2024年函数知识点归纳

函数知识點归纳【篇一：函数知识點归纳】1．常量和变量在某变化過程中可以取不一样数值的量,叫做变量．在某变化過程中保持同一数值的量或数,叫常量或常数．2．函数设在一种变化過程中有两個变量x与y,假如對于x在某一范围的每一种值,y均有唯一的值与它對应,那么就說x是自变量,y是x的函数．3．自变量的取值范围(1)整式：自变量取一切实数．(2)分式：分母不為零．(3)偶次方根：被開方数為非负数．(4)零指数与负整数指数幂：底数不為零．4．函数值對于自变量在取值范围内的一种确定的值,如當x＝a時,函数有唯一确定的對应值,這個對应值,叫做x＝a時的函数值．5．函数的表达法(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．6．函数的图象把自变量x的一种值和函数y的對应值分别作為點的横坐標和纵坐標,可以在平面直角坐標系内描出一种點,所有這些點的集合,叫做這個函数的图象．由函数解析式画函数图象的环节：(1)写出函数解析式及自变量的取值范围；(2)列表：列表給出自变量与函数的某些對应值；(3)描點：以表中對应值為坐標,在坐標平面内描出對应的點；(4)连线：用平滑曲线,按照自变量由小到大的次序,把所描各點连接起来．7．一次函数(1)一次函数假如y＝kx＋b(k、b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数．尤其地,當b＝0時,一次函数y＝kx＋b成為y＝kx(k是常数,k≠0),這時,y叫做x的正比例函数．(2)一次函数的图象一次函数y＝kx＋b的图象是一条通過(0,b)點和點的直线．尤其地,正比例函数图象是一条通過原點的直线．需要阐明的是,在平面直角坐標系中,“直线”并不等价于“一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象”,由于尚有直线y＝m(此時k＝0)和直线x＝n(此時k不存在),它們不是一次函数图象．(3)一次函数的性质當k＞0時,y随x的增大而增大；當k＜0時,y随x的增大而減小．直线y＝kx＋b与y轴的交點坐標為(0,b),与x轴的交點坐標為．(4)用函数观點看方程(组)与不等式①任何一元一次方程都可以转化為ax＋b＝0(a,b為常数,a≠0)的形式,因此解一元一次方程可以转化為：一次函数y＝kx＋b(k,b為常数,k≠0),當y＝0時,求對应的自变量的值,從图象上看,相称于已知直线y＝kx＋b,确定它与x轴交點的横坐標．②二元一次方程组對应两個一次函数,于是也對应两条直线,從“数”的角度看,解方程组相称于考虑自变量為何值時两個函数值相等,以及這两個函数值是何值；從“形”的角度看,解方程组相称于确定两条直线的交點的坐標．③任何一元一次不等式都可以转化ax＋b＞0或ax＋b＜0(a、b為常数,a≠0)的形式,解一元一次不等式可以看做：當一次函数值不小于0或不不小于0時,求自变量對应的取值范围．8．反比例函数(1)反比例函数假如(k是常数,k≠0),那么y叫做x的反比例函数．(2)反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线．(3)反比例函数的性质①當k＞0時,图象的两個分支分别在第一、三象限内,在各自的象限内,y随x的增大而減小．②當k＜0時,图象的两個分支分别在第二、四象限内,在各自的象限内,y随x的增大而增大．(4)k的两种求法①若點(x0,y0)在双曲线上,则k＝x0y0．②k的几何意义：若双曲线上任一點a(x,y),ab⊥x轴于b,则s△aob(5)正比例函数和反比例函数的交點問題若正比例函数y＝k1x(k1≠0),反比例函数,则當k1k2＜0時,两函数图象無交點；當k1k2＞0時,两函数图象有两個交點,坐標分别為由此可知,正反比例函数的图象若有交點,两交點一定有关原點對称．1．二次函数假如y＝ax2＋bx＋c(a,b,c為常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数．几种特殊的二次函数：y＝ax2(a≠0)；y＝ax2＋c(ac≠0)；y＝ax2＋bx(ab≠0)；y＝a(x－h)2(a≠0)．2．二次函数的图象二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是對称轴平行于y轴的一条抛物线．由y＝ax2(a≠0)的图象,通過平移可得到y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象．3．二次函数的性质二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质對应在它的图象上,有如下性质：(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶點是,對称轴是直线,顶點必在對称轴上；(2)若a＞0,抛物线y＝ax2＋bx＋c的開口向上,因此,對于抛物线上的任意一點(x,y),當x＜時,y随x的增大而減小；當x＞時,y随x的增大而增大；當x＝,y有最小值；若a＜0,抛物线y＝ax2＋bx＋c的開口向下,因此,對于抛物线上的任意一點(x,y),當x＜,y随x的增大而增大；當時,y随x的增大而減小；當x＝時,y有最大值；(3)抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交點為(0,c)；(4)在二次函数y＝ax2＋bx＋c中,令y＝0可得到抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交點的状况：當????＝b2－4ac＞0,抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两個不一样的公共點,它們的坐標分别是和,這两點的距离為；當????＝0時,抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一种公共點,即為此抛物线的顶點；當????＜0時,抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共點．4．抛物线的平移抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相似,位置不一样．把抛物线y＝ax2向上(下)、向左(右)平移,可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．平移的方向、距离要根据h、k的值来决定．1．常量和变量在某变化過程中可以取不一样数值的量,叫做变量．在某变化過程中保持同一数值的量或数,叫常量或常数．2．函数设在一种变化過程中有两個变量x与y,假如對于x在某一范围的每一种值,y均有唯一的值与它對应,那么就說x是自变量,y是x的函数．3．自变量的取值范围(1)整式：自变量取一切实数．(2)分式：分母不為零．(3)偶次方根：被開方数為非负数．(4)零指数与负整数指数幂：底数不為零．4．函数值對于自变量在取值范围内的一种确定的值,如當x＝a時,函数有唯一确定的對应值,這個對应值,叫做x＝a時的函数值．5．函数的表达法(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．6．函数的图象把自变量x的一种值和函数y的對应值分别作為點的横坐標和纵坐標,可以在平面直角坐標系内描出一种點,所有這些點的集合,叫做這個函数的图象．由函数解析式画函数图象的环节：(1)写出函数解析式及自变量的取值范围；(2)列表：列表給出自变量与函数的某些對应值；(3)描點：以表中對应值為坐標,在坐標平面内描出對应的點；(4)连线：用平滑曲线,按照自变量由小到大的次序,把所描各點连接起来．7．一次函数(1)一次函数假如y＝kx＋b(k、b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数．尤其地,當b＝0時,一次函数y＝kx＋b成為y＝kx(k是常数,k≠0),這時,y叫做x的正比例函数．(2)一次函数的图象一次函数y＝kx＋b的图象是一条通過(0,b)點和點的直线．尤其地,正比例函数图象是一条通過原點的直线．需要阐明的是,在平面直角坐標系中,“直线”并不等价于“一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象”,由于尚有直线y＝m(此時k＝0)和直线x＝n(此時k不存在),它們不是一次函数图象．(3)一次函数的性质當k＞0時,y随x的增大而增大；當k＜0時,y随x的增大而減小．直线y＝kx＋b与y轴的交點坐標為(0,b),与x轴的交點坐標為．(4)用函数观點看方程(组)与不等式①任何一元一次方程都可以转化為ax＋b＝0(a,b為常数,a≠0)的形式,因此解一元一次方程可以转化為：一次函数y＝kx＋b(k,b為常数,k≠0),當y＝0時,求對应的自变量的值,從图象上看,相称于已知直线y＝kx＋b,确定它与x轴交點的横坐標．②二元一次方程组對应两個一次函数,于是也對应两条直线,從“数”的角度看,解方程组相称于考虑自变量為何值時两個函数值相等,以及這两個函数值是何值；從“形”的角度看,解方程组相称于确定两条直线的交點的坐標．③任何一元一次不等式都可以转化ax＋b＞0或ax＋b＜0(a、b為常数,a≠0)的形式,解一元一次不等式可以看做：當一次函数值不小于0或不不小于0時,求自变量對应的取值范围．8．反比例函数(1)反比例函数假如(k是常数,k≠0),那么y叫做x的反比例函数．(2)反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线．(3)反比例函数的性质①當k＞0時,图象的两個分支分别在第一、三象限内,在各自的象限内,y随x的增大而減小．②當k＜0時,图象的两個分支分别在第二、四象限内,在各自的象限内,y随x的增大而增大．(4)k的两种求法①若點(x0,y0)在双曲线上,则k＝x0y0．②k的几何意义：若双曲线上任一點a(x,y),ab⊥x轴于b,则s△aob(5)正比例函数和反比例函数的交點問題若正比例函数y＝k1x(k1≠0),反比例函数,则當k1k2＜0時,两函数图象無交點；當k1k2＞0時,两函数图象有两個交點,坐標分别為由此可知,正反比例函数的图象若有交點,两交點一定有关原點對称．1．二次函数假如y＝ax2＋bx＋c(a,b,c為常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数．几种特殊的二次函数：y＝ax2(a≠0)；y＝ax2＋c(ac≠0)；y＝ax2＋bx(ab≠0)；y＝a(x－h)2(a≠0)．2．二次函数的图象二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是對称轴平行于y轴的一条抛物线．由y＝ax2(a≠0)的图象,通過平移可得到y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象．3．二次函数的性质二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质對应在它的图象上,有如下性质：(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶點是,對称轴是直线,顶點必在對称轴上；(2)若a＞0,抛物线y＝ax2＋bx＋c的開口向上,因此,對于抛物线上的任意一點(x,y),當x＜時,y随x的增大而減小；當x＞時,y随x的增大而增大；當x＝,y有最小值；若a＜0,抛物线y＝ax2＋bx＋c的開口向下,因此,對于抛物线上的任意一點(x,y),當x＜,y随x的增大而增大；當時,y随x的增大而減小；當x＝時,y有最大值；(3)抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交點為(0,c)；(4)在二次函数y＝ax2＋bx＋c中,令y＝0可得到抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交點的状况：當????＝b2－4ac＞0,抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两個不一样的公共點,它們的坐標分别是和,這两點的距离為；當????＝0時,抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一种公共點,即為此抛物线的顶點；當????＜0時,抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共點．4．抛物线的平移抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相似,位置不一样．把抛物线y＝ax2向上(下)、向左(右)平移,可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．平移的方向、距离要根据h、k的值来决定．1．常量和变量在某变化過程中可以取不一样数值的量,叫做变量．在某变化過程中保持同一数值的量或数,叫常量或常数．2．函数设在一种变化過程中有两個变量x与y,假如對于x在某一范围的每一种值,y均有唯一的值与它對应,那么就說x是自变量,y是x的函数．3．自变量的取值范围(1)整式：自变量取一切实数．(2)分式：分母不為零．(3)偶次方根：被開方数為非负数．(4)零指数与负整数指数幂：底数不為零．4．函数值對于自变量在取值范围内的一种确定的值,如當x＝a時,函数有唯一确定的對应值,這個對应值,叫做x＝a時的函数值．5．函数的表达法(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．6．函数的图象把自变量x的一种值和函数y的對应值分别作為點的横坐標和纵坐標,可以在平面直角坐標系内描出一种點,所有這些點的集合,叫做這個函数的图象．由函数解析式画函数图象的环节：(1)写出函数解析式及自变量的取值范围；(2)列表：列表給出自变量与函数的某些對应值；(3)描點：以表中對应值為坐標,在坐標平面内描出對应的點；(4)连线：用平滑曲线,按照自变量由小到大的次序,把所描各點连接起来．7．一次函数(1)一次函数假如y＝kx＋b(k、b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数．尤其地,當b＝0時,一次函数y＝kx＋b成為y＝kx(k是常数,k≠0),這時,y叫做x的正比例函数．(2)一次函数的图象一次函数y＝kx＋b的图象是一条通過(0,b)點和點的直线．尤其地,正比例函数图象是一条通過原點的直线．需要阐明的是,在平面直角坐標系中,“直线”并不等价于“一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象”,由于尚有直线y＝m(此時k＝0)和直线x＝n(此時k不存在),它們不是一次函数图象．(3)一次函数的性质當k＞0時,y随x的增大而增大；當k＜0時,y随x的增大而減小．直线y＝kx＋b与y轴的交點坐標為(0,b),与x轴的交點坐標為．(4)用函数观點看方程(组)与不等式①任何一元一次方程都可以转化為ax＋b＝0(a,b為常数,a≠0)的形式,因此解一元一次方程可以转化為：一次函数y＝kx＋b(k,b為常数,k≠0),當y＝0時,求對应的自变量的值,從图象上看,相称于已知直线y＝kx＋b,确定它与x轴交點的横坐標．②二元一次方程组對应两個一次函数,于是也對应两条直线,從“数”的角度看,解方程组相称于考虑自变量為何值時两個函数值相等,以及這两個函数值是何值；從“形”的角度看,解方程组相称于确定两条直线的交點的坐標．③任何一元一次不等式都可以转化ax＋b＞0或ax＋b＜0(a、b為常数,a≠0)的形式,解一元一次不等式可以看做：當一次函数值不小于0或不不小于0時,求自变量對应的取值范围．8．反比例函数(1)反比例函数假如(k是常数,k≠0),那么y叫做x的反比例函数．(2)反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线．(3)反比例函数的性质①當k＞0時,图象的两個分支分别在第一、三象限内,在各自的象限内,y随x的增大而減小．②當k＜0時,图象的两個分支分别在第二、四象限内,在各自的象限内,y随x的增大而增大．(4)k的两种求法①若點(x0,y0)在双曲线上,则k＝x0y0．②k的几何意义：若双曲线上任一點a(x,y),ab⊥x轴于b,则s△aob(5)正比例函数和反比例函数的交點問題若正比例函数y＝k1x(k1≠0),反比例函数,则當k1k2＜0時,两函数图象無交點；當k1k2＞0時,两函数图象有两個交點,坐標分别為由此可知,正反比例函数的图象若有交點,两交點一定有关原點對称．1．二次函数假如y＝ax2＋bx＋c(a,b,c為常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数．几种特殊的二次函数：y＝ax2(a≠0)；y＝ax2＋c(ac≠0)；y＝ax2＋bx(ab≠0)；y＝a(x－h)2(a≠0)．2．二次函数的图象二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是對称轴平行于y轴的一条抛物线．由y＝ax2(a≠0)的图象,通過平移可得到y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象．3．二次函数的性质二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质對应在它的图象上,有如下性质：(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶點是,對称轴是直线,顶點必在對称轴上；(2)若a＞0,抛物线y＝ax2＋bx＋c的開口向上,因此,對于抛物线上的任意一點(x,y),當x＜時,y随x的增大而減小；當x＞時,y随x的增大而增大；當x＝,y有最小值；若a＜0,抛物线y＝ax2＋bx＋c的開口向下,因此,對于抛物线上的任意一點(x,y),當x＜,y随x的增大而增大；當時,y随x的增大而減小；當x＝時,y有最大值；(3)抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交點為(0,c)；(4)在二次函数y＝ax2＋bx＋c中,令y＝0可得到抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交點的状况：當????＝b2－4ac＞0,抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两個不一样的公共點,它們的坐標分别是和,這两點的距离為；當????＝0時,抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一种公共點,即為此抛物线的顶點；當????＜0時,抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共點．4．抛物线的平移抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相似,位置不一样．把抛物线y＝ax2向上(下)、向左(右)平移,可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．平移的方向、距离要根据h、k的值来决定．【篇二：函数知识點归纳】文章来源課件ww課件ww上一篇教案：下一篇教案：【篇三：函数知识點归纳】高一数學函数知识點一(一)、映射、函数、反函数1、對应、映射、函数三個概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的對应，而函数又是一种特殊的映射.2、對于函数的概念，应注意如下几點：(1)掌握构成函数的三要素，會判断两個函数与否為同一函数.(2)掌握三种表达法列表法、解析法、图象法，能根实际問題寻求变量间的函数关系式，尤其是會求分段函数的解析式.(3)假如y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)為内函数，f(u)為外函数.3、求函数y=f(x)的反函数的一般环节：(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);(3)将x，y對换，得反函数的习惯体現式y=f-1(x)，并注明定义域.注意①：對于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然後再合并到一起.②熟悉的应用，求f-1(x0)的值，合理运用這個結论，可以防止求反函数的過程，從而简化运算.(二)、函数的解析式与定义域1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要對的地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的對应法则的同步，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：(1)有時一种函数来自于一种实际問題，這時自变量x有实际意义，求定义域要結合实际意义考虑;(2)已知一种函数的解析式求其定义域，只要使解析式故意义即可.如：①分式的分母不得為零;②偶次方根的被開方数不不不小于零;③對数函数的真数必须不小于零;④指数函数和對数函数的底数必须不小于零且不等于1;⑤三角函数中的正切函数y=tanx(xr，且kz)，余切函数y=cotx(xr，xk，kz)等.应注意，一种函数的解析式由几部分构成時，定义域為各部分故意义的自变量取值的公共部分(即交集).(3)已知一种函数的定义域，求另一种函数的定义域，重要考虑定义域的深刻含义即可.已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足ag(x)b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x[a，b]，此時f(x)的定义域，即g(x)的值域.2、求函数的解析式一般有四种状况(1)根据某实际問題需建立一种函数关系時，必须引入合适的变量，根据数學的有关知识寻求函数的解析式.(2)有時題设給出函数特性，求函数的解析式，可采用待定系数法.例如函数是一次函数，可设f(x)=ax+b(a0)，其中a，b為待定系数，根据題设条件，列出方程组，求出a，b即可.(3)若題设給出复合函数f[g(x)]的体現式時，可用换元法求函数f(x)的体現式，這時必须求出g(x)的值域，這相称于求函数的定义域.(4)若已知f(x)满足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還出現其他未知量(如f(-x)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式构成方程组，运用解方程组法求出f(x)的体現式.(三)、函数的值域与最值1、函数的值域取决于定义域和對应法则，不管采用何种措施求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用措施如下：(1)直接法：亦称观测法，對于构造较為简朴的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观测得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所給的复杂函数转化成另一种简朴函数再求值域，若函数解析式中具有根式，當根式裏一次式時用代数换元，當根式裏是二次式時，用三角换元.(3)反函数法：运用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通過求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a0)的函数值域可采用此法求得.(4)配措施：對于二次函数或二次函数有关的函数的值域問題可考虑用配措施.(5)不等式法求值域：运用基本不等式a+b[a，b(0，+)]可以求某些函数的值域，不過应注意条件一正二定三相等有時需用到平方等技巧.(6)鉴别式法：把y=f(x)变形為有关x的一元二次方程，运用△0求值域.其題型特性是解析式中具有根式或分式.(7)运用函数的單调性求值域：當能确定函数在其定义域上(或某個定义域的子集上)的單调性，可采用單调性法求出函数的值域.(8)数形結合法求函数的值域：运用函数所示的几何意义，借助于几何措施或图象，求出函数的值域，即以数形結合求函数的值域.2、求函数的最值与值域的区别和联络求函数最值的常用措施和求函数值域的措施基本上是相似的，实际上，假如在函数的值域中存在一种最小(大)数，這個数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相似的，只是提問的角度不一样，因而答題的方式就有所相异.数無最大值和最小值，只有在变化函数定义域後，如x0時，函数的最小值為2.可見定义域對