专题02二次函数的性质（基础）-2025年九年级数学暑期训练营培优专题（人教版）

2025-2026学年九年级数学暑期训练营学习专辑（人教版）1/1初三数学专题（2）科目/班级初三数学授课老师上课日期课时教学内容二次函数y=a(x＋h)2＋k,y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像及性质教学重点二次函数(顶点式、一般式）的图像及性质教学难点一般式转换顶点式，图像与系数的关系【前课回顾】1.在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图像：y＝x2，y＝x2＋2，y＝(x+3)2观察三条抛物线的位置关系，并分别指出开口方向，对称轴，顶点2.将下列式子因式分解：（1）a2+2ab+b2=____________;

(2)a2-2ab+b2=____________.【新知讲授】二次函数的（顶点式）y=a(x＋h)2＋k（a≠0）的图像及性质在平面直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝(x+3)2，y＝(x+3)2+2的图像发现：函数y=(x+3)2+2的图像是一条开口的；函数y=(x+3)2+2与y＝x2开口大小；顶点坐标是_________；对称轴是______；当x<-3时，y随x增大而；当x>-3时，y随x增大而；当x=-3时，y的值最，最值是。二次函数y＝(x+3)2+2，可由抛物线y＝x2先向平移个单位，再向平移个单位得到。小结：二次函数的顶点式y=a(x＋h)2＋k（a≠0）顶点坐标为（,）；平移规律：（括号外）上下；（括号内）左右。归纳：二次函数（顶点式）y＝a(x＋h)2＋k（a≠0）的图像及性质y＝a(x＋h)2＋k（a≠0）a>0a<0图像开口方向顶点坐标对称轴增减性最值二次函数（一般式）y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像及性质配方化成a(x+h)2+k的形式：（1）x2-12x+36=_____________;

（2）x2-12x=_____________

.1画出二次函数（一般式）y=x2-6x+21的图像1将二次函数（一般式）y=x2-6x+21转化成顶点式,并写出顶点坐标，对称轴将二次函数（一般式）y＝ax2＋bx＋c（a≠0）转化成顶点式，并写出顶点坐标，对称轴小结：y=ax2＋bx＋c（a≠0）转化成顶点式为。顶点坐标是（，），对称轴是。归纳:二次函数（一般式）y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像及性质y＝ax2＋bx＋c（a≠0）a>0a<0图像开口方向顶点坐标对称轴增减性最值二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与a、b、c的关系问题1

一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空.k1

0，b1

0；k2

0，b2

0；k3

0，b3

0.问题2

二次函数的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空.a1

0，b1

0，c1

0；a2

0，b2

0，c2

0；a3

0，b3

0，c3

0；a4

0，b4

0，c4

0；问题1

＜

＞

＞

＜

＞

＞问题2

＞

＞

＞

＞

＜

=

＜

=

＞

＜

＞

＜归纳：字母符号图像的特征a＞0开口__________a＜0开口__________b=0对称轴为_____a、b同号对称轴在y轴的____侧a、b异号对称轴在y轴的____侧c=0必定经过点c＞0与y轴交于_____半轴c＜0与y轴交于_____半轴a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；b=0，对称轴为y轴；a、b同号，对称轴在y轴的左侧，a、b异号，对称轴在y轴的右侧；c=0，图象经过原点；c＞0，与y轴交于正半轴，c＜0，与y轴交于负半轴.【经典例题】例1二次函数的（顶点式）y=a(x＋h)2＋k（a≠0）的图像及性质（1）直接写出以下二次函数的开口方向、对称轴和顶点①y=2(x+3)2+5②y=-3(x-1)2-2③y=4(x-3)2+7④y=-5(x+2)2-6（2）把抛物线y=－3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是

.（3）抛物线y=－3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为

.（4）已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0).①求a的值；②若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y2时，求m、n之间的数量关系．(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，得0＝4a－4，解得a＝1；(2)方法一：根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，∵y1＝y2，∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；方法二：∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线，∴m＋n－1＝1－m，化简，得2m＋n＝2.例2二次函数（一般式）y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像及性质（1)将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x+h)2+k的形式，并指出其顶点坐标．①y=x2-2x+1；

②y=2x2-4x+6．（2)写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点①y=3x2+2x②y=-x2-2x1③y=-2x2+8x-8④y=x2-4x+3（3）已知抛物线y＝－2x2－5x＋7.①求出抛物线的对称轴和顶点坐标；②当x取何值时，y有最大值？最大值是多少？③当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？例3二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与a、b、c的关系已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4D

【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为

x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出

a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．【当堂检测】1（★）二次函数y＝－(x＋3)2＋1的图像的开口_____，对称轴是_____________，此函数有最____值，最值为___．当x_______时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小．该函数图像可以看成是由函数y＝－x2的图像向____平移____个单位长度，再向____平移___个单位长度得到的．2（★）二次函数y＝2(x＋2)2－1的图像是（）AABCD3（★）下列二次函数的图像的顶点在x轴上的是()A.y＝x2＋1 B.y＝x2＋2xC.y＝－x2＋2x＋1D.y＝－x2＋2x－14（★）若点A(－1，m)和点B(－2，n)都在抛物线y＝(x－3)2＋2上，则m与n的大小关系为m________n．(填“＜”或“＞”)5（★）已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.下列说法：①其图像的开口向下；②其图像的对称轴为直线x＝－3；③其图像顶点的坐标为(3，－1)；④当x＜3时，y随x的增大而减小．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个6（★）二次函数y=-x2+3x-2图像与y轴的交点坐标为。【随堂练习】（选讲）1（★★）已知关于x的二次函数y＝－(x－5)2＋11，当1≤x≤4时，函数的最大值为m，最小值为n，则m－n＝________.2（★★）若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得抛物线y=x2-2x+1,则b=,c=。【巩固练习】1（★）确定以下函数的开口方向，顶点坐标，对称轴，画出草图图并求最值y=-x2+2xy=-2x2-1y=9x2+6x-5y=(x+1)(2-x)y=12(x+2)2-2y=12(x-1)22（★）若点A(-2,y1)B(1,y2)C(3,y3)是二次函数y=ax2-ax+c(a,c为常数，且a＜0)图像上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是。3（★）已知二次函数y=-x2+6x-5,当1＜x＜4时，则函数值y的取值范围是。4（★）把二次函数y=x2+bx+c的图像沿y轴向下平移1个单位长度，再沿x轴向左平移5个单位长度后，所得的抛物线的顶点坐标为（-2,0），原抛物线相应的函数表达式？5（★）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像过点（-2,0），对称轴为直线x=1,可得哪些结论？6（★）已知抛物线y=2x2-12x+13.（1）当x为何值