数学等比数列的前n项和课件 2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.3.2等比数列的前n项和新授课

国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016--2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.创设情景问题1：每个格子里放的麦粒数可以构成一个数列,请判断分析这个数列是否是等比数列?并写出这个等比数列的通项公式.

问题2：请将发明者的要求表述成数学问题.

问题3：如何求解该问题？探究新知等比数列前n项和公式的推导(一)用等比数列定义推导当

q=1

时

Sn=na1因为所以或

(二)错位相减法Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-2+a1qn-1

(*)

qSn=a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-1+a1qn

(**

)两式相减有

(1–q)Sn=a1–a1qn或na1

等比数列的前n项和公式公式解析问题3的解决：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”

不能实现！一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨.问题解决典例解析典例解析

数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式,并判断{an}是否是等比数列.解:当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1，不满足上式.由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，所以a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列.练习：课堂小结1.等比数列前n项和公式：2.等比数列求和要考虑公比是否为1.3.等比数列求和的常用方法：错位相减法.复习引入消元方法：约分或两式相除典例解析归纳总结思考：你能发现等比数列前n项和公式Sn＝ (q≠1)的函数特征吗？探究新知➱➱当q≠1时，即Sn是n的指数型函数.当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则S奇＝a1＋a3＋…

＋

a2n-1＋a2n+1＝a1＋(a3＋…a2n-1＋a2n+1)＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)＝a1＋qS偶S奇＝a1＋qS偶S偶＝a2＋a4＋…＋a2nS奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1S偶＝a2＋a4＋…＋a2n探究新知➱⇔S偶＝qS奇⇔➱思考：若{an}是公比为q的等比数列，S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶,S奇之间有什么关系？例4已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，求公比q.典例分析变式：若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为______.300课堂小结1.等比数列前n项和公式Sn的函数特征：当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.当q≠1时，即Sn是n的指数型函数.(1)若等比数列