专题82立体几何的直观图【5个题型归纳】

总览题型梳理总览题型梳理题型题型分类知识讲解与常考题型【题型1：用斜二测画法作平面图形直观图】知识讲解知识讲解用斜二测画法作平面图形的步骤如下：1.建系：在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点。画直观图时，把它们画成对应的$x'$轴与$y'$轴，两轴相交于点$O'$，且使（或），它们确定的平面表示水平面。2.平行不变：已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于$x'$轴或$y'$轴的线段。3.长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于轴的线段，长度为原来的一半。4.连接成图：连接相应的线段，擦去辅助线，就得到了平面图形的直观图。例题精选例题精选【例题1】（2324高一下·安徽芜湖·期中）如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的作法可能正确的为（

）A． B． C． D．【例题2】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示的正方形ABCO中点B的坐标为，则由斜二测画法画出的正方形ABCO的直观图中，顶点到轴的距离为．

【例题3】（2425高一下·全国·课堂例题）画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．相似练习相似练习【相似题1】（2324高二·上海·课堂例题）在水平放置的平面上有一个边长为3cm的正三角形，请画出其直观图．【相似题2】（2324高二·上海·课堂例题）画出如图水平放置的直角梯形OABC的直观图．

【相似题3】（2425高一下·全国·课后作业）如图所示，在中，，边上的高．(1)画出水平放置的的直观图；(2)求直观图的面积．【题型2：用斜二测画法作立体几何直观图】知识讲解知识讲解用斜二测画法作立体图形的步骤如下：1.建系：在立体图形中取互相垂直的轴、轴和轴，相交于点。画直观图时，把它们画成对应的$x'$轴、$y'$轴和$z'$轴，相交于点$O'$，使（或），，$z'$轴垂直于平面$x'O'y'$。2.平行不变：立体图形中平行于轴、轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于$x'$轴、$y'$轴或$z'$轴的线段。3.长度规则：平行于轴和轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于轴的线段，长度为原来的一半。4.确定顶点：根据立体图形中各顶点的坐标，在直观图中相应的坐标轴上确定各顶点的位置。5.连接成图：依次连接各顶点，得到立体图形的直观图。对于被遮挡的部分，可以用虚线表示，以增强立体感。例题精选例题精选【例题1】（2223高一下·全国·课后作业）已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20m，5m，10m，四棱锥的高为8m．如果按的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（

）A．4cm，1cm，2cm，1.6cm B．4cm，0.5cm，2cm，0.8cmC．4cm，0.5cm，2cm，1.6cm D．4cm，0.5cm，1cm，0.8cm【例题2】（2324高二·上海·课堂例题）画出棱长为3cm的正方体的直观图．【例题3】（2425高二·上海·课堂例题）用斜二测画法画长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体的直观图．相似练习相似练习【相似题1】（2223高一·全国·随堂练习）画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图.【相似题2】（2223高一·全国·随堂练习）画底面边长为3cm、高为3.5cm的正三棱柱的直观图．【相似题3】（2223高一·全国·随堂练习）用斜二测画法画出下列图形：(1)水平放置的边长为5cm的正方形；(2)水平放置的梯形和平行四边形；(3)长、宽、高分别为5cm，2cm，3cm的长方体．【题型3：原图与直观图长度的关系】知识讲解知识讲解在斜二测画法中，原图与直观图的长度关系如下：平行于轴的线段：长度不变。例如，在平面直角坐标系中，若有一条线段AB平行于轴，，，那么在斜二测画法画出的直观图中，A'B'的长度与AB长度相等，即。平行于轴的线段：长度变为原来的一半。例如，有线段$CD$平行于轴，，，则在直观图中C'D'的长度为CD长度的一半，即。平行于轴的线段：长度不变。在立体图形的斜二测画法中，若有线段EF平行于轴，那么其在直观图中的对应线段E'F'长度与EF长度相等，即。例题精选例题精选【例题1】（2425高一下·浙江杭州·阶段练习）如图所示，已知正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为（

）A． B．C． D．【例题2】（2024高三·全国·专题练习）已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，则直角梯形边的长度是（

）A． B． C． D．【例题3】（2425高二上·北京海淀·阶段练习）如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（

）A． B．C． D．相似练习相似练习【相似题1】（2425高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则（

）A． B． C．6 D．【相似题2】（2425高一下·全国·单元测试）如图所示是由斜二测画法得到的水平放置的三角形的直观图，点是的边的中点，，分别与轴，轴平行，则在原图中三条线段，，中（

）A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是C．最长的是，最短的是 D．最长的是，最短的是【相似题3】（2122高一下·上海闵行·期末）将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则．

【题型4：原图与直观图面积的关系】知识讲解知识讲解以三角形为例：设原三角形$ABC$，$AB$边平行于轴，点到$AB$的距离为（即$AB$边上的高）。在斜二测画法下，$AB$长度不变，仍为，点到$AB$的距离在直观图中变为$h'$，根据斜二测画法的规则，$h'$是原高的一半再乘以，即。那么原三角形面积，直观图三角形面积。推广到任意多边形：任意多边形都可以分割成若干个三角形，由于每个三角形的直观图面积都是原三角形面积的，所以整个多边形的直观图面积也是原多边形面积的。推广到一般平面图形：对于曲线围成的平面图形，可通过将其分割成无数个小三角形或小矩形等基本图形，再利用极限的思想，同样可以得出直观图面积是原图形面积的。例题精选例题精选【例题1】（2425高一下·河北邯郸·阶段练习）的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（

）

A． B．4 C． D．8【例题2】（2425高二上·四川达州·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（

）A．1 B． C． D．3【例题3】多选题（2025·陕西西安·二模）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（

）A． B．C．四边形的面积为 D．四边形的周长为相似练习相似练习【相似题1】多选题（2021高一下·浙江·期末）如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（

）A． B．C． D．【相似题2】（2425高二下·上海浦东新·开学考试）已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是.【相似题3】（2425高二上·上海金山·阶段练习）如图是三角形用斜二测画法得到的水平直观图三角形，其中轴，轴，若三角形的面积是．则三角形的面积是．【题型5：斜二测画法中的中等题型】例题精选例题精选【例题1】（2324高一下·河北邢台·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（

）A． B． C． D．【例题2】（2223高一下·河南驻马店·期末）用斜二测画法画的直观图如图所示，其中，，则中边上的中线长为（

）

A． B． C． D．相似练习相似练习【相似题1】多选题（2425高三上·广东湛江·阶段练习）已知水平放置的正方形的边长为，利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形，则（

）A．的最小值小于 B．的最大值小于C．的最小值大于 D．的最大值大于【相似题2】（2223高一下·浙江温州·期中）如图所示，四边形是由斜二测画法得到的平面四边形ABCD水平放置的直观图，其中，，，点在线段上，对应原图中的点P，则在原图中下列说法正确的是（

）A．四边形ABCD的面积为14B．与同向的单位向量的坐标为C．在向量上的投影向量的坐标为D．最小值为13课后针对训练课后针对训练一、单选题1．（2324高一下·河南郑州·阶段练习）如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（

）A． B． C． D．52．（2425高一下·湖南常德·阶段练习）一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（

）A．4 B． C． D．3．（2122高一下·山西运城·期末）如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（

）A． B． C． D．4．（2324高二上·四川乐山·阶段练习）如图，是水平放置的的直观图，其中，所在直线分别与轴，轴平行，且，那么是（

）

A．等腰三角形 B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形二、多选题5．（2425高一下·全国·课后作业）（多选）如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题6．（2425高二上·上海·阶段练习）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形面积是.

7．（2425高二上·上海·期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为．8．（2425高二上·上海·期中）若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为.9