561匀速圆周运动的数学模型教学设计-高一上学期数学人教A版

教学设计

课程基本信息学科数学年级高一学期秋季课题5.6.1匀速圆周运动的数学模型教学目标1.了解函数的现实背景，经历匀速圆周运动的数学建模过程，进一步体会三角函数与现实世界的密切联系.2.依托现实情境，发展数学抽象、数学运算和数学建模等核心素养.教学重难点教学重点：用函数模型刻画一般匀速圆周运动的建模过程.教学难点：将实际问题抽象为数学问题的过程.教学过程一、创设现实情境，提出研究问题师：客观世界存在着各种各样的运动变化现象，我们知道，函数是描述客观世界运动变化规律的数学模型.给出两个实际场景（汽车行驶和运动员跳水），引出一类运动可以用函数模型刻画.现在，来看这两个画面？在做什么运动？生：匀速圆周运动.师：如何用函数模型来描述这类运动变化规律呢？选取筒车为例，观看视频.生：感叹古人的聪明才智！发现了圆周运动的现象.设计意图：通过生活实际场景，分析可以用数学函数模型描述客观世界运动的变化规律，并通过实际例子提出研究一般匀速圆周运动如何用数学模型刻画的问题，渗透了数学源于生活的本质.通过筒车模型引入，体现数学的实际价值，感受古人的聪明才智的同时，发现问题、提出问题，并尝试分析问题和解决问题.问题1：通过刚才视频，假定水流量稳定，这样筒车上的盛水筒都做匀速圆周运动.如何刻画盛水筒距离水面的相对高度与筒车转动的时间的关系.师：首先把现实问题数学化.生：将筒车抽象为圆，筒车上的盛水筒抽象为圆上的点，水面抽象为一条水平直线.师：你有用数学模型刻画圆周运动的经验吗？生：三角函数！师：好，我们尝试用三角函数刻画筒车上动点相对于直线的高度与时间的关系.追问1：当动点运动到点，则此时点距离水面的高度如何确定？生：点距离水面的高度由两方面确定，一是圆心距离水面的高度（设为），二是点相对于圆心的高度（设为），即.师：由点在圆上的位置确定，如何表示呢？设计意图：通过利用多媒体展示筒车运动的真实情境，学生可以进行观察、思考、交流，并自主探究，采用追问方式进行引导，让学生在抽象简化的基础上再进行思考分析，培养学生数学抽象、数学建模等核心素养.二、回顾三角函数，经历探究过程追问2：前面学习中，哪里出现过用数学模型刻画点在圆上的位置问题？生：单位圆，三角函数的概念.师：很好！我们一起来回顾单位圆上点相对于圆心的高度是如何刻画的.师：如图，以点为起点，点在圆上按逆时针方向运动到点，转过的角度为，根据三角函数的定义…生：点的横坐标是，纵坐标是.师：纵坐标是反映点相对于原点的高度的量，所以单位圆上点相对于圆心的高度是（值为正数，表示点相对于圆心的上方；值为负数，表示点相对于圆心的下方；值为零，表示点与圆心在同一水平线上）.当圆半径为时，的纵坐标为？生：，即点相对于圆心的高度为师：类比单位圆，要想知道点相对于圆心的高度，需要求出点对应的纵坐标，因此需要？生：建系！设计意图：回顾三角函数定义，会表示点相对原点的高度问题，为后面引出点相对圆心的高度问题做铺垫.追问3：如何建立直角坐标系好呢？生：把直角坐标系的原点放在筒车对应的圆心位置，可以方便地用筒车的半径和角度表示筒车上点的位置，由此我们把筒车的圆心作为原点，以与水平面平行的直线为轴，建立直角坐标系.生：设点坐标为，则要表示出点相对圆心的高度，即求出点的纵坐标即可，即.师：如何求？生：设筒车半径为，以为始边，点对应的角即为终边的角为，则，由此得.设计意图：类比单位圆，引导学生通过几何代数化，建立直角坐标系，学会用数学符号表示.追问4：接下来，你能分析与哪些量有关，如何用这些量表示？生：首先，为终边的角为由初始位置对应的角即为终边的角和转过的角两部分确定.师：初始位置放哪里？生：初始位置放在与水面平行的位置，则即为转过的角的大小，它不仅与时间有关，还与角速度有关，不妨记角速度为，这样时间内转过的角大小是.师：从特殊到一般，若初始位置在一般位置呢？生：要加上初始位置对应的角，不妨记为终边的角为，即点对应的角为，所以点相对于圆心的高度是.综上，可见，点距离水面的高度由等5个量决定，其中是常量，而是自变量.由此，我们得到了描述一般匀速圆周运动的数学模型.设计意图：进一步分析角的形成过程，层次分明，继而得出三角函数模型.三、体味思维方法，发展数学理解师：将较为复杂的筒车上点的运动问题转化为单位圆上点的运动问题，与我们熟悉的三角函数建立了联系，为运用正弦函数刻画点的高度问题开辟了道路，即将复杂情形转化为简单情形，陌生问题转化为熟悉问题，层层递进，经历了从一般到特殊又回到一般的过程，感受到处理复杂数学问题的重要思想方法，这种思考策略在数学活动中具有广泛的意义.具体过程来说，是有条理，分层次的分析；具体的讲，体会到从宏观到微观、先定性再定量的研究方法，这是普遍适用和有效的方法论.四、重视模型应用，解决实际问题问题2已知筒车的半径为4米，点在水平面上，盛水筒从点处开始逆时针转动，与水平面所成角为，且每2分钟恰好转动1圈.（1）盛水筒距离水面的高度(单位:米)与时间(单位：秒)之间的函数关系式是().（2）求筒车转动1分钟时盛水筒距离水面的高度.（3）求盛水筒第一次到达最高点所用的时间.（4）求盛水筒进入水面后至少经过多久转出水面.设计意图：通过模型建立，对数学模型有进一步认识.进一步体会圆周运动与三角函数模型之间的内在联系，会求解数学模型及应用模型解决实际问题的能力，体现数学的综合运用和实际应用价值，也是对课堂所学知识的学习效果的一次检测.五、数学建模——研究路径问题解决问题解决实际问题数学问题三角函数模型求解三角函数模型实际问题的解还原到实际问题抽象转化引入构建师生活动：以实际问题——筒车上的盛水筒做匀速圆周运动抽象转化为数学问题——圆上一点绕中心旋转，求相对水面的高度与时间的关系，类比单位圆，寻找确定高度相关量，并对这些量进行分析，引入构建三角函数模型，进一步利用数学模型求解问题，还原到实际问题，得到实际问题的解，从而解决问题.数学建模沟通了实际问题与数学问题的桥梁.师生活动：这是一段用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界的探索旅程.我们体会到数学源于生活，应用于生活，数学有趣，数学有用.设计意图：从筒车问题到数学问题，建立三角函数的数学模型，表示其上点的匀速圆周运动，引出本单元的核心内容，让学生经历了数学建模的全过程，感悟数学源于生活并应用于生活.引导学生会用数学的眼光观察现实世界，用数学语言表达现实世界等.六、引导课堂总结，培养分析能力1.本节课主要学习内容是？2.数学思想方法？3.新研究？设计意图：引导学生回顾总结本节课的内容及要点，并展望接下来的研究内容.七、课后拓展延伸，提升数学素养思考下面这个问题：在问题2中，若筒车上均匀分布着12个盛水筒，在筒车运行一周的