2024年人教版数学七年级上册知识点总结

七年级数學上册知识點归纳第一章有理数1.1正数和负数⒈正数和负数的概念负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数注意：①字母a可以表达任意数，當a表达正数時，-a是负数；當a表达负数時，-a是正数；當a表达0時，-a仍是0。（假如出判断題為：带正号的数是正数，带负号的数是负数，這种說法是錯误的，例如+a,-a就不能做出简朴判断）②正数有時也可以在前面加“+”，有時“+”省略不写。因此省略“+”的正数的符号是正号。2.具有相反意义的量若正数表达某种意义的量，则负数可以表达具有与该正数相反意义的量，例如：零上8℃表达為：+8℃；零下8℃表达為：-8℃3.0表达的意义（1）0表达“没有”，如教室裏有0個人，就是說教室裏没有人；（2）0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。（3）0表达一种确切的量。如：0℃以及有些題目中的基准，例如以海平面為基准，则0米就表达海平面。1.2有理数有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称為整数（0和正整数统称為自然数）⑵正分数和负分数统称為分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，這样的数称為有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是無限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和無限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能化成分数，也是有理数注意：引入负数後来，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数0正有理数负整数正分数有理数有理数0（0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数總結：①正整数、0统称為非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称為非正整数③正有理数、0统称為非负有理数④负有理数、0统称為非正有理数3.数轴⒈数轴的概念规定了原點，正方向，單位長度的直线叫做数轴。注意：⑴数轴是一条向两端無限延伸的直线；⑵原點、正方向、單位長度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的單位長度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。2.数轴上的點与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的點来表达，正有理数可用原點右边的點表达，负有理数可用原點左边的點表达，0用原點表达。⑵所有的有理数都可以用数轴上的點表达出来，但数轴上的點不都表达有理数，也就是說，有理数与数轴上的點不是一一對应关系。（如，数轴上的點π不是有理数）3.运用数轴表达两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数總比左边的数大；⑵正数都不小于0，负数都不不小于0，正数不小于负数；⑶两個负数比较，距离原點遠的数比距离原點近的数小。4.数轴上特殊的最大（小）数⑴最小的自然数是0，無最大的自然数；⑵最小的正整数是1，無最大的正整数；⑶最大的负整数是-1，無最小的负整数5.a可以表达什么数⑴a>0表达a是正数；反之，a是正数，则a>0；⑵a<0表达a是负数；反之，a是负数，则a<0⑶a=0表达a是0；反之，a是0,，则a=04.相反数⒈相反数只有符号不一样的两個数叫做互為相反数，其中一种是另一种的相反数，0的相反数是0。注意：⑴相反数是成對出現的；⑵相反数只有符号不一样，若一种為正，则另一种為负；⑶0的相反数是它自身；相反数為自身的数是0。2.相反数的性质与鉴定⑴任何数均有相反数，且只有一种；⑵0的相反数是0；⑶互為相反数的两数和為0，和為0的两数互為相反数，即a，b互為相反数，则a+b=03.相反数的几何意义在数轴上与原點距离相等的两點表达的两個数，是互為相反数；互為相反数的两個数，在数轴上的對应點（0除外）在原點两旁，并且与原點的距离相等。0的相反数對应原點；原點表达0的相反数。阐明：在数轴上，表达互為相反数的两個點有关原點對称。4.相反数的求法⑴求一种数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；⑵求多种数的和或差的相反数時，要用括号括起来再添“-”，然後化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；⑶求前面带“-”的單個数，也应先用括号括起来再添“-”，然後化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)5.相反数的表达措施⑴一般地，数a的相反数是-a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。當a>0時，-a<0（正数的相反数是负数）當a<0時，-a>0（负数的相反数是正数）當a=0時，-a=0，（0的相反数是0）5.绝對值⒈绝對值的几何定义一般地，数轴上表达数a的點与原點的距离叫做a的绝對值，记作|a|。2.绝對值的代数定义⑴一种正数的绝對值是它自身；⑵一种负数的绝對值是它的相反数；⑶0的绝對值是0.可用字母表达為：①假如a>0，那么|a|=a；②假如a<0，那么|a|=-a；③假如a=0，那么|a|=0。可归纳為①：a≥0，<═>|a|=a（非负数的绝對值等于自身；绝對值等于自身的数是非负数。）②a≤0，<═>|a|=-a（非正数的绝對值等于其相反数；绝對值等于其相反数的数是非正数。）經典考題如数轴所示，化简下列各数|a|,|b|,|c|,|a-b|,|a-c|,|b+c|解：由題懂得，由于a>0，b<0，c<0,a-b>0,a-c>0,b+c<0，因此|a|=a,|b|=-b,|c|=-c,|a-b|=a-b,|a-c|=a-c,|b+c|=-(b+c)=-b-c3.绝對值的性质任何一种有理数的绝對值都是非负数，也就是說绝對值具有非负性。因此，a取任何有理数，均有|a|≥0。即⑴0的绝對值是0；绝對值是0的数是0.即：a=0<═>|a|=0；⑵一种数的绝對值是非负数，绝對值最小的数是0.即：|a|≥0；⑶任何数的绝對值都不不不小于原数。即：|a|≥a；⑷绝對值是相似正数的数有两個，它們互為相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a；⑸互為相反数的两数的绝對值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；⑹绝對值相等的两数相等或互為相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；⑺若几种数的绝對值的和等于0，则這几种数就同步為0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。（非负数的常用性质：若几种非负数的和為0，则有且只有這几种非负数同步為0）經典考題例已知|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0,求a+b+c的值解：由于|a+3|≥0，|2b-2|≥0，|c-1|≥0，且|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0因此|a+3|=0，|2b-2|=0，|c-1|=0即a=-3,b=1,c=1因此a+b+c=-3+1+1=-14.有理数大小的比较⑴运用数轴比较两個数的大小：数轴上的两個数相比较，左边的總比右边的小；（總法则）⑵运用绝對值比较两個负数的大小：两個负数比较大小，绝對值大的反而小；异号两数比较大小，正数不小于负数。5.绝對值的化简①當a≥0時，|a|=a；②當a≤0時，|a|=-a6.已知一种数的绝對值，求這個数一种数a的绝對值就是数轴上表达数a的點到原點的距离，一般地，绝對值為同一种正数的有理数有两個，它們互為相反数，绝對值為0的数是0，没有绝對值為负数的数。如：|a|=5，则a=土51.3有理数的加減法1.有理数的加法法则⑴同号两数相加，取相似的符号，并把绝對值相加；⑵绝對值不相等的异号两数相加，取绝對值较大的加数的符号，并用较大的绝對值減去较小的绝對值；⑶互為相反数的两数相加，和為零；⑷一种数与零相加，仍得這個数。2.有理数加法的运算律⑴加法互换律：a+b=b+a⑵加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)在运用运算律時，一定要根据需要灵活运用，以到达化简的目的，一般有下列规律：①互為相反数的两個数先相加——“相反数結合法”；②符号相似的两個数先相加——“同号結合法”；③分母相似的数先相加——“同分母結合法”；④几种数相加得到整数，先相加——“凑整法”；⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形結合法”。3.加法性质一种数加正数後的和比原数大；加负数後的和比原数小；加0後的和等于原数。即：⑴當b>0時，a+b>a⑵當b<0時，a+b<a⑶當b=0時，a+b=a4.有理数減法法则減去一种数，等于加上這個数的相反数。用字母表达為：a-b=a+(-b)。5.有理数加減法统一成加法的意义在有理数加減法混合运算中，根据有理数減法法则，可以将減法转化成加法後，再按照加法法则進行计算。在和式裏，一般把各個加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的讀法：①按這個式子表达的意义讀作“负8、负7、负6、正5的和”②按运算意义讀作“负8減7減6加5”6.有理数加減混合运算中运用結合律時的某些技巧：Ⅰ.把符号相似的加数相結合（同号結合法）(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)（将減法转换成加法）=-33+18-15-1+23（省略加号和括号）=(-33-15-1)+(18+23)（把符号相似的加数相結合）=-49+41（运用加法法则一進行运算）=-8（运用加法法则二進行运算）Ⅱ.把和為整数的加数相結合（凑整法）(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)（将減法转换成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加号和括号）=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8（把和為整数的加数相結合）=4-10+3.8（运用加法法则進行运算）=7.8-10（把符号相似的加数相結合，并進行运算）=-2.2（得出結论）Ⅲ.把分母相似或便于通分的加数相結合（同分母結合法）--+-+-原式=(--)+(-+)+(+-)=-1+0-=-1Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一後再結合（先统一後結合）(+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25)原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)=+3-3+10-1=(3-1)+(-3)+10=2-3+10=-3+13=10Ⅴ.把带分数拆分後再結合（先拆分後結合）-3+10-12+4原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)=-1++=-1++-Ⅵ.分组結合2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)=0Ⅶ.先拆项後結合（1+3+5+7…+99）-（2+4+6+8…+100）1.4有理数的乘除法1.有理数的乘法法则法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝對值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的状况，假如因数超過两個，就必须运使用方法则三）法则二：任何数同0相乘，都得0；法则三：几种不是0的数相乘，负因数的個数是偶数時，积是正数；负因数的個数是奇数時，积是负数；法则四：几种数相乘，假如其中有因数為0,则积等于0.2.倒数乘积是1的两個数互為倒数，其中一种数叫做另一种数的倒数，用式子表达為a·=1（a≠0），就是說a和互為倒数，即a是的倒数，是a的倒数。注意：①0没有倒数；②求假分数或真分数的倒数，只要把這個分数的分子、分母點颠倒位置即可；求带分数的倒数時，先把带分数化為假分数，再把分子、分母颠倒位置；③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一种数的倒数，不变化這個数的性质）；④倒数等于它自身的数是1或-1,不包括0。3.有理数的乘法运算律⑴乘法互换律：一般地，有理数乘法中，两個数相乘，互换因数的位置，积相等。即ab=ba⑵乘法結合律：三個数相乘，先把前两個数相乘，或者先把後两個数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc).⑶乘法分派律：一般地，一种数同两個数的和相乘，等于把這個数分别同這两個数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac4.有理数的除法法则（1）除以一种不等0的数，等于乘以這個数的倒数。（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝對值相除。0除以任何一种不等于0的数，都得05.有理数的乘除混合运算（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然後确定积的符号，最终求出成果。（2）有理数的加減乘除混合运算，如無括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，後加減’的次序進行。1.5有理数的乘方1.乘方的概念求n個相似因数的积的运算，叫做乘方，乘方的成果叫做幂。在中，a叫做底数，n叫做指数。2.乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整多次幂都是0。3.有理数的混合运算做有理数的混合运算時，应注意如下运算次序：（1）先乘方，再乘除，最终加減；（2）同级运算，從左到右進行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次進行。4.科學记数法把一种不小于10的数表到达的形式（其中，n是正整数），這种记数法是科學记数法。第二章整式的加減2.1整式代数式：用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如n,-1,2n+500,abc。單独的一种数或一种字母也是代数式。單项式：表达数与字母的乘积的代数式叫單项式。單独的一种数或一种字母也是代数式。單项式的系数：單项式中的数字因数單项式的次数：一种單项式中，所有字母的指数和多项式：几种單项式的和叫做多项式。每個單项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式裏次数最高项的次数，叫做這個多项式的次数。常数项的次数為0。整式：單项式和多项式统称為整式。注意：分母上具有字母的不是整式。代数式書写规范：数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“·”表达，并把数字放到字母前；出現除式時，用分数表达；带分数与字母相乘時，带分数要化成假分数；若运算成果為加減的式子，當背面有單位時，要用括号把整個式子括起来。2.2整式的加減1合并同类项同类项：所含字母相似，并且相似字母的指数也相似的项叫做同类项。合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的成果作為系数，字母和字母的指数不变。合并同类项的环节：（1）精确的找出同类项；（2）运用加法互换律，把同类项互换位置後結合在一起；（3）利使用方法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；（4）写出合并後的成果。2去括号的法则（1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号裏各项的符号都不变；（2）括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号裏各项的符号都要变化。3整式的加減：進行整式的加減运算時，假如有括号先去括号，再合并同类项。整式加減的环节：（1）列出代数式；（2）去括号；（3）合并同类项。第三章一元一次方程3.1一元一次方程的概念：只具有一种未知数（元）且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程。一般形式：ax+b=0(a≠0)注意：未知数在分母中時，它的次数不能當作是1次。如，它不是一元一次方程。3.2解一元一次方程方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解方程：求方程的解的過程叫做解方程。等式的性质：（1）等式两边都加上或減去同一种数或同一种整式，所得成果仍是等式；（2）等式两边都乘或除以同一种不等于0的数，所得成果仍是等式。移项移项：方程中的某些项变化符号後，可以從方程的一边移到另一边，這样的变形叫做移项。移项的根据：（1）移项实际上就是對方程两边進行同步加減，根据是等式的性质1；（2）系数化為1实际上就是對方程两边同步乘除，根据是等式的性质2。移项的作用：移项時一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边對含未知数的项合并，右边對常数项合并。注意：移项時要跨越“=”号，移過的项一定要变号。解一元一次方程的一般环节：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化為1。注意：去分母時不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作用，去掉分母後，若分子是多项式，要加括号。解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）3.3方程处理問題列一元一次方程解应用題的基本环节：审清題意、设未知数（元）、列出方程、解方程、写出答案。关键在于抓住問題中的有关数量的相等关系，列出方程。处理問題的方略：运用表格和示意图协助分析实际問題中的数量关系实际問題的常見类型：行程問題：旅程=時间×速度，時间=，速度=（單位：旅程——米、仟米；時间——秒、分、時；速度——米／秒、米／分、仟米／小時）工程問題：工作總量=工作時间×工作效率，工作總量=各部分工作量的和利润問題：利润=售价-進价，利润率=，售价=標价×（1-折扣）等积变形問題：長方体的体积=長×宽×高；圆柱的体积=底面积×高；铸造前的体积=铸造後的体积利息問題：本息和=本金+利息；利息=本金×利率第四章几何图形初步4.1几何图形1.立体图形与平面图形從实物中抽象出来的多种图形，包括立体图形和平面图形。立体图形：有些几何图形的各個部分不都在同一平面内，它們是立体图形。平面图形：有些几何图形的各個部分都在同一平面内，它們是平面图形。2、點、线、面、体（1）几何图形的构成點：线和线相交的地方是點，它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线，分為直线和曲线。面：包围著体的是面，分為平面和曲面。体：几何体也简称体。點動成线，线動成面，面動成体。3、生活中的立体图形圆柱柱体棱柱：三棱柱、四棱柱（長方体、正方体）、五棱柱、……生活中的立体图形球体(按名称分)圆锥锥体棱锥4、棱柱及其有关概念：棱：在棱柱中，任何相邻两個面的交线，都叫做棱。侧棱：相邻两個侧面的交线叫做侧棱。n棱柱有两個底面，n個侧面，共（n+2）個面；3n条棱，n条侧棱；2n個顶點。棱柱的所有侧棱長都相等，棱柱的上下两個底面是相似的多边形，直棱柱的侧面是長方形。棱柱的侧面有也許是長方形，也有也許是平行四边形。5、正方体的平面展開图：11种6、截一种正方体：用一种平面去截一种正方体，截出的面也許是三角形，四边形，五边形，六边形。7、三视图物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。主视图：從正面看到的图，叫做主视图。左视图：從左面看到的图，叫做左视图。俯视图：從上面看到的图，叫做俯视图。4.2直线、射线、线段1、直线、射线、线段的比较名称不一样點联络共同點延伸性端點数线段不能延伸2线段向一方延長就成射线，向两方延長就成直线都是直的线射线只能向一方延伸1直线可向两方無限延伸無2、點、直线、射线和线段的表达在几何裏，我們常用字母表达图形。一种點可以用一种大写字母表达，如點A一条直线可以用一种小写字母表达或用直线上两個點的大写字母表达，如直线l,或者直线AB一条射线可以用一种小写字母表达或用端點和射线上另一點来表达（端點字母写在前面），如射线l,射线AB一条线段可以用一种小写字母表达或用它的端點的两個大写字母来表达，如线段l,线段AB3、點和直线的位置关系有两种：①點在直线上，或者說直线通過這個點。②點在直线外，或者說直线不通過這個點。4、线段的性质（1）线段公理：两點之间的所有连线中，线段最短。（2）两點之间的距离：两點之间线段的長度，叫做這两點之间的距离。（3）线段的中點到两端點的距离相等。（4）线段的大小关系和它們的長度的大小关系是一致的。（5）线段的比较：1.目测法2.叠合法3.度量法5、线段的中點：點M把线段AB提成相等的两条相等的线段AM与BM，點M叫做线段AB的中點。MABMABAM=BM=AB（或者AB=2AM=2BM）6、直线的性质（1）直线公理：通過两個點有且只有一条直线。（2）過一點的直线有無数条。（3）直线是是向两方面無限延伸的，無端點，不可度量，不能比较大小。（4）直线上有無穷多种點。（5）两条不一样的直线至多有一种公共點。4.3角角：有公共端點的两条射线构成的图形叫做角，两条射线的公共端點叫做這個角的顶點，這两条射线叫做