中考数学难点突破与训练：全等三角形中的一线三垂直模型（原卷版+解析）

专题03全等三角形中的一线三垂直模型

【模型展示】

【已知】如图，AABC为等腰直角三角形，AD±DE,CE±DE

【证明】由ZBAD+ZABD=90°,ZCBE+ZABD=90°=NCBE=ABAD,

特点

[ZBAD=ZCBE

同理NABD=NBCE,在AABD和ABCE中,[=AABD=ABCE.

[ZABD=NBCE

结论AABD=ABCE,DE=AD+CE.

【模型证明】

【结论一】

在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD_LMN于D,BE_LMN于E,

则有以下结论成立：

©AADC^ACEB;②DE=AD+BE

【证明】：

①证明：'：ADLDE,BELDE,

：.ZADC=ZBEC=9Q°,

ZACB=90°,

AZACD+ZBCE=90°,ZDAC+ZACD=90°f

：.ZDAC=/BCE,

在△4。。和4CEB中

AAADC^ACEB(A4S).

②证明：由(1)知：△ADC也△CEB,

：.AD=CEfCD=BE,

•；DC+CE=DE,

：.DE=AD+BE,

【结论二】（其他形状一线三垂直）

①DE=AD-BE

%

二N

②DE=BE-AD

【题型演练】

一、单选题

1.一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所

示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度。=8cm,则OE的长为（）

A.40cmB.48cmC.56cmD.64cm

2.如图，点尸，0分别是NA3C边BA,8C上的点，且&）=4,ZA^C=60°.连结尸以尸。为边，在

尸。的右侧作等边△OPE,连结BE,则△BOE的面积为（）

C.4D.673

3.如图，AC^CE,NACE=90。，AB±BD,ED±BD,AB=6cm,DE=2cm,则3。等于（

A.6cmB.8cmC.10cmD.4cm

二、填空题

4.如图，已知ABC是等腰直角三角形，NACB=90。，AOLDE于点。，BE_LDE于点E,且点C在。E上,

若AD=5,BE=8,则。E的长为.

5.如图所示，AABC中，AB=AC,ABAC=90°.直线/经过点A,过点B作班—于点E,过点C作CF，/

于点F.若BE=2,CF=5,则EF=

三、解答题

6.已知：如图，AB1BD,EDLBD,C是8。上的一点，ACLCE,AB=CD,求证：BC=DE.

7.在△ABC中，ZACB=9Q°,AC=BC,直线AfN经过点C,S.AD±MN^D,BE_LMN于E.

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①AADC2ACEB；

②DE=AD+BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5,BE=2,求线段。E的长.

8.(1)课本习题回放:“如图①，ZACB=90°,AC^BC,AD±CE,,垂足分别为。，E,AD=2.5cm,

DE=1.7cm.求BE的长”，请直接写出此题答案：8E的长为.

(2)探索证明：如图②，点8,C在NM4N的边A"、AN上，A5=AC,点E,F在NM4N内部的射线

AD1.,且NBED=NCFD=NBAC.求证：AABE^SCAF.

(3)拓展应用：如图③，在AABC中，AB^AC,AB>BC.点。在边8C上，CD=2BD,点、E、尸在线

段AZ)上，ZBED=ACFD=ABAC.若AABC的面积为15,则AACF与ABZ组的面积之和为.(直

接填写结果，不需要写解答过程)

9.问题背景：(1)如图①，已知AABC中，4AC=90°,AB=AC,直线相经过点A,50,直线相，CE1

直线优，垂足分别为点£>,E,易证：DE=+

(2)拓展延伸：如图②，将(1)中的条件改为：在AABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线机上,

并且有ZBD4=NAEC=N3AC,请求出。E,BD,CE三条线段的数量关系，并证明.

(3)实际应用：如图③，在△ACB中，NACB=90。，AC=3C,点C的坐标为(-2,0),点A的坐标为(-6,3),

请直接写出B点的坐标.

10.如图，在AABC中，AB=BC.

cc

(1)如图①所示，直线MW过点B,AM_LMN于点M,CNLMN于点、N,且/ABC=90。.求证:

MN^AM+CN.

(2)如图②所示，直线MN过点B,A"交MN于点M,CN交MN于点N,S.ZAMB=ZABC=ZBNC,

则MN=A〃+C7V是否成立？请说明理由.

11.在直线机上依次取互不重合的三个点。，A,E,在直线机上方有AB=AC,且满足/BD4=/AEC=

ZBAC=a.

(1)如图1,当a=90。时，猜想线段。E,BD,CE之间的数量关系是；

(2)如图2,当0<a<180时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明

理由.

12.如图，/ABC=90。,E4，AB于点A,点。在直线Ag上，AD=BC,AF=BD.

图1图2

(1)如图1,若点D在线段AB上，判断。尸与。。的数量关系和位置关系，并说明理由;

(2)如图2,若点。在线段的延长线上，其他条件不变，试判断(1)中结论是否成立，并说明理由.

13.(1)如图1,已知：在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线机经过点A,BO_L直线机，CE_L直线力,

垂足分别为点。、E.证明：DE=BD+CE.

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在A48C中，AB=AC,D、A、E三点都在直线机上，并且有

/BDA=NAEC=/BAC=a,其中&为任意钝角，请问结论DE=8D+CE是否成立？如成立，请你给出证明;

若不成立，请说明理由.

14.在直线加上依次取互不重合的三个点。,AE,在直线上方有AB=AC,且满足

NBDA=ZAEC=NBAC=a.

(D如图1,当&=90。时，猜想线段。E,BD,CE之间的数量关系是；

(2)如图2,当0＜。＜180。时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明

理由；

(3)应用：如图3,在AABC中，ZBAC是钝角，AB=AC,^BAD＜ZCAE,ABDA=ZAEC=ABAC,直线机

与CB的延长线交于点尸，若BC=3FB,AABC的面积是12,求△fBO与AACE的面积之和.

15.在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C且AD_LMN于BELMN^E.

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①AADCmMEB；

®DE=AD+BE-,

(2)当直线MN烧点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE-,

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,

并加以证明.

16.(1)如图1,在AABC中，NBAC=90。，AB^AC,直线相经过点A,8。，直线相，CE,直线机，垂

足分别为点。、E.求证：△A8。取△◎£；

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线机上，并且有/BD4

=ZAEC=ZBAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论△ABDgZkCAE是否成立？如成立，请给出证

明；若不成立，请说明理由.

(3)拓展应用：如图3,D,E是D,A,E三点所在直线机上的两动点(D,A,E三点互不重合)，点、F

为NBAC平分线上的一点，且△A3P和△ACP均为等边三角形，连接加＞,CE,若NAEC=NBAC,

求证：△DEE是等边三角形.

AEmAEmDAEm

图2图3

17.已知△ABC中，ZACB=90°,AC=BC.BE、A。分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为。，E.

学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1,^AD=2.5cm,DE=1.1cm,求BE的长；然

后，张老师又提出问题2：将图1中的直线CE绕点C旋转到AABC的外部，BE、与直线CE的垂直关

系不变，如图2,猜想A。、DE、BE三者的数量关系，并给予证明.

18.在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,且AO_LA/N于£),BE_LMN于E.

（1）直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，试问。E、AD.BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个

等量关系（不写证明过程）；

（3）当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，试问。E、AD.BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个

等量关系（不写证明过程）.

专题03全等三角形中的一线三垂直模型

【模型展示】

【已知】如图，AABC为等腰直角三角形，AD±DE,CE±DE

【证明】由ZBAD+ZABD=90°,ZCBE+ZABD=90°=i>ZCBE=ABAD,

ZBAD=ZCBE

特点

同理NABD=NBCE,在AABD和ABCE中,<AB=BC

ZABD=ZBCE

AABD=ABCE.

结论AABD=ABCE,DE=AD+CE.

【模型证明】

【结论一】

在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD_LMN于D,

BE_LMN于E,则有以下结论成立:

©AADC^ACEB;②DE=AD+BE

解决方

案

【证明】:

①证明：\'AD±DE,BE±DE,

【题型演练】

一、单选题

1.一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱

子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚

度a=8cm,则DE的长为（）

A.40cmB.48cmC.56cmD.64cm

【答案】c

【详解】由等腰直角三角形的性质可得NACB=90。，AC=CB,因此可以考虑证明△AC。

和4CBE全等,可以证明OE的长为7块砖的厚度的和.

【分析】解：由题意得/ADC=/CEB=NACB=90。，AC^CB,

：.ZACD=90°-ZBCE=ZCBE,

在△4。和4C8E中，

ZADC=ZCEB

<ZACD=ZCBE,

AC=CB

：.（A4S）,

***CD=BE=3a,AD—CE=4〃,

/.DE=CD+CE=3〃+4〃=la,

•tz=8cm,

♦・7〃=56cm,

•\DE=56cmf

故选c.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角

形的性质与判定条件.

2.如图，点尸，。分别是/ABC边BA,8C上的点，且m=4,ZABC=60°.连结尸£）,

以为边，在PO的右侧作等边△OPE,连结BE,则ABOE的面积为（）

A.4A/3B.2C.4D.6月

【答案】A

【分析】要求ABDE的面积，想到过点E作EF，3C,垂足为F，因为题目已知ZABC=60°,

想到把NABC放在直角三角形中，所以过点。作。GL8A,垂足为G,利用勾股定理求出DG

的长，最后证明AG尸D=AFDE即可解答.

【详解】解：过点E作EFL8C,垂足为歹，过点。作DGL8A,垂足为G,

A

BDF

在拓△5GD中，BD=4,ZABC=60°f

.\ZBDG=30°,

:.BG=-BD=2,

2

GD=y/BD2-BG2=2s/3，

•••APDE是等边三角形,

:.NPDE=60。，PD=DE,

ZPDB+ZEDF=180°-ZPDE=120°,

・・・ZABC=60°,

/.ZPDB+ZBPD=180°-ZABC=120°,

.\ZBPD=ZEDF,

\'ZPGD=ZDFE=90°,

:.\GPD=NFDE{AAS),

,\GD=EF=2y/3，

.•.ABDE的面积=：3£>.E尸,

=-x4x2^,

2

—46，

故选：A.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的

已知条件并结合图形添加适当的辅助线.

3.如图，AC=CE,NACE=90。，AB±BDfED±BD,A8=6cm,DE=2cm,则等于

A

A.6cmB.8cmC.10cmD.4cm

【答案】B

【分析】根据题意证明“BC/△CDE即可得出结论.

【详解】解：\-AB.LBD,EDLBD,

:.ZABC=NCDE=90。,

'：ZACE=90°,

・•・ZACB+ZDCE=90°,

•?ZACB-^-ZBAC=90°f

：.ZBAC=ZDCE,

在“IBC和△CD石中，

/ABC=ZCDE=90°

ABAC=ZDCE

<

AC=CE

...AABC%CDE(AAS),

AB=CD=6cm,BC=DE=2cm,

BD=BC+CD=2+6=8cm,

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定

理是解本题的关键.

二、填空题

4.如图，已知ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,于点。，BE_LDE于点、E,

且点C在。E上，若A£>=5,BE=8,则。E的长为.

【答案】13

【分析】先根据AOLOE,BEYDE,ZADC=ZCEB=90°,则/£>AC+/OCA=90。，AABC

是等腰直角三角形，/ACB=90。,可得AC=C8,推出NZMC=NECB,即可证明仆DAC学AECB

得至ljCE=AD=5,CD=BE=8,由此求解即可.

【详解】解：'：AD±DE,BELDE,

：.ZADC=ZCEB=90°,

：.ZDAC+ZDCA=90°,

；△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,

：.ZDCA-^ZBCE=90°,AC=CB

：.ZDAC=ZECB,

:•△DACQXECB(A4S),

：.CE=AD=5fCD=BE=8,

：.DE=CD+CE=\3,

故答案为：13.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练

掌握全等三角形的性质与判定条件.

5.如图所示，△四(?中，AB=AC,ZBAC=90°.直线/经过点A,过点3作座L于点E,

过点。作。尸，/于点R若BE=2,CF=5,则跖=.

【答案】7

【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；

【详解】解：・・・3EL,CFLl,

：.ZAEB=ZCFA=90°.

：.ZEAB^ZEBA=90°.

又「ZBAC=90°,

：.ZEAB+ZCAF=90°.

：.ZEBA=ZCAF.

在△4班和4CE4中

VZAEB=ZCFAfZEBA=ZCAF,AB=ACf

：.

：.AE=CF,BE=AF.

：.AE+AF=BE+CF.

：.EF=BE+CF.

•・,BE=2,CF=5,

：.£F=2+5=7；

故答案为：7.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的

知识，正确的证明三角形全等.

三、解答题

6.已知：如图，ABLBD,ED1BD,C是80上的一点，ACLCE,AB=CD,求证：BC=

DE.

【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等.

【详解】证明：VAB±BD,EDLBD,ACLCE（已知）

AZACE=ZB=ZD=90°（垂直的意义）

VZBCA+ZDCE+ZACE=180°（平角的意义）

ZACE=90°（已证）

/.ZBCA+ZDCE=90°（等式性质）

VZBCA+ZA+ZB=180°（三角形内角和等于180°）

ZB=90°（已证）

：.ZBCA+ZA=9Q°（等式性质）

：.ZDCE^ZA（同角的余角相等）

在△43（?和4CQE中，

Z=NDCE

<AB=CD,

ZB=ZD

:.AABC出ACDE（ASA）

:.BC=DE（全等三角形对应边相等）

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关

键.

7.在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且于Z）,BE_LMN于

E.

⑴当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①△AD8ACEB；

®DE=AD+BE；

⑵当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5,BE=2,求线段。E的长.

【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；

⑵DE=3

【分析】(1)①由已知可知，AD1MN,BE1MN,得到NADC=/CEB=90。，再根据三角

形内角和与平角性质，得到=即可证明“£9名△(?£»(A4S)；②根据

AADC名△CEB,得到AD=CE,DC=BE,即可证明DE=AD+BE.

(2)由已知可知，AD±MN,BE±MN,得到NAT)C=NCEB=90。，再根据

ZCAD+ZACD=90°、ZACD+Z.BCE=90°,得到Z.CAD=NBCE，可证明卷ACEB,

得到CE=A。，CD=BE,即可求出。E长.

(1)

①证明：'：AD±MN,BE±MN,ZACS=90。

ZADC=NCEB=ZACB=90°,

•?Z.CAD+ZADC+ZACD=\S00,

ZACD+ZACB+ZBCE=l?,0°,

NCAD=NBCE,

在△ADC和△CEB中，

ZCAD=NBCE

<ZADC=ZCEB,

AC=BC

：.AADC^ACEB(AAS)；

②证明：AADC必CEB,

/.AD=CE,DC=BE,

DE=CE+DC=AD+BE；

(2)

证明：\'AD±MN,BELMN,

：.ZADC=ZCEB=9Q°,

：.ZCAD+ZACD=90°,

,/ZACB=90°,

ZACD+ZBCE=90°

：.ZCAD=ZBCE,

在△ADC和△CE3中，

ACAD=ZBCE

<ZADC=NCEB,

AC=BC

AADC%ACEB(AAS),

：.CE=AD=5,CD=BE=2,

：.DE=CE-CD=5-2=3.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，根据已知准确找到符合全等的条件是解

题关键.

8.(1)课本习题回放："如图①，ZACB=90°,AC=BC,AD±CE,BELCE,垂足分

别为D,E,AD=2.5cm,DE=1.7cm.求BE的长”，请直接写出此题答案：BE的长为

(2)探索证明：如图②，点8,C在NM4N的边A"、AN上，AB=AC,^E,F在AMAN

内部的射线4D上，且NBED=NCFD=NBAC.求证：AABE^ACAF.

(3)拓展应用：如图③，在AABC中，AB=AC,AB>3C.点。在边2C上，CD=2BD,

点E、尸在线段AO上，ZBED=Z.CFD=ZBAC.若AABC的面积为15,则AACF与ABDE

的面积之和为.(直接填写结果，不需要写解答过程)

【答案】(1)0.8cm；(2)见解析(3)5

【分析】(1)利用A4S定理证明AC班丝△ADC,根据全等三角形的性质解答即可;

(2)由条件可得NBE4=/AFC,N4=NABE,根据AAS可证明△ABE0ZkCAB

(3)先证明△A旗且△CAE得到AACF与A5DE的面积之和为△A3。的面积，再根据

CD=25D故可求解.

【详解】解：(1)VBE±CE,ADLCE,

：.ZE=ZADC=90°,

，/EBC+NBCE=9U。.

VZBCE+ZACD=90°,

：.ZEBC=ZDCA.

/E=/ADC

在△(?防和△AOC中，＜/EBC=/DCA

BC=AC

AACEB^AADC(AAS),

BE=DC,CE=AD=2.5cm.

•：DC=CE-DE,DE=1.7cm,

/.Z)C=2.5-1.7=0.8cm,

：.BE=0.8cm

故答案为：0.8cm；

(2)证明：VZ1=Z2,

：.ZBEA=ZAFC.

VZ1=ZABE+Z3,N3+N4=NA4C,Z1=ZBAC,

：.ZBAC=ZABE+Z3,

：.Z4=ZABE.

VZAEB=ZAFC,NABE=N4,AB=AC,

：.AABE^ACAF(A4S).

(3)•:/BED=NCFD=NBAC

：.ZABE+ZBAE=AFAC+ABAE=ZFAC+ZACF

：.ZABE=ZCAF,ZBAE=ZACF

5LAB=AC

AABE^ACAF,

•,—°eCAF

，MCF与ABDE的面积之和等于MBE与NBDE的面积之和，即为△ABD的面积,

•/CD=2BD,AABD与XACD的高相同

贝USAAB。=耳^^ABC=^

故AACF与ABDE的面积之和为5

故答案为：5.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判

定定理和性质定理是解题的关键.

9.问题背景：(1)如图①，已知AABC中，4c=90。，AB=AC,直线相经过点A,BD1

直线相，CEL直线相，垂足分别为点，E,易证：DE=+.

(2)拓展延伸：如图②，将(1)中的条件改为：在AABC中，AB^AC,D,A,E三点

都在直线机上，并且有N3/M=NAEC=NB4C,请求出DE,BD,CE三条线段的数量关系，

并证明.

(3)实际应用：如图③，在"8中，NACB=90。，AC=BC,点C的坐标为(-2,0),点

A的坐标为(-6,3),请直接写出2点的坐标.

【答案】(1)BD；CE；证明见详解；(2)OE=8O+CE；证明见详解；(3)点8的坐标为3。,4).

【分析】⑴根据全等三角形的判定和性质得到隹=5£>,AD^CE,结合图形解答即可;

(2)根据三角形内角和定理、平角的定义证明=场，证明名△C4E,根据

全等三角形的性质得到=AD=CE,结合图形解答即可；

(3)根据△AEC名△CFB,得到C^=AE=3,BF=CE=OE-OC=4,根据坐标与图形性

质解答即可.

【详解】(1)证明：VBDlm,CE±m,

：.ZADB=ZCEA=90°,

'：NBA。=90。，

：.ZBAD-^-ZCAE=90°f

,：ZBAD+ZABD=90°,

：.ZCAE=ZABD,

在△AD6和aCEA中

ZABD=NCAE

<ZADB=NCEA,

AB=CA

：.^ADB^ACEA,

AE=BD,AD=CE9

：.DE=AE+AD=BD+CE,

即：DE=BD+CE,

故答案为：BD；CE；

(2)解：数量关系：DE=BD+CE,

证明：在“WD中，ZABD=180°-ZADB-ZBAD,

VZCAE=1800-ZBAC-ZBAD,ZBDA=ZAEC,

：.ZABD=ZCAE,

在△MD和△(四£中，

NABD=NCAE

<NBD4NAEC

AB=CA

；・AABDRCAE,

:・AE=BD,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)解：如图，作AE_Lx轴于E,Bx轴于尸，

，OF=CF-OC=\,

•••点8的坐标为8（1,4）.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定

定理和性质定理是解题的关键.

10.如图，在AABC中，AB=BC.

CC

ZASC=90°.求证：MN=AM+CN.

（2）如图②所示，直线过点8,AM交MN于点、M,CN交MN于WN,且

ZAMB=ZABC=ZBNC,则MN=AM+C7V是否成立？请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）MN=AM+CN仍然成立,理由见解析

【分析】（1）首先根据同角的余角相等得到/&4M=NCBN,然后证明

AAMB=ABNC（AAS）,然后根据全等三角形对应边相等得到AM=BN,BM=CN,然后

通过线段之间的转化即可证明的V=A"+OV；

（2）首先根据三角形内角和定理得到/M4B=/CBN,然后证明—1"三△3NC（A4S）,

根据全等三角形对应边相等得到MN=MB+3N，最后通过线段之间的转化即可证明

MN^AM+CN.

【详解】证明：（1）'：AM±MN,CNLMN,

ZAMB=ZBNC=90°,

，ZABM+ZBAM=90°,

•・・ZABC=90°,

：.?ABM?CBN90?,

J/BAM=/CBN,

在△4WB和中，

ZAMB=/BNC

<ZBAM=NC8N,

AB=BC

：./\AMB=△BNC（A4S）,

:・AM=BN,BM=CN,

BN+MB=MN,

:・MN=AM+CN；

（2）MN=AM+CN仍然成■立,理由如下：

ZAMB+ZMAB+ZABM=ZABM+ZABC+/CBN=180。，

•；ZAMB:ZABC,

：./MAB=/CBN,

在△AMfi和△及、《中，

ZAMB=/BNC

<ZBAM=/CBN,

AB=BC

：.AAMB二ABNC（A4S）,

：.AM=BN,NC=MB,

,:MN=MB+BN,

:・MN=AM+CN.

【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，同角的与相等，三角形内角和定理等知识，

解题的关键是根据同角的余角相等或三角形内角和定理得到NB4〃=NCBN.

11.在直线机上依次取互不重合的三个点。,A,E,在直线机上方有AB=AC,且满足

=ZAEC=ZBAC=a.

(1)如图1,当a=90。时，猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是；

(2)如图2,当0<a<180时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若

不成立，请说明理由.

【答案】⑴DE=BD+CE.

(2)QE=BO+CE仍然成立，证明见解析

【分析】(1)由/8ZM=N2AC=/AEC=90。得到/R4£>+NEAC=/R4£)+NZ)BA=90。，

进而得到/£)BA=N£AC,然后结合AB=AC得证△DBA^AEAC,最后得到DE=BD+CE；

(2)由NB。A=N8AC=/4EC=a得到/BA。+NEAC=NB4。+/。BA=180。-a,进而

得到/OBA=/EAC,然后结合4B=AC得证△ABA也△EAC,最后得到。E=BO+CE.

⑴

解：DE=BD+CE,理由如下，

ZBDA=ZBAC=ZA£C=90°,

ZBAD+ZEAC^NBAD+NDBA=90°,

：.ZDBA=ZEAC,

\"AB=AC,

：./\DBA^/\EAC(A45),

：.AD=CE,BD=AE,

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案为：DE=BD+CE.

(2)

DE=2D+CE仍然成立，理由如下，

•.*/BDA=/BAC=/AEC=a,

AZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA=1SO0-a,

：.ZDBA=ZEAC,

'：AB=AC,

/.△DBA^AEAC(A4S),

：.BD=AE,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解题

的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.

12.如图，NA3C=90。,E4，AB于点A,点JD在直线A3上，AD=BC,AF=BD.

图1图2

(1汝口图1,若点。在线段A3上，判断。尸与。C的数量关系和位置关系，并说明理由；

(2)如图2,若点。在线段A3的延长线上，其他条件不变，试判断(1)中结论是否成立，

并说明理由.

【答案】⑴。尸=OC,DFA.DC,理由见解析

⑵成立，理由见解析

【分析】(1)先证AA。尸二△38,得DF=DC,ZADF=ZBCDf再证NbQC=90。即可得垂

直；

(2)先证△AO尸也△8C。，得DF=DC,ZADF=ZBCD,再证/尸QC=90。即可得垂直.

(1)

解：VZABC=90°,FALAB,

^ABC=^DAF=90°.

AF=BD

在aAO/与△BCD中,ZDAF=ZABC,

AD=BC

：.△ADF^ABCD,

：.DF=DC,ZADF=ZBCD,

,：ZBDC^-ZBCD=90o,

：.N5OC+NAO尸=90°,

ZFDC=90°,BPDF±DC.

(2)

^ABC=90°,FA±AB,

NDBC=ZDAF=90°,

AF=BD

在^AOb与△BCD中<ZDAF=/DBC,

AD=BC

ADF^ABCD,

DF=DC,ZADF=ZBCD,

ZBDC+ZBCD=90°,

：.ZBDC+ZADF=90°,

:.NFDC=90。,BPDF±DC.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是能判断哪两个三角形全等.

13.(1)如图1,已知：在△A8C中，ZBAC=90°,AB^AC,直线机经过点A,直线机，

CE_L直线〃3垂足分别为点。、E.证明：DE=BD+CE.

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线机上，

^^ZBDA=ZAEC=ZBAC=a,其中a为任意钝角，请问结论。E=BZ)+CE是否成立？如

成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

【答案】(1)见解析；(2)成立，见解析

【分析】(1)根据AAS可证明可得AE=B。，AD=CE,可得DE=BD+CE.

(2)由已知条件可知/区4。+/。4£=180。-夕，ZDBA+ZBAD=180°-a,可得

ZDBA=ZCAE,结合条件可证明△ADBgzXCEA,同(1)可得出结论.

【详解】(1)如图1,：2。，直线加，CEL直线机，

ZBDA=ZCEA=90°,

ZBAC=90°,

：.ZBAD+ZCAE=90°

'：ZBAD+ZABD=90°,

；.NCAE=/ABD,

在△4。2和4CEA中，

ZBDA=ZCEA

■ZCAE=NABD

AB=AC

：./\ADB^/\CEA(AAS),

：.AE=BD,AD=CE,

：.DE=AE+AD=BD+CE；

(2)如图2,

,：ZBDA^ZBAC=a,

/.ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180°-«,

ZDBA=ZCAE,

在△和ACEA中，

'ABDA=ACEA

<NCAE=ZABD

AB=AC

:.AADB2ACEA(AAS),

：.AE=BD,AD=CE,

：.DE=AE+AD=BD+CE；

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到

CE=AD是解题的关键.

14.在直线机上依次取互不重合的三个点，4E,在直线机上方有AB=AC,且满足

ZBDA=ZAEC=ZBAC=a.

(1)如图1,当。=90。时，猜想线段之间的数量关系是；

(2)如图2,当0<打<180。时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若

不成立，请说明理由；

(3)应用：如图3,在AABC中，ZZMC是钝角，AB=AC,

/BAD<NCAE,NBDA=ZAEC=NBAC,直线机与CB的延长线交于点尸，若BC=3FB,

△ABC的面积是12,求△FBD与AACE的面积之和.

【答案】⑴

⑵DE=BD+CE仍然成立,理由见解析

(3)A尸2。与△ACE的面积之和为4

【分析】(1)由/8。4=/2>^=/4石。=90。得到/助。+/£&。=/24£)+/。84=90。,

进而得到ND84=NEAC,然后结合A3=AC得证△DBA^AEAC,最后得到DE=BD+CE；

(2)由/8。4=/血。=/4后。=(1得到/胡。+/取。=/胡。+/。射=180。-01,进而

得到NDBA=NE4C,然后结合A3=A。得证△OA42△EAC,最后得到0E=8D+CE；

(3)由NBAO>NCAE,ZBDA=ZAEC=ABAC,得出NCAE：NA50,由A4S证得

△ADB^ACAE,得出SZkA8O=SZkCE4,再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底

的比，得出SAA3/即可得出结果.

(1)

解：DE=BD+CE,理由如下，

NBDA=ZBAC=ZAEC=90°,

：.ZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA=90°,

NDBA=NEAC,

'：AB=ACf

AADBA^AEAC(AAS),

：.AD=CE,BD=AE,

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案为：DE=BD+CE.

(2)

仍然成立，理由如下，

・・・ZBDA=ZBAC=NAEC=a,

ZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA=180°-a,

：.ZDBA=ZEAC,

*：AB=ACf

AADBA^AEAC(AAS),

：.BD=AE,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)

解：VZBAD<ZCAE9ZBDA=ZAEC=ABAC,

：.ZCAE=ZABD,

在^ABD和^CAE中，

ZABD=ZCAE

</BDA=/CEA,

AB=AC

：.AABD^ACAE(AAS),

.,.SAABD=S卜CAE,

设^ABC的底边BC上的高为h,则△ABF的底边2尸上的高为h,

ASAABC^^BC-h=12,S4ABF=』BF,h,

,:BC=3BF,

:.SAABF=4,

,:SAABF=SABDF+SAABD=S4FBD+S4ACE=4,

：.LFBD与小ACE的面积之和为4.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的

关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.

15.在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C且AD_LMN于。，BELMN

于£

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①AADC丝ACEB；

®DE=AD+BE；

(2)当直线MN烧点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；

⑶当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问。£、AD,BE具有怎样的等量关系？请写

出这个等量关系，并加以证明.

【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析

(2)证明见解析

⑶DE=BE—AD(或者对其恒等变形得到BE=AD+DE),证明见解析

【分析】(1)①根据AO-LMN,BELMN,NACB=90。，得出=,再根据A45

即可判定AADC=ACEB；②根据全等三角形的对应边相等，即可得出CE=AD,CD=BE,

进而得到DE=CE+CD=AD+BE；

(2)先根据AD_LM2V,BE±MN,得到ZADC=NCEB=N4CB=9O。，进而得出

NCAD=NBCE,再根据A4S即可判定AWCMACEB,进而得到CE=AD,CD=BE,最后

彳导出DE=CE—CD=AD—BE；

(3)运用(2)中的方法即可得出DE,AD,BE之间的等量关系是：=AD或恒

等变形的其他形式.

(1)

解：①TACMV,BELMN,

.\ZADC=ZACB=90°=ZCEB,

:.ZCAD+ZACD=90°,/BCE+ZACD=90°,

.\ZCAD=ZBCE,

•・•在AADC和ACEB中，

ZCAD=ZBCE

<ZADC=ZCEB

AC=BC

..AADC^ACEB(AAS)•

②・.AADC=ACEB,

CE=AD，CD=BE，

/.DE=CE+CD=AD+BE；

(2)

证明：-：ADLMN,BE工MN,

.\ZADC=ZCEB=ZACB=9Q°,

:"CAD=/BCE,

•.•在AADC和ACE8中，

/CAD=/BCE

<ZADC=NCEB

AC=BC

.\AADC=/^CEB(AAS)；

/.CE=AD，CD=BE，

:.DE=CE-CD=AD-BE；

(3)

证明：当MN旋转到题图(3)的位置时，AD,DE,跖所满足的等量关系是：DE=BE-AD

或AD=BE+DE或BE=AD+DE.

理由如下：vAD±ACV,BE1MN,

:.ZADC=ZCEB=ZACS=90。,

.\ZCAD=ZBCE,

•・•在AADC和ACEB中，

ZCAD=ZBCE

<ZADC=ZCEB

AC=BC

-.AADC^ACEB(AAS),

:.CE=AD,CD=BE,

:.DE=CD—CE=BE—AD(或者对其恒等变形得到AD=BE+DE^BE=AD+DE).

【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时

注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系

进行推导，得出结论.

16.(1)如图1,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线机经过点A,8。！,直线机，

CE_L直线〃3垂足分别为点。、E.求证：AABD咨ACAE；

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,。、A、E三点都在直线机上，

并且有/3。4=/4万。=/M。=01,其中a为任意锐角或钝角.请问结论△A3。g△CAE

是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)拓展应用：如图3,D,E是D,A,E三点所在直线相上的两动点(D,A,E三点互

不重合)，点尸为/BAC平分线上的一点，且△ABE和△ACF均为等边三角形，连接8。，

CE,若/BDA=/AEC=/BAC,求证：△尸是等边三角形.

【分析】(1)根据直线机，CEL直线加得/瓦M=NCEA=90。，而/SAC=90。，根

据等角的余角相等得NCAE=ZABD,然后根据“A4S”可判断AADB^ACEA；

(2)利用NBa4=NBAC=e,则/DBA+/区4。=/34)+/04£=180。一口,得出

ZCAE=ZABD,然后问题可求证；

(3)由题意易得===尸=NB4F=NE4C=60。，由(1)(2)易证AWB会ACE4,

则有钻=皮)，然后可得=进而可证AD即学AE4F,最后问题可得证.

【详解】(1)证明：•.•8。_1直线机，CE_L直线加，

:.ZBDA=ZCEA=90°,

-.-ZBAC^90°,

ZBAD+ZCAE=90°,

-,-ZBAD+ZABD=90°,

:.ZCAE^ZABD,

,在AADB和ACE4中，

NABD=NCAE

<ZBDA=ZCEA,

AB=AC

AADB^ACEA(AAS)；

解：(2)成立，理由如下：

♦：NBDA=ZBAC=a,

.\ZDBA-^ZBAD=ZBAD+ZCAE=l80°-a,

,\ZCAE=ZABD,

•••在AADB和ACEA中,

ZABD=ZCAE

<ZBDA=ZCEA,

AB=AC

\ADB^\CEA{AAS)；

(3)证明：••.△AB尸和△AC厂均为等边三角形，

/.BF=AF=AB=AC,ZABF=ZBAF=ZFAC=^)°,

・•・ZBDA=ZAEC=ZBAC=120°,

：.ZDBA+ZBAD=ZBAD+Z.CAE=180°-120°,

・•・NCAE=ZABD,

.・.