2024年二次方程根的分布情况归纳

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程根的分布状况设方程的不等两根為且，相對应的二次函数為，方程的根即為二次函数图象与轴的交點，它們的分布状况見下面各表（每种状况對应的均是充要条件）分布状况两個负根即两根都不不小于0两個正根即两根都不小于0一正根一负根即一种根不不小于0，一种不小于0大体图象（）得出的結论大体图象（）得出的結论综合結论（不讨论）表二：（两根与的大小比较）分布状况两根都不不小于即两根都不小于即一种根不不小于，一种不小于即大体图象（）得出的結论大体图象（）得出的結论综合結论（不讨论）表三：（根在区间上的分布）分布状况两根都在内两根有且仅有一根在内（图象有两种状况，只画了一种）一根在内，另一根在内，大体图象（）得出的結论或大体图象（）得出的結论或综合結论（不讨论）——————根在区间上的分布尚有一种状况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是（1）時，；（2）時，對以上的根的分布表中某些特殊状况作阐明：（1）两根有且仅有一根在内有如下特殊状况：若或，则此時不成立，但對于這种状况是懂得了方程有一根為或，可以求出此外一根，然後可以根据另一根在区间内，從而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根，由于，因此，另一根為，由得即為所求；方程有且只有一根，且這個根在区间内，即，此時由可以求出参数的值，然後再将参数的值带入方程，求出相對应的根，检查根与否在給定的区间内，如若不在，舍去相對应的参数。如方程有且一根在区间内，求的取值范围。分析：①由即得出；②由即得出或，當時，根，即满足題意；當時，根，故不满足題意；综上分析，得出或根的分布练习題例1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。解：由即，從而得即為所求的范围。例2、已知方程有两個不等正实根，求实数的取值范围。解：由或即為所求的范围。例3、已知二次函数与轴有两個交點，一种不小于1，一种不不小于1，求实数的取值范围。解：由即即為所求的范围。例4、已知二次方程只有一种正根且這個根不不小于1，求实数的取值范围。解：由題意有方程在区间上只有一种正根，则即為所求范围。（注：本題對于也許出現的特殊状况方程有且只有一根且這個根在内，由计算检查，均不复合題意，计算量稍大）2、二次函数在闭区间上的最大、最小值問題探讨设，则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布状况：即图象最大、最小值對于開口向下的状况，讨论类似。其实無论開口向上還是向下，都只有如下两种結论：（1）若，则，；（2）若，则，此外，當二次函数開口向上時，自变量的取值离開轴越遠，则對应的函数值越大；反過来，當二次函数開口向下時，自变量的取值离開轴越遠，则對应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的状况無非就是從三個方面入手：開口方向、對称轴以及闭区间，如下三個例題各代表一种状况。例1、函数在上有最大值5和最小值2，求的值。解：對称轴，故函数在区间上單调。（1）當時，函数在区间上是增函数，故；（2）當時，函数在区间上是減函数，故例2、求函数的最小值。解：對称轴（1）當時，；（2）當時，；（3）當時，改：1．本題若修改為求函数的最大值，過程又怎样？解：（1）當時，；（2）當時，。2．本題若修改為求函数的最值，讨论又该怎样進行？解：（1）當時，，；（2）當時，，；（3）當時，，；（4）當時，，。例3、求函数在区间上的最小值。解：對称轴（1）當即時，；（2）當即時，；（3）當即時，例4、讨论函数的最小值。解：，這個函数是一种分段函数，由于上下两段上的對称轴分别為直线，，當，，時原函数的图象分