵如图2,在AABC中，BC=a,BC边上的高AD=h,矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上,

顶点Q、M在边BC上，求出矩形PQMN面积的最大值（用含a、h的代数式表示）；

【灵活应用】

⑶如图3,有一块“缺角矩形"ABCDE,AB=28,BC=36,AE=18,CD=14,小明从中剪出了一个面积

最大的矩形（4为所剪出矩形的内角），直接写出该矩形的面积.

2.已知二次函数、="2+法-4（a>0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OACOB）,与y

轴交于点C.

（1）求C点坐标，并判断b的正负性;

（2）设这个二次函数的图像的对称轴与直线AC交于点D,已知DC：CA=1：2,直线BD与y轴交于点E,

连接BC,

①若△BCE的面积为8,求二次函数的解析式；

②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围.

y

X

万一

3.“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几

何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题

目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例：

实例一：1876年，美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理：由S四边彩旗8=5少©+5加£+5少£得

222

g(a+6)2=2x："+gc2,化简得：a+b=c.

实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x的方程Y+依=〃的图解法是：画RfABC,使NACF=90。，

BC=|,AC=\b\,再在斜边AB上截取BC=5,则的长就是该方程的一个正根(如实例二图).

根据以上阅读材料回答下面的问题：

(1)如图1,请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是,乙图要证明的数学

公式是,体现的数学思想是;

(2)如图2,按照实例二的方式构造成AABC,连接。，请用含字母b的代数式表示AO的长，AD的

表达式能和己学的什么知识相联系；

(3)如图3,已知。。，A3为直径，点C为圆上一点，过点C作于点。，连接CO,设D4=a,

BD=b,求证：^-^->\[ab.

2

a

bAaDB

实例TB实例二as

4.【探索发现】

如图①，是一张直角三角形纸片，?B90?,小明想从中剪出一个以为内角且面积最大的矩形，经过

多次操作发现，当沿着中位线小、防剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确

性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为.

如图②，在AABC中，BC=a,边上的高AD=//,矩形PQMN的顶点尸、N分别在边A3、AC上，

顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为.（用含〃的代数式表示）

【灵活应用】

如图③，有一块“缺角矩形"ABCDE,AB=32,3c=40,AE=20,CD=16,小明从中剪出了一个面积最

大的矩形（/3为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积.

【实际应用】

如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量AB=60cro,BC=105cm,CD=y0cm,且tan8=；

tanC=2,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点V、N在边上且面积最大的矩形尸QWN,求该矩形的

面积.

5.某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（ABVBC）的对

角线的交点。旋转（①一②—③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的

交点.

（1）该学习小组成员意外的发现图①中（三角板一边与CC重合），BN、CN、CD这三条线段之间存在一定的

数量关系：CN2=BN2+CD2,请你对这名成员在图①中发现的结论说明理由；

（2）在图③中（三角板一直角边与0D重合），试探究图③中BN、CN、CD这三条线段之间的数量关系，直接

写出你的结论.

（3）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由.

6.如图1,在RdABC中，ZACB=90°,AC^BC,点。为AB边上一点，连接CD,/ADC=120。，把△AOC

绕点A逆时针旋转得到△ADC'（旋转后点C、D的对应点分别为C'、"），设旋转的度数为m（0°<m<360°）.

（1）当加=30。时，如图2,连接CC并延长，交A8于点E.请直接写出NACC'的度数；

（2）在（1）的条件下，请判断AOCE的形状，并说明理由；

（3）①小明在探究的过程中发现：当机=90。时，如图3,四边形ACBC'为平行四边形，请证明小明的结

论的正确性；

②请你再探究：在AAOC绕点A逆时针旋转过程中，是否存在其他的情形，使以A、B、C、C'四点组成的

四边形为平行四边形？若存在，请在备用图中画出旋转后的图形，并请直接写出机的值；若不能，请说明

理由.

7.如图示AB为。。的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上,

且BE=EF,线段CE交弦AB于点D.

①求证：CE//BF；

②若BD=2,且EA：EB：EC=3：1：石，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OCLAB）.

\C

D

■

2

8.如图，已知正方形OABC的边OA在y轴的正半轴上，0c在x轴的正半轴上，0A=AB=2,抛物线y=-^

x2+bx+c经过点A,B,交正x轴于点D,E是0C上的动点(不与C重合)连接EB,过B点作BFLBE

交y轴与F

(1)求b,c的值及D点的坐标；

(2)求点E在0C上运动时，四边形OEBF的面积有怎样的规律性？并证明你的结论；

(3)连接EF,BD,设OE=m,△BEF与△BED的面积之差为S,问：当m为何值时S最小，并求出这个

最小值.

9.在一次数学活动课上，两个同学利用计算机软件探索函数问题，下面是他们交流片断：

MN

图1：小韩：若直线x=m(m>0)分别交x轴，直线y=x和y=2x于点P、M、N时，有——=1.

图2：小苏：若直线x=m(m>0)分别交x轴，双曲线y=—(x>0)和y=—(x>0)于点P、M、N时,

XX

*MN

有---=...

PM

问题解决

mK

图①图②VJA/

1图①

(1)填空：图2中，小苏发现的M箸N=_______________；

PM

(2)若记图1,图2中MN为山，ch分别求出山，d2与m之间的函数关系式.并指出函数的增减性；

(3)如图3,直线x=m(m>0)分别交x轴，抛物线y=x2-4x和y=x2-3x于点F>,M,N,设A,B为抛物

线y=x2-4x,y=x2-3x与x轴的非原点交点.当m为何值时，线段OP,PM,PN,MN中有三条能围成等边

三角形？并直接写出此时点A,B,M,N围成的图形的面积.

10.如图：已知直线/：y=-2元+2与X轴、y轴分别相交于A、B两点、,抛物线＞=-/+6x+c经过点且

与x轴交于点C(2,0).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM,设点M的横坐标为如四

边形。4MB的面积为S,求S与相的函数表达式，并求出S的最大值；

(3)若点P在平面内，点Q在直线A3上，平面内是否存在点尸使得以O,B,P,。为顶点的四边形是菱形.若

存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

11.如图，在平面直角坐标系中，二次函数〉=混+扇+。交》轴于点4(-4,0),3(2,0),交y轴于点C(0,6),

在y轴上有一点醺0,-2),连接AE.

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点。为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求VADE的面积的最大值；

(3)抛物线的对称轴上存在着点P,使△AEP为等腰三角形.符合条件的点P坐标有若干个，请求出任意一

个符合要求的点P的坐标.

12.如图，抛物线y-d+bx+c与无轴交于A(2,0),B(T,0)两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点。，使得的周长最小？若存在，求出

。点的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)在抛物线的第二象限图像上是否存在一点P,使得APBC的面积最大？若存在，求出点尸的坐标及APBC

的面积最大值；若不存在，请说明理由.

13.如图，己知抛物丫=-/+法+°与轴交于4(-1,0),8(3,0)两点，与y轴交于点C,连接3C.

(1)求抛物线的解析式；

⑵若点尸为线段BC上的一动点(不与2、C重合)，RW//y轴，且交抛物线于点交x轴于点N,求AMBC

的面积的最大值；

(3)若点。为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点E,使E到点8的距离与点E到点。的距离之差最大？若

存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

14.如图1,抛物线y=*-4x与x轴相交于原点。和点A,直线与抛物线在第一象限的交点为8点，

抛物线的顶点为C点.

(1)求点8和点C的坐标；

(2)抛物线上是否存在点。，使得/DOB=/OBC?若存在，求出所有点。的坐标；若不存在，请说明理由；

(3汝口图2,点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点P是直线下方的抛物线上的动点，所与直线08

交于点G.设△班G和ABEG的面积分别为既和邑，求善的最大值.

15.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AS=10cm,AC:BC=4:3,点尸从点A出发沿A3方向向点B运

动，速度为lcm/s,同时点。从点B出发沿CfA方向向点A运动，速度为2cm/s,当一个运动点到达

终点时，另一个运动点也随之停止运动.

C

4——apB

(1)AC=______cm；BC=______cm；

⑵设点P的运动时间为x秒(x>0),APBQ的面积为ycm2,当APBQ存在时，求y与尤的函数关系式，并

写出自变量x的取值范围；

>

(3)当点。在BC上运动时，多少秒时APB。的面积为15cm?!

16.如图，AC、是。O的两条弦，且3DLAC于点E

(1)如图1：若AE=BE,求证DE=CE；

(2)如图2：若AC=8,BD=6,OE=而，求弓形BAD的面积

(3)连结AB/CC。，若C4=CD,

①-ACB与/ACD具有怎样的数量关系，并证明.

②在8。上存在点产，满足斯=2AB,点M是AO的中点，连结MF,已知AB=2应,加=2,求O。的半

径.

17.如图，直线4：y=履+1与无轴交于点。，直线4：y=r+b与X轴交于点A,且经过定点2(-1,5),直

线4与4交于点C(2,㈤.

⑴填空：k=；b-;m=;

(2)在x轴上是否存在一点E,使A3CE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由;

(3)若动点尸在射线。C上从点。开始以每秒1个单位的速度运动，连接AP,设点尸的运动时间为，秒.是

否存在/的值，使△ACP和△4PP的面积比为1:2?若存在，直接写出/的值；若不存在，请说明理由.

k

18.如图，一次函数必=x+l的图像与反比例函数%=—的图像相交于点A(肛2),8两点，分别连接0B.

x

⑴求这个反比例函数的表达式；

(2)请根据函数图像的轴对称性，直接写出点8的坐标为,当M＞为，则自变量尤的取值范围

是;

(3)在平面直角坐标系内，是否存在一点尸，使以点。，A,B,P为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接

写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

专题53固定面积的存在性问题

【题型演练】

一、解答题

1.【探索发现】

⑴如图1,是一张直角三角形纸片，4=90。，小明想从中剪出一个以NB为内角且面积

最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，

随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为

【拓展应用】

（2）如图2,在AABC中，BC=a,BC边上的高AD=h,矩形PQMN的顶点P、N分别在

边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求出矩形PQMN面积的最大值（用含a、h的代数

式表示）；

【灵活应用】

（3）如图3,有一块“缺角矩形"ABCDE,AB=28,BC=36,AE=18,CD=14,小明从中

剪出了一个面积最大的矩形（NB为所剪出矩形的内角），直接写出该矩形的面积.

1ah

【答案】⑴⑵7⑶当x=21时，矩形BGPH的面积取得最大值，最大值为567.

S矩形五瓦用_EF•DE

【分析】（1）由中位线知EF=^BC、ED=2AB、由S一1gA「可得;

2

PNAEa

（2）由△APNs^ABC知力7=77?，可得PN=a-：P。，设PQ=x,由S矩形PQMN=PQ・PN=

AUh

-^（彳一4『+¥，据此可得；

h24

（3）结合图形过DE上的点P作PGLBC于点G,延长GP交AE延长线于点I,过点P作

EIPJQ

PHXAB,设PG=x,知PI=28-x,由△EIPs/\EKD知——=——,据此求得EI=36一-%,

EKDK7

999

PH=54--x,再根据矩形BGPH的面积5二%（54-7］）=-7（1-21）2+567可得答案.

777

【详解】解：（1）・・・EF、ED为△ABC中位线,

..ED//AB,EF//BC,EF=-BC,ED=-AB,

22

又ZB=90°,

四边形FEDB是矩形，

S矩形FEDB_EF・DE_

则S-1—2，

人J^ABC-ABBC乙

2

故答案为彳；

2

（2）vPN//BC,

/.△APN^AABC,

PNAEf,口ETa「八

二.——二——,可得PN=a——PQ,

BCADh

2

设PQ=x,由s矩形PQMN=PQ-PN=-^-（x-^）+^-,

「•当PQ=5时，S矩形PQMN最大值为—.

（3）如图，过DE上的点P作PGLBC于点G,延长GP交AE延长线于点I,过点P作PHLAB

于点H,

则四边形AHPI和四边形BGPH均为矩形，

设PG=x,贝iJPI=28—x,

♦・・AB=28,CD=14,BC=36,AE=18,

.•.DK=14,EK=18,

,,EIPI

由△EIPS^EKD知一=大二，

EKDK

EI28-x4曰9

18147

99

.•.PH=AI=AE+EI=18+36——x=54——x,

77

则矩形BGPH的面积S=X（54_£XJ=_T（X_21）2+567,

・・・当x=21时，矩形BGPH的面积取得最大值，最大值为567.

【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握三角形中位线定理（三角形的中位线

平行于第三边并且等于第三边的一半），相似三角形的判定与性质（相似三角形任意对应线

段的比等于相似比），矩形的判定与性质（对边平行且相等）等知识点.

2.已知二次函数>=依2+区-4（a>0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且

OA<OB),与y轴交于点C.

(1)求C点坐标，并判断b的正负性；

(2)设这个二次函数的图像的对称轴与直线AC交于点D,已知DC：CA=1：2,直线BD

与y轴交于点E,连接BC,

①若△BCE的面积为8,求二次函数的解析式；

②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围.

【答案】(1)C(0,-4),b<0；(2)①y=gx2-x-4；②2乓OA<4

【分析】⑴把x=0代入y=QX-4,即可求得点C坐标，根据OAVOB,可知一丁>。，

2a

由a>0即可求得b<0；

⑵①过点D作DMLy轴，垂足为M,则有饕=奈=会=；,由此可得。

设A(-2m,0)m>0,则AO=2m,DM=m,继而可得D(m,-6),B(4m,0),AB=6m,BN=3m,

再由DN//OE,可得△BNDs^BOE,继而根据相似三角形的性质可得OE=8,再根据

S-BCE=gx4x4〃2=8,可求得m=1,由此可得A(-2,0),B(4,0),设y=a(x+2)(x-4),

继而可得C(0,-8a),再根据C点(0,-4)可求得a值，即可求得答案；

②由①易知：B(4m,0),C(0,-4),D(m,-6),/CBD一定为锐角，利用勾股定理求得

CB2=16m2+l6,CD2=m2+4,DB2=9m2+36,然后分两种情况进行讨论即可得.

【详解】⑴当x=0时，y=ax2+Z?x-4=-4,

.,.C(0,-4),

h

VOA<OB,对称轴在y轴右侧，Bp-->0,

2a

Va>0,.,.b<0；

(2)①过点D作DM，y轴，垂足为M,则有DM〃OA,

/.△DCM^AACO,

.DMMCDC

"~OA~^O~~CA~2"

：.DM=~AO,

2

设A(-2m,0)m>0,则AO=2m,DM=m,

VOC=4,・・・CM=2,

-6),B(4m,0),AB=6m,BN=3m,

VDN//OE,

.,.△BND^ABOE,

.DNBN

9，~OE~~OB"

口r63m

即——=——，

OE4m

AOE=8,

.,.CE=OE-OC=4,

S^BCE=5*4x4m=8,

m=1,

AA(-2,0),B(4,0),

设y=〃(x+2)(x-4),

即y=ax2-lax-Sa,

令x=0,则y=-8a,

AC(O,-8a),

.*.-8a=-4,

,1

1

y=—x9-x-4；

2

②由①易知：B(4m,0),C(0,-4),D(m,-6),NCBD一定为锐角,

由勾股定理可得：CB2=16m2+16,CD2=m2+4,DB2=9m2+36,

当NCDB为锐角时，CD2+DB2>CB2,

m2+4+9m2+36>16m2+16，

解得-2VmV2；

当NBCD为锐角时，CD2+CB2>DB2,

m2+4+16m2+16>9m2+36，

解得或mV-疝舍)，

综上：V2<m<2，

20V2m<4，

2^<OA<4.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，待定系数法，勾股定理以

及不等式等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解

题的关键.

3.“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题

目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这

时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事

半功倍的效果，下面介绍两则实例：

实例一：1876年，美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理：由S四边形

ABC£>=S44BC+S44DE+SA4BE得=2X,化间得：+6"=/.

实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于X的方程无2+依=〃的图解法是：画RSABC,

使/ACB=90。，BC=|,AC=\b\,再在斜边AB上截取2C=f则AD的长就是该方程

的一个正根（如实例二图）.

根据以上阅读材料回答下面的问题：

（1）如图1,请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是,乙

图要证明的数学公式是,体现的数学思想是；

（2）如图2,按照实例二的方式构造成AABC,连接请用含字母。、6的代数式表示AO

的长，AO的表达式能和已学的什么知识相联系；

（3）如图3,已知。0,A3为直径，点C为圆上一点，过点C作。。，他于点。，连接CO,

设DA=a,BD=b,求证：＞4ab.

2

【答案】（1）完全平方公式，平方差公式，数形结合的思想；（2）3AD

2

的表达式能和一元二次方程的求根公式相联系；（3）证明见解析.

【分析】（1）根据大正方形面积=各个部分面积之和，即可得到完全平方公式和平方差公式,

进而即可得到答案；

(2)根据勾股定理以及一元二次方程的求根公式，即可得到答案；

(3)连接AC,CB,易证△ACDSACBD,CD2=ADBD,结合。C=g(a+b)CO'CD,

即可得到结论.

【详解】(1)如图1中,图甲大正方形的面积=(。+力2=6+2"+火

图乙中大正方形的面积=/—(a—by+Z?2+2b(a—b),即:

a2-b2=(Q-b)(a-b+2b)=(Q+b)(a-b).

它们都体现了数形结合的思想.

故答案是：完全平方公式，平方差公式，数形结合的思想；

(2):在RSABC中，BC=|,AC=W，

••AB=

ci《4b之+Q2—a

­­AD

解/+依=匕2,由求根公式可得x=一“士+4匕

答：AD的表达式能和一元二次方程的求根公式相联系；

(3)由已知，可得0C=JAB=万①+6),连接AC,CB.

；AB为直径，

ZACB=90°,

，ZACD+ZDCB=90°,

'：CD±AB,

：.ZCAD+ZACD=90°,ZCDA=Z.CDB,

NDCB=NCAD,

：.AACDs^CBD,

CD2=ADBD,即CZ)=«K,

在Rt/\COD中，CO2=OD2+CD2,

CO2>CD2,即CO2CD,

呼H

【点睛】本题主要考查乘法公式与几何图形的面积，勾股定理，一元二次方程的求根公式,

圆周角定理的推论以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质定理，勾股

定理以及圆周角定理的推论，是解题的关键.

4.【探索发现】

如图①，是一张直角三角形纸片，？890?,小明想从中剪出一个以—3为内角且面积最大

的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、/方剪下时，所得的矩形的面积最大，随

后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为

如图②，在AABC中，BC=a,边上的高=矩形尸的顶点？、N分别在边

AB,AC上，顶点2、M在边BC上，则矩形PQVW面积的最大值为.（用含

的代数式表示）

【灵活应用】

如图③，有一块“缺角矩形"ABCDE,AB=32,3c=40,AE=20,8=16,小明从中剪

出了一个面积最大的矩形（/3为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积.

【实际应用】

如图④，现有一块四边形的木板余料ABC。，经测量AB=60c〃z,BC=105cm,CD=74cm,

4

且tanB=§,tanC=2,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大

的矩形尸QMN,求该矩形的面积.

【答案】【探索发现】：；【拓展应用】半；【灵活应用】720；【实际应用】2205cm2.

24

S矩形产矶用_EF■ED

【分析】（1）【探索发现】：由中位线知EF=[BC、ED=[AB、由S4“一1”一可

22AABC—AD•nC

2

得结论；

(2)【拓展应用】：设PN=b,证明AAPNs^ABC,表示PQ的长，根据矩形的面积公式得：

S=b・PQ=M，叽-且+bh,根据二次函数求最值即可；

aa

(3)【灵活应用】:添加如图1辅助线，取BF中点LFG的中点K,由矩形性质知AE=EH=20、

CD=DH=16,分另lj证△AEF咨/kHED、△CDGgZ^HDE得AF=DH=16、CG=HE=20,从而

判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可；

(4)【实际应用】：延长BA、CD交于点E,过点E作EHLBC于点H,由tanB和tanC得

BH和CH、EH的长，继而求得BE和CE的长，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD

上，利用【拓展应用】结论解答可得.

【详解】(1)【探索发现】:设EF=x,ED=y,

：EF、ED为八ABC中位线，

AEDAB,EF/7BC,EF=yBC,ED=；AB,

；.AB=2ED=2y,BC=2EF=2x,

又/B=90。，

四边形FEDB是矩形，

S矩形FEDB_EF.ED_阴_J_

则一^―1一1,

JXABCAB-BC-«2X?y/

22

故答案为：g；

(2)【拓展应用】：设PN=b,

：PN〃BC,

.'.△APN^AABC,

.AE_PN

"AD-BC'

1/BC=a,BC边上的高AD=h,

.h-PQ_bah-bh

PQ=---------

haa

：・@/L〃/

.S=bPQ=--+bh

a

—h2ah

s的最大值为：.h4;

4x(——)

a

则矩形PQMN面积的最大值为日；

故答案为：牛；

(3)【灵活应用】：如图1,延长BA、DE交于点F,延长BC、ED交于点G,延长AE、

CD交于点H,取BF中点I,FG的中点K,

由题意知四边形ABCH是矩形，

VAB=32,BC=40,AE=20,CD=16,

，EH=20、DH=16,

，AE=EH、CD=DH,

在AAEF和AHED中，

ZFAE=ZDHE

•：(AE=AH,

NAEF=NHED

.'.△AEF^AHED(ASA),

；.AF=DH=16,

同理△CDG^AHDE,

.•.CG=HE=20,

VBI=24<32,

中位线IK的两端点在线段AB和DE上，

过点K作KL±BC于点L,

由【探索发现】知矩形的最大面积为gxBG・3BF=3x(40+20)x|(32+16)=720,

答：该矩形的面积为720；

(4)【实际应用工如图2,延长BA、CD交于点E,过点E作EHLBC于点H,

E

图2

VtanB=—

BH3

设EH=4x,BH=3x,

*.*tanC=2=,

CH

.,.CH=2x,

VBC=BH+CH=105=3x+2x,x=21,

・・・BH=63,CH=42,EH=84,

由勾股定理得：BE=ylEH2+BH2=A/632+842=105,CE=y/CH2+EH2=V842+422=42人，

VAB=60,

.'.AE=45,

ABE的中点Q在线段AB上，

VCD=70,

ACE的中点P在线段CD上，

・・・中位线PQ的两端点在线段AB、CD±,

由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为：BC-EH=%O5X84=22。5cm2,

答：该矩形的面积为2205cm2.

【点睛】此题考查四边形的综合问题，熟练掌握中位线定理、相似三角形的判定与性质、等

腰三角形的性质及类比思想的运用是解题的关键.

5.某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形

ABCD(ABVBC)的对角线的交点O旋转(①一②—③)，图中的M、N分别为直角三角形的

直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点.

（1）该学习小组成员意外的发现图①中（三角板一边与CC重合），BN、CN、CD这三条线段

之间存在一定的数量关系：CN2=BN2+CD2,请你对这名成员在图①中发现的结论说明理由；

⑵在图③中（三角板一直角边与0D重合），试探究图③中BN、CN、CD这三条线段之间的

数量关系，直接写出你的结论.

（3）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明

理由.

【答案】（1）见解析；（2）BN2=NC2+CD2；（3）CM2+CN2=DM2+BN2,理由见解析.

【分析】（1）连结AN,由矩形知AO=CO,/ABN=90。，AB=CD,结合ON_LAC得NA=NC,

由NABN=90。知NA2=BN2+AB2,从而得证；

（2）连接DN,在R3CDN中，根据勾股定理可得：ND2=NC2+CD2,再根据ON垂直平

分BD,可得：BN=DN,从而可证：BN2=NC2+CD2；

（3）延长MO交AB于点E,可证：△BEO也△DMO,NE=NM,在RtABEN和RtAMCN

中，根据勾股定理和对应边相等，可证：CN2+CM2=DM2+BN2.

【详解】（1）证明：连结AN,

:矩形ABCD

.•.AO=CO,ZABN=90°,AB=CD,

VON±AC,

；.NA=NC,

ZABN=90°,

；.NA2=BN2+AB2,

.\NC2=BN2+CD2.

:四边形ABCD是矩形,

.\BO=DO,ZDCN=90°,

VON±BD,

・・・NB=ND,

•IZDCN=90°,

・・・ND2=NC2+CD2,

BN2=NC2+CD2.

(3)CM2+CN2=DM2+BN2

理由如下：延长MO交AB于E,

:矩形ABCD,

ABO=DO,ZABC=ZDCB=90°,AB//CD,

・・・NABO=NCDO,ZBEO=ZDMO,

.,.△BEO^ADMO(ASA),

.,.OE=OM,BE=DM,

VMO1EM,

ANE=NM,

VZABC=ZDCB=90°,

NE2=BE2+BN2,NM2=CN2+CM2,

•••CN2+CM2=BE2+BN2,

即CN2+CM2=DM2+BN2.

【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性

质等知识点.

6.如图1,在RQABC中，ZACB=90°,AC=BC,点。为AB边上一点，连接CD,ZADC

=120。,把^AOC绕点A逆时针旋转得到△ADC(旋转后点C、。的对应点分别为C、DC),

设旋转的度数为加(0°<m<360°).

(1)当加=30。时，如图2,连接CC并延长，交A3于点E.请直接写出NACC的度数；

(2)在(1)的条件下，请判断△OCE的形状，并说明理由；

(3)①小明在探究的过程中发现：当机=90。时，如图3,四边形ACBC为平行四边形，请

证明小明的结论的正确性；

②请你再探究：在△AOC绕点A逆时针旋转过程中，是否存在其他的情形，使以A、B、。、

C'四点组成的四边形为平行四边形？若存在，请在备用图中画出旋转后的图形，并请直接

写出相的值；若不能，请说明理由.

【答案】(1)75°；(2)等边三角形，理由见解析；(3)①见解析；②存在，画图见解析，

"2=90°或瓶=270°

【分析】(1)由旋转知AC=AC',根据NC4C'=30。得/ACC=幽二75。；

2

(2)在RdABC中，ZACB=9Q°,A8=AC知NA2C=/a4C=45。，结合NACC'=75°

知NBCE=90。-ZACC=15°,继而知/AEC=/ABC+NBCE=60。，根据N4Z)C+/CZ)E

=180°,乙位＞。=120。得/。5=60。，继而知NCOE=NOEC=NECr)=60。，即可得证；

(3)①初=90°时，由NACB=90°,ZBAC=90°知NACB+NA4C'=180°,据此得AC'〃3c,

再由AC'=AC,AC=8C知AC'=8C,即可得四边形ACSC'为平行四边形；

②加=270。时，由/C'AC=90。知NC'AC=/AC8,从而得AC'=BC,结合AC'=CB证得

四边形AC'CB为平行四边形.

【详解】解：(1)由旋转知AC=AC,

,：ZCAC=30°,

(2)ADCE是等边三角形，

理由：在RfAABC中，ZACB=90°,AB=AC,

：.ZABC=ZBAC=45°,

由(1)知，/ACC'=75。,

ZBCE=90°-ZACC=15°,

ZAEC=ZABC+NBCE=60。,

ZADC+ZCDE=180°,ZADC=120°,

AZCDE=60°,

ZCDE=ZDEC=ZECD=60°,

...△OCE是等边三角形；

(3)①当加=90。时，四边形4cBe为平行四边形，如图3所示:

VZACB=90°,ZBAC=90°,

JZACB+NBAC=180°,

・•・AC//BC,

VAC=AC,AC=BC,

：.AC=BCf

・・・四边形ACBC为平行四边形；

②当m=270。时，四边形AC3C为平行四边形，如图4所示:

图4

当机=270。时，/C'AC=90。，

：.ZC'AC=ZACB,

：.AC=BC,

'：AC=CB,

四边形ACCB为平行四边形，

综上所述，当机=90。或〃?=270。时，以A、B、C、C四点组成的四边形为平行四边形.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质、平行四边形的判定定理、等腰直角三

角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨

论的思想思考问题，属于中考压轴题.

7.如图示AB为。。的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE

的延长线上，且BE=EF,线段CE交弦AB于点D.

①求证：CE〃:BF；

②若BD=2,且EA：EB：EC=3：1：逐，求△BCD的面积（注:根据圆的对称性可知OCLAB）.

【答案】①证明见解析；②ABCD的面积为：2.

【分析】①连接AC,BE,由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出/F=g/AEB,由

圆周角定理得出NAEC=/BEC,证出NAEC=/F,即可得出结论；

AZ)3BDBE

②证明△ADEs/XCBE,得出"=亍，证明ACBES/XCDB,得出一=—,求出CB=2

"CBCE

石，得出AD=6,AB=8,由垂径定理得出OC_LAB,AG=BG=；AB=4,由勾股定理求出

CG7cB2-BG?=2,即可得出△BCD的面积.

【详解】①证明：连接AC,BE,作直线OC,如图所示：

,/BE=EF,

NF=NEBF；

ZAEB=ZEBF+ZF,

/.ZF=1-ZAEB,

：C是AB的中点，

AC=BC>

：.ZAEC=ZBEC,

ZAEB=ZAEC+ZBEC,

，/AEC=g/AEB,

；./AEC=NF,

；.CE〃BF；

②解：VZDAE=ZDCB,ZAED=ZCEB,

.".△ADE^ACBE,

.ADAEmAD3

CBCECB75

,.,ZCBD=ZCEB,ZBCD=ZECB,

/.△CBE^ACDB,

.BDBE即2=_L

"CB=CE'即CB非'

：.CB=2y[5,

AD=6,

・・・AB=8,

:点c为劣弧AB的中点，

.,.OCXAB,AG=BG=1AB=4,

.,.CG=7CB2-BG2=2,

.,.△BCD的面积=；BD・CG==x2x2=2.

8.如图，已知正方形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,

2一

抛物线y=-§x2+bx+c经过点A,B,交正x轴于点D,E是OC上的动点(不与C重合)

连接EB,过B点作BFLBE交y轴与F

(1)求b,c的值及D点的坐标；

(2)求点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积有怎样的规律性？并证明你的结论；

(3)连接EF,BD,设OE=m,△BEF与△BED的面积之差为S,问：当m为何值时S最

小，并求出这个最小值.

4

【答案】(1)b=y,c=2；D点坐标为(3,0).(2)点E在OC上运动时，四边形OEBF

的面积不变；(3)当m=2-a时S最小为0.

2

【详解】试题分析：⑴把点A,B代入抛物线产-12+bx+c求得b、c即可，y=0,建立

方程求得点D；

(2)四边形OEBF的面积不变，利用三角形全等证得结论即可；

(3)用m分别表示出两个三角形的面积，求差探讨得出答案即可.

c=2

2

试题解析：(1)把点A(0,2)、B(2,2)代入抛物线y=-7x2+bx+c得｛8.

3-----1-2b+c=2

3

入，4

解得b=w，c=2；

24

y=——x2+—x+2；

)33

24

令一1x2+—x+2=0

解得Xl=-1,X2=3

・・・D点坐标为(3,0).

(2)点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积不变；

•..四边形OABC是正方形

.\AB=BC,ZBCE=ZBAE=ZABC=90°

X'/BF±BE

ZFBE=90°

；./ABF=NCBE

.,.△ABF^ABCE

.••四边形OEBF的面积始终等于正方形OABC的面积.

(3)如图，

-

可以看出SABEF=S梯形OCBFSAOEF-SABEC

(2+2+m)x2-Jm(2+m)-g(2-m)x2

=-ym2+m+2

SABED=^-X(3-