一元二次方程及其应用（讲义）解析版-2025年中考数学一轮复习

专题07一元二次方程及其应用的核心知识点精讲

o复习目标O

1.了解一元二次方程的概念，并会用直接配开平方法、因式分解法、公式法和配方法

解一元二次方程；

2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两根是否相等；

3.了解根与系数的关系，能解决与根有关的代数式求值题；

4.能列一元二次方程解实际问题；并能结合具体问题的实际意义，检验方程解的合理性

O考点植理O

定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程

—二)欠方程

TS形式：ax2+bx+c=0(a#0)

(1)如x'p(pzo)或(nx+my=p(p2o题一元二次方程可直接采用直接开平方解

一元二次方程。

(2)如果化成X、P的形式，那么可得*=±4

直接开平方

(3)如果方程能化成(nx+〃7)'=P(pA0加形式，那么nx+m=土而，进而得出方程的根

(1)把方程化成T形式，奴2+以+C=C(注意凡6C的符号)

(2)求出判别式，△=62-4ac

公式法-----般步骤」⑶在A=b24acN0(注：此处△读“德尔塔”)的前提下，把a、b、c的值代入公式

\=上正-生虚壬进行计算，求出方程的根.

一元二次方程的解法2a2a

，①化为一般形式；

②移项，将常数项移到方程的右边；

配方法一般步骤「③化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数；

④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a)2=b的形式;

⑤如果b20就可以用两边开平方来求出方程的解；如果bso,则原方程无解.

(1)移项，使方程的右边化为零；

千小翻(2)将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；

因式力解(3)令每个因式分别为零；

(4)两个因式分别为零的解就都是原方程的解。

1.b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根;

欠方程的根

的判别式与对应-2.b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

次方程根的关系13.b2-4ac<0时，方程没有实数根；

一元二次方程的根与系数的关系

列一元二次方程的实际应用的步骤：审，设，歹力解，验，答

一元二次方程的应用

常见类型

典例引领

【题型i：一元二次方程的解法】

【典例1】(2024•青海・中考真题)(1)解一元二次方程：X2-4X+3=0；

(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根，求第三边的长.

【答案】⑴久=1或x=3

(2)第三边的长是VIU或2五

【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理.

(1)用因式分解法解即可；

(2)分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计

算即可.

【详解】解：(1)X2-4X+3=0

(x-1)(x-3)=0

x=1或％=3；

(2)当两条直角边分别为3和1时，

根据勾股定理得，第三边为432+12=36；

当一条直角边为1,斜边为3时，

根据勾股定理得，第三边为62-12=2衣.

答：第三边的长是V56或2五.

⑤弓即时检测

1.(2024•江苏徐州•中考真题)(1)解方程：x2+2x-l=0；

(3无一1<8

(2)解不等式组X+1X.

I32

-

【答案】(1)x1-V2l>x2--V2-1

(2)2Vx<3

【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，解一元一次不等式组，熟练掌握解法是解题的关键.

(1)利用配方法解方程即可；

(2)分别解不等式①、②，然后找出它们的公共部分即可求出不等式组的解集.

【详解】解：(1)X2+2X-1=0,

X2+2X=1,

久2+2x+1=1+1,

(X+1)2=2,

X+1=±V2-

=叁_1，X2=-V2-I；

f3x-l<8®

⑵■[亨②，

解不等式①，得x<3,

解不等式②，得x>2,

所以不等式组的解集是2<x<3.

典例引领

【题型2：一元二次方程的判别式及应用】

【典例2](2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题)关于x的一元二次方程⑺-2)/+4尤+2=0有两个实数根,

则m的取值范围是()

A.m<4B.m>4C.m2—4且?？172D.mW4且m42

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式.根据一元二次方程。/+欣+。=0缶。0)的根的判别式

△=Z)2-4ac的意义得到血一2W0且4>0,即4?一4x(m-2)X2>0,然后解不等式组即可得到m的取值

范围.

【详解】解：,•・关于久的一元二次方程(租一2)/+4%+2=。有实数根，

・•.m—2。0且4>0,

即4?—4x(m-2)X2>0,

解得：m<4,

zn的取值范围是m<4且mW2.

故选：D.

即时检测

1.(2024•山东济南・中考真题)若关于％的方程-血=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是

()

11

A.m<--B.m>—-C.m<—4D.m>—4

44

【答案】B

2

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程a/+bx+c=0(a丰0)的根与△=b-4ac

有如下关系：①A>0,方程有两个不相等的实数根，②△=(),方程有两个相等的实数根，③A<0,

方程没有实数根，由题意得出△=(—1)2—4x1x(—m)>0,计算即可得出答案.

【详解】解：••・关于x的方程久-m=0有两个不相等的实数根，

2

.•.A=(-l)-4x1x(-m)>0,

1

解得：m>-

故选：B.

2.(2024•山东泰安・中考真题)关于％的一元二次方程2%2_3%+攵=0有实数根，则实数k的取值范围是

()

A.k9B.k9C.k^.9—D./c<—9—

oooo

【答案】B

【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键.

根据一元二次方程有实数根的条件是A>0,据此列不等式求解即可.

【详解】解：,•・关于x的一元二次方程2，—3*+fc=0有实数根，

.•4=(—3)2—4x2k20,解得kW,

故选B.

3.(2024•江苏徐州•中考真题)关于x的方程/+kx+l=。有两个相等的实数根，则k值为.

【答案】k=+2

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程a/+bx+c=0(aA0),当A>0时,

一元二次方程有两个不相等的实数根；当A=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当A<0时，一

元二次方程没有实数根.

【详解】解：•••方程/+kx+l=。有两个相等的实数根，

.-.A=0,即/—4Xlx1=0,

解得：k=±2,

故答案为：fc=±2.

④吵典例引领

【题型3：一元二次方程根与系数的关系及应用】

【典例3】(2024•山东德州•中考真题)已知。和6是方程公+2024%-4=0的两个解，则+2023。-6的值

为.

【答案】2028

【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根

与系数关系求得a?+2024。=4,a+b=-2024,再代值求解即可.

【详解】解：*和b是方程久2+2024X-4=0的两个解，

-'-a2+2024a—4=0,a+b=-2024,

.•■a2+2024cz=4,

・，.滔+2023a-b

=a?+2024a—(a+b)

=4-(-2024)

=4+2024

=2028,

故答案为：2028.

B即时检测

1.（2024・四川巴中・中考真题）已知方程--2%+k=0的一个根为-2,则方程的另一个根为.

【答案】4

【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系.设方程的另一个根为冽，根据两根之和等

于-2,即可得出关于加的一元一次方程，解之即可得出结论.

a

【详解】解：设方程的另一个根为加，

•・,方程式2—2%+k=0有一个根为—2,

.,-—2+m=2,

解得：m=4.

故答案为：4.

2.（2024•山东烟台・中考真题）若一元二次方程2%2—4%-1=0的两根为m,n,贝13nl?一4租+标的值为.

【答案】6

【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若修,%2是一元二次方程a/

+bx+c=0（a丰0）的两根时，巧+%2=-3久/2=3熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关

键.

2

根据根与系数的关系得m+n=2,mn=2m-4m=1,再把3m2-4nl+"变形为2巾2―4nl+7n2

+n2,然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可.

【详解】解：•••一元二次方程2——4x—1=0的两个根为n,

：.m+n=2,mn=2m2—4m=1

•••3m2—4m+n2

=2m2—4m+m2+n2

=m2+n2+1

=（m+n）2—2mn+1

1

=227-2X（--）+1

=6

故答案为：6.

3.（2024•山东日照•中考真题）已知，实数%1犹2。1工％2）是关于％的方程区之+2入+1=0（女/0）的两个根，

11

若g+[=2,则左的值为（）

X1x2

A.1B.—1C."D.——

【答案】B

【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程以2+b%+c=O（awo）,若

卬犯是该方程的两个实数根，则％1+久2=一1据此得到％1+%2==3再由g+擀

=2得到-2/c=2,据此可得答案.

【详解】解：,・・％L%2是关于X的一元二次方程4%2+2而+1=。（々工0）的两个根，

-1

•••%]+血=_,优1%2=工.

11

•・•——+—=2,

X1X2

.Xi+%2_

••xrx2一，

=2

k

-2k=2,

解得k=-l,

经检验，k=-l是原分式方程的解，

故选：B.

典例引领

【题型4：一元二次方程的应用】

【典例4】（2024•辽宁•中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价”

（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：

每件售价%/元455565

日销售量y/件554535

⑴求y与X之间的函数关系式（不要求写出自变量》的取值范围）；

⑵该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由.

【答案】⑴y=—*+100；

⑵该商品日销售额不能达到2600元，理由见解析。

【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法

求出y与x之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程.

(1)根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数表达式；

(2)利用销售额=每件售价X销售量，即可得出关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即

可.

【详解】(1)解：设y与x之间的函数表达式为y=kx+6(fc*0),

将(45,55)，(55,45)代入V=kx+b得

C45fc+力=55

l55fc+6=45'

解得｛仁君，

・•.y与x之间的函数表达式为y=—久+100；

(2)解：该商品日销售额不能达到2600元，理由如下：

依题意得x(-x+100)=2600,

整理得——lOOx+2600=0,

：.△=b2-4ac=(-100)2-4X1x2600=-400<0,

•••该商品日销售额不能达到2600元.

1.(2024・山东烟台•中考真题)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美

好生活"，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时,

每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，

但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价X元，每天的销售利润为y元.

⑴求V与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？

(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？

【答案】⑴>=-靠2+20%+12000,每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为12240元

⑵这天售出了64辆轮椅

【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：

(1)根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；

(2)令y=12160,得到关于％的一元二次方程，进行求解即可.

【详解】(1)解：由题意，得：y=(200—%)(60+盘x4)=—+20x+12000；

•••每辆轮椅的利润不低于180元，

.,.200—%>180,

/.%<20,

22

vy=-|x+20%+12000=-|(x-25)+12250,

二当工<25时，y随K的增大而增大，

.•.当x=20时，每天的利润最大，为1X（20—25）2+12250=12240元；

答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为12240元；

（2）当y=12160时，-1%2+20%+12000=12160,

解得：=10,%2=4。（不合题意，舍去）；

1n

.■-60+—x4=64（辆）；

答：这天售出了64辆轮椅.

2.（2024・西藏・中考真题）列方程（组）解应用题

某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动.四月份投入资金20万元，六月份

投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同.

⑴求该商场投入资金的月平均增长率；

（2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？

【答案】⑴该商场投入资金的月平均增长率10%

⑵预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元

【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正

确列出一元二次方程是解此题的关键.

（1）设该商场投入资金的月平均增长率为X,根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万

元"列出一元二次方程，解方程即可得出答案；

（2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金.

【详解】（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为X,

由题意得：20X（1+X）2=24.2,

解得：*1=0.1=10%,比2=—2.1（不符合题意，舍去），

,该商场投入资金的月平均增长率10%;

（2）解：24.2x（1+10%）=26.62（万元）,

,预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元.

3.（2024•山东淄博•中考真题）"我运动，我健康，我快乐！"随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市

参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人.

⑴求该市参加健身运动人数的年均增长率；

⑵为支持市民的健身运动，市政府决定从4公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买不超过

100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元.但最低售价不得少

于1000元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数.

【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为25%

⑵购买的这种健身器材的套数为200套

【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为X,根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人,

列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；

（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，

解之取符合题意的值即可.

【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为刈

由题意得：32（1+%）2=50,

解得：巧=0.25=25%,*2=—2.25（不符合题意，舍去），

答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；

（2）解：••・1600X100=160000<240000元，

二购买的这种健身器材的套数大于100套，

设购买的这种健身器材的套数为6套，

由题意得：m（i600-x40）=240000,

整理得：m2-500m+60000=0,

解得：恤=200,^2=300,

当zn=300时，售价=1600—40=800<1000元（不符合题意，故舍去），

答：购买的这种健身器材的套数为200套.

O好题冲关O

“弓基础过关

1.（21-22八年级上•上海嘉定・期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.2X2=5X-1B.%+|=2

C.（x-3）（x+1）=X2-5D.3x-y=5

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程的概念，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程,

叫做一元二次方程；熟练掌握该知识点是解题的关键.根据一元二次方程的定义判断即可.

【详解】解：A、是一元二次方程，故符合题意；

B、是分式方程，故不符合题意；

C、（x-3）Q+1）=/-5化简后为2—2x=0,是一元一次方程，故不符合题意；

D、是二元一次方程，故不符合题意.

故选：A.

2.（24-25九年级上广东广州•期中）方程，+曜-8=0的根的情况是（）

A.没有实数根B.只有一个实数根

C.有两个不相等的实数根D.有两个相等的实数根

【答案】C

【分析】本题考查根的判别式，计算一元二次方程根的判别式，可以判断该方程根的情况，即可求解.

【详解】解："x2,+mx-Q=0

：A=m2-4x1x（-8）=m2+32>0

，方程三+mx-8=0有两个不相等的实数根.

故选：C.

3.（23-24九年级上•江苏南京•期中）图①是一张长28cm,宽16cm的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部

分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为80cm2的有盖长方体盒子.设该盒子的

高为久cm,根据题意，可列方程为（）

A.(28—2x)(16—2x)=80B.(28-2X2x)(16-2x)=80

C.(|X28-2X)(16-2X)=80D.1(28-2x)(16-2x)=80

【答案】D

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该盒子的高为xcm,则纸盒底面的长为9

（28-2x）cm,宽为（16-2久）cm,根据"纸盒的底面（图中阴影部分）面积是80cm即可列出方程，找准

等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键.

___1

【详解】解：设该盒子的身为xcm,则纸盒底面的长为式28-2x）cm,宽为（16-2x）cm,

,•・纸盒的底面（图中阴影部分）面积是80cm2,

•••|（28-2x）（16-2x）=80,

故选：D.

4.（24-25九年级上•四川德阳•阶段练习）某药品经过两次降价，每瓶零售价由112元降为63元.已知两次

降价的百分率相同.要求每次降价的百分率，若设每次降价的百分率为x,则得到的方程为（）

A.112（1—无心=63B.112（1+%）2=63

C.112（1--）=63D.112（1+/）=63

【答案】A

【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，熟练的掌握由实际问题抽象出一元二次方

程是解题的关键.

根据题意可得等量关系"原零售价X（1-百分比）（1-百分比）=降价后的售价”列出方程即可.

【详解】解：设每次降价的百分率为x,由题意得：112（1—久）2=63.

故答案选：A.

5.（24-25九年级上•陕西西安・期中）关于x的一元二次方程依2+3久-1=0有实数根，则k的取值范围是

（）

9999

A.k<——B.fc>—-C.k<——D.kN—.日A丰0

【答案】D

【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据一元二次方程有实数根,

则A20列出不等式，解不等式即可，需要注意二次项系数不能为0.

【详解】解：由题意得匕32—4j普（-1）20.

解得kN—J且

故选D.

6.（24-25九年级上•湖北咸宁•阶段练习）若当、町是方程2-+3%+1=0的两个根，则勺+犯的值是（）

313

A.-3B.—C.-D.——

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系"设巧，亚是一元二次方程+法+c=0缶A0）

的两个根，则有句+利=-9优。2=?，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键.根据一

元二次方程的根与系数的关系求解即可得.

【详解】解：••y1、牝是方程2/+3x+1=0的两个根,

3

■'-X1+X2=—2>

故选：D.

7.（24-25九年级上•浙江台州•阶段练习）用配方法解方程/-6x-7=0,下列变形正确的是（）

A.（x+6）2=43B.（x-6）2=43C.（久+3心=16D.（%-3）2=16

【答案】D

【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，得f-6x=7,再配方，即二

-6x4-9=7+9=16,即可作答.

【详解】解：1■-X2-6X-7=0,

移项,得%2-6%=7,

则配方，得一一6%+9=7+9=16,

即（x—3）2=16,

故选：D.

8.（24-25九年级上•河南郑州•阶段练习）方程2/-4=0的解是

【答案】±2

【分析】本题考查解一元二次方程，先移项，再系数化1,最后利用直接开平方法求解，即可解题.

【详解】解：2X2-4=0

2X2=4

x2=2

x=±2,

故答案为：±2.

9.(24-25九年级上•四川成都•期中)已知a,6是方程7+3x-7=0的两个实数根，则£^-36+2024的值

是•

【答案】2040

【分析】本题考查一元二次方程的解及根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握

.b_c

X1+x2=X1X2=--

将代数式同时加上和减去3a,根据一元二次方程的解及根与系数的关系直接求解即可得到答案.

【详解】解：:a,b是方程/+3x-7=。的两个实数根，

Q3

'-CL+3。-7=0,a+b=——=—3,

a2-3Z?+2024=a2+3a-3(a+b)+2024=7+9+2024=2040,

故答案为：2040.

10.(24-25九年级上•内蒙古乌海・期末)若均,尤2是一元二次方程%2-2%-8=0的两个实数根，则巧句一巧一支2

的值是.

【答案】-10

【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得：

X1+x2=2,X1X2

=-8,再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可.

【详解】解：•••乙,犯是一元二次方程/—2%-8=0的两个实数根，

-,-x1+x2—2,X1%2=—8,

-

■■■x1x2-x1-x2-x1x2(x1+x2)=—8—2--10.

故答案为：-10.

11.(24-25九年级上•辽宁营口•阶段练习)小雅经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若

干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设

1人每次能教会x名同学，则可列方程为.

【答案】1+x+%(1+%)=36

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用.设平均每节课一人教会x人，根据题意表示出两节课

教会的人数，进而得出答案.

【详解】解：设平均每节课一人教会X人，根据题意可得：

1+X+X(1+x)=36,

故答案为：1+尤+x(l+x)—36.

12.(24-25九年级上•浙江台州•阶段练习)解方程：

(I)%2+2x-3=0；

(2)x(x-l)=3%.

［答案］⑴巧=-3,X2-1

(2)%i=0,x2=4

【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型.

(1)根据因式分解法即可求出答案；

(2)展开并移项后，再根据因式分解法即可求出答案.

【详解】(1)解:公+2久一3=0,

(x+3)(x-1)=0,

x+3=0或x—1=0,

•••久1=-3,X2=1；

(2)解：%(%-1)=3%,

%2—x—3x=0,

X2-4X=0,

x(x-4)=0,

•••x1=0,x2=4：

13.(24-25九年级上•四川内江•阶段练习)超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了

扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发

现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.

⑴若降价6元，则平均每天销售数量为多少件；

(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？

【答案】⑴平均每天销售数量为32件.

⑵当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为1200元.

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

(1)利用平均每天的销售量=20+2X每件商品降低的价格，即可求出结论；

(2)设每件商品降价x元，则每件盈利(40-%)元，平均每天可售出(20+2x)元，利用总利润=每件盈

利X平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合在让顾客得到

更大实惠的前提下，即可得出每件商品应降价20元.

【详解】(1)解:根据题意得：20+2x6=20+12=32(件)，

答:平均每天销售数量为32件.

(2)解：设每件商品降价x元，则每件盈利(40-%)元，平均每天可售出(20+2x)元，依题意得：

(40-x)(20+2x)=1200,

整理得:久2-30x+200=0,

SP(x-10)(x-20)=0

解得：%i=10,x2—20,

要让顾客得到更大实惠，

%=20.

答:当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为1200元.

统能力提升

1.(24-25九年级上•浙江•期中)抛物线丫=尢2+6%+。与苫轴只有一个交点，则c的值为()

33

A.9B.-C.——D.—9

【答案】A

【分析】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴交点问题、根的判别式等知识点，掌握一元二次方程

根的判别式成为解题的关键.

根据题意可得方程0=%2+6%+c有两个相等的实数根，再根据根的判别式列方程计算即可.

【详解】解：,号=/+6%+(:与工轴只有一个交点，

・•・方程0=%2+6x+c有两个相等的实数根，

；.△=庐一4ac=36-4c=0,解得：c=9.

故答案为：A.

2.(24-25九年级上•河北唐山•阶段练习)已知圆心/到直线加的距离为力的半径为r,若d、r是方

程/-7x+12=0的两个根，则直线加和。力的位置关系是()

A.相切B.相离C,相交或相离D.相切或相交

【答案】C

【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，因式分解法解一元二次方程，理解圆与直线的位置关系，

掌握因式分解法求一元二次方程的根是解题的关键.

根据一元二次方程根与系数的关系得到d,r的值，再根据圆半径r与圆心到直线的距离d的关系"d>r,

相离；d=r,相切；d<r,相交"进行判定即可求解.

【详解】解：X2-7%+12=0,

(x-3)(x—4)0,

解得，勺=3,%2=4,

r是方程/-7x+12=。的两个根，

当&=3/=4时，直线机和。4的位置关系是相交;

当&=4/=3时，直线m和。4的位置关系是相离;

故选：c.

3.（24-25九年级上•湖北武汉•期中）已知关于x的一元二次方程--（2爪—3产+m2=。的两个实数根为巧,

%2>且x；+x|=41,则加的值是（）

A.-2B.-8C.-2或8D.2或一8

【答案】A

【分析】本题考查根与系数关系，根的判别式，利用根与系数关系构建方程求出机，再利用判别式的

值判断即可.

【详解】解：,•・关于X的一元二次方程——（2nl—3）%+瓶2=0的两个实数根为巧，不，

2

■,-x1+x2—2m—3,%tx2=m，

•话+x|=41,

•••（巧+久2）2-2巧％2=4L

.•.（2m-3）2-2m2=41,

整理得一一6瓶-16=0,

解得n?=8或一2,

当m=8时，则有尤2—13X+64=0,

△<0,不符合题意舍去，

■■m的值是-2,

故选：A.

4.（24-25九年级上,湖北武汉•期中）某地区为加强校园建设，2024年投入经费1000万元，预计2026年投

入经费4000万元.设投入经费的年平均增长率为X,根据题意，下列所列方程正确的是（）

A.1000（1+%）2=4000

B.1000（1+x2）=4000

2

C.1000（1+x）+1000（1+%）=4000

D.1000+1000（1+x）+1000（1+久心=4000

【答案】A

【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键.根据2026年投入经费=2024年投

入经费X（1+久）2列出方程即可得.

【详解】解：由题意可列方程为1000（1+久产=4000,

故选：A.

5.（24-25九年级上嘿龙江齐齐哈尔•期末）若久=5是关于x的方程a/+6x=10的解，贝|2024-15a-3b的

值为-.

【答案】2018

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的

未知数的值，把x=5代入原方程得到5a+b=2,再根据2024—15a—3b=2024—3（5a+b）,利用整体

代入法求解即可.

【详解】解：把％=5代入方程得25a+5b=10,即5a+b=2,

.•.2024-15a-3b=2024-3（5。+b）=2024-3X2=2018,

故答案为：2018.

6.（24-25九年级上,北京•阶段练习）已知关于x的一元二次方程--2%-巾2-2爪=0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

⑵若方程的一个根为另一个根的3倍，求加的值.

【答案】⑴见解析

1Q

（2）m的值为一万或一5

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方根根与系数的关系.

（1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可；

（2）设方程的一个根为a,则另一个根为3a,根据一元二次方程根与系数的关系可得乙七年^2小，

求解即可.

【详解】（1）证明：由题意可得：△=（-2）2-4*1义（一机2一2机）=4机2+8爪+4=（2爪+2）220,

故方程总有两个实数根；

（2）解：••・方程的一个根为另一个根的3倍，

设方程的一个根为a,则另一个根为3a,

由题意可得：｛―K3aM2加

解得：a=,爪=_:或一|'^

■■■m的值为一/或一|.

7.（24-25九年级上•山东青岛・期末）今年以来四川把家电以旧换新作为惠民生的重要举措，截至10月24日

全省家电补贴金额15亿元.某商家在“双十一购物节"对某款冰箱实行降价促销.经市场调研发现，该

款冰箱原销售单价为4500元时，平均每月能售出10台；如果售价每降价100元，那么平均每月可多

售出2台.

⑴设每台冰箱降价x元，那么平均每月销售量为一（用含x的代数式表示）；

（2）已知购进这款冰箱的单价是3000元，商家决定每台冰箱降价100M元进行销售.根据政策，降价销

售后，商家每销售一台冰箱可获得40爪元的补贴.若商家所获的总利润为27000元，求加的值.

【答案】⑴（10+金

（2）m的值为10

【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键.

（1）根据题意即可解答；

（2）根据每台冰箱的利润x每天售出的冰箱台数+补贴=总利润列方程求解即可.

【详解】（1）解：设每台冰箱降价x元，那么平均每月销售量为10+高X2=（1。+言）（台）,

故答案为：（10+春）；

（2）解：由（1）可知，每台冰箱降价100巾元，销售量为（10+2机）台，

由题意得：（4500-100m-3000）（10+2m）+40m（10+2m）=27000,

整理得：m2-20m+100=0,

解得：7n1=7712=1°，

答：m的值为10.

@■真题感知

1.（2024•四川凉山・中考真题）若关于x的一元二次方程（a+2）/+久+a2-4=0的一个根是久=0,则a的值

为（）

1

A.2B.-2C.2或一2D.-

【答案】A

【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0.由一元二次方程的定

义，可知a+2K0：一根是0,代入（a+2）/+K+a2—4=（H^^a2—4=0,即可求答案.

【详解】解：（a+2）久之+久+a?—4=0是关于久的一■兀二次方程，

a+240,即aA—2①

由一个根x=0,代入（a+2）/+久+a?-4=0,

可得.2-4=0,解之得a=±2；②

由①②得a=2；

故选A

2.（2024•黑龙江绥化•中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写

错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的

两个根是-2和-5.则原来的方程是（）

A.x2+6%+5=0B.%2—7%+10=0

C.—5x+2=0D./—6%—10—0

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中巧+&=7,巧犯=1°，逐

项分析判断，即可求解.

【详解】解：•.•小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1；

■'-x1+x2-6+1=7,

又•••小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5.

=1。

A.久2+6久+5=0中，久1+乂2=-6，叼乂2=5,故该选项不符合题意；

B.7乂+1。=。中，巧+乂2=7，巧％2=10，故该选项符合题意；

C.久2-5久+2=0中，%1+%2=5,xlx2=2,故该选项不符合题意；

D.6x—10=0中，/+久2=6,xrx2=-10,故该选项不符合题意；

故选：B.

3.（2024・四川眉山・中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的"智慧春耕"让生产更高效,

提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年

平均增长率为％,则可列方程为（）

A.670x（1+2x）=780B.670X（1+%）2=780

C.670x（1+^2）=780D.670X（1+久）=780

【答案】B

【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键.

设该村水稻亩产量年平均增长率为心根据题意列出方程即可.

【详解】解：根据题意得：670x（1+^）2=780.

故选：B.

4.（2024•山东德州•中考真题）把多项式3久+4进行配方，结果为（）

A.（X-3）2-5