二阶常系数齐次线性微分方程课件

二阶常系数齐次线性微分方程

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方程y

py

qy

0称为二阶常系数齐次线性微分方程

其中p、q均为常数

如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解

那么y

C1y1

C2y2就是它的通解

二阶常系数齐次线性微分方程

考虑到当y

、y

、y为同类函数时

有可能使y

py

qy恒等于零

而函数erx具有这种性质

所以猜想erx是方程的解

将y

erx代入方程y

py

qy

0得(r2

pr

q)erx

0

由此可见

只要r满足代数方程r2

pr

q

0

函数y

erx就是微分方程的解

分析

下页

方程y

py

qy

0称为二阶常系数齐次线性微分方程

其中p、q均为常数

方程r2

pr

q

0叫做微分方程y

py

qy

0的特征方程.

特征方程及其根

特征方程的求根公式为下页二阶常系数齐次线性微分方程

方程y

py

qy

0称为二阶常系数齐次线性微分方程

其中p、q均为常数

特征方程的根与通解的关系有两个不相等的实根

r1、r2

方程y

py

qy

0的通解方程r2

pr

q

0的根的情况

简要证明:下页这是因为有两个不相等的实根

r1、r2

有两个相等的实根

r1

r2

下页特征方程的根与通解的关系方程y

py

qy

0的通解方程r2

pr

q

0的根的情况

简要证明:这是因为有两个不相等的实根

r1、r2

有一对共轭复根

r1,2

i

y

e

x(C1cos

x

C2sin

x)下页特征方程的根与通解的关系方程y

py

qy

0的通解方程r2

pr

q

0的根的情况有两个相等的实根

r1

r2

简要证明:故e

xcos

x和e

xsin

x也是方程的解

因为函数y1

e(

i

)x和y2

e(

i

)x都是方程的解

函数e

xcos

x与e

xsin

x的比值为cot

x

不是常数

故e

xcos

x和e

xsin

x是方程的线性无关解

>>>

第一步写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0

第二步求出特征方程的两个根r1、r2

第三步根据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解.

求y

+py

+qy=0的通解的步骤:

下页有两个不相等的实根

r1、r2

有一对共轭复根

r1,2

i

y

e

x(C1cos

x

C2sin

x)特征方程的根与通解的关系方程y

py

qy

0的通解方程r2

pr

q

0的根的情况有两个相等的实根

r1

r2

下页有两个不相等的实根

r1、r2

有一对共轭复根

r1,2

i

y

e

x(C1cos

x

C2sin

x)特征方程的根与通解的关系方程y

py

qy

0的通解方程r2

pr

q

0的根的情况有两个相等的实根

r1

r2

因此微分方程的通解为y

C1e

x

C2e3x

例1

求微分方程y

2y

3y

0的通解

解微分方程的特征方程为r2

2r

3

0

特征方程有两个不相等的实根r1

1

r2

3

即(r

1)(r

3)

0

下页有两个不相等的实根

r1、r2

有一对共轭复根

r1,2

i

y

e

x(C1cos

x

C2sin

x)特征方程的根与通解的关系方程y

py

qy

0的通解方程r2

pr

q

0的根的情况有两个相等的实根

r1

r2

特征方程有两个相等的实根r1

r2

1

例2

求方程y

2y

y

0的通解

解微分方程的特征方程为r2

2r

1

0

即(r

1)2

0

因此微分方程的通解为y

C1e

x

C2xe

x

即y

(C1

C2x)e

x

下页通解形式

r2

2r

5

0

特征方程的根为r1

1

2i

r2

1

2i

是一对共轭复根

因此微分方程的通解为y

ex(C1cos2x

C2sin2x)

例3

求微分方程y

2y

5y

0的通解

有两个不相等的实根

r1、r2

有一对共轭复根

r1,2

i

y

e

x(C1cos

x

C2sin

x)特征方程的根与通解的关系方程y

py

qy

0的通解方程r2

pr

q

0的根的情况有两个相等的实根

r1

r2

解微分方程的特征方程为n阶常系数齐次线性微分方程下页

方程y(n)

p1y(n

1)

p2y(n

2)

pn

1y

pny

0称为n

阶常系数齐次线性微分方程

其中p1

p2

pn

1

pn都是常数

引入微分算子D及微分算子的n次多项式

L(D)

Dn

p1Dn

1

p2Dn

2

pn

1D

pn

注

D0y

y

Dy

y

D2y

y

D3y

y

Dny

y(n)

则n阶常系数齐次线性微分方程可记作

(Dn

p1Dn

1

p2Dn

2

pn

1D

pn)y

0或L(D)y

0

下页n阶常系数齐次线性微分方程

方程y(n)

p1y(n

1)

p2y(n

2)

pn

1y

pny

0称为n

阶常系数齐次线性微分方程

其中p1

p2

pn

1

pn都是常数

引入微分算子D

则上述微分方程可记作

(Dn

p1Dn

1

p2Dn

2

pn

1D

pn)y

0或L(D)y

0

因此如果r是多项式L(r)的根

则y

erx是微分方程L(D)y

0的解

分析

令y

erx

则L(D)y

L(D)erx

(rn

p1rn

1

p2rn

2

pn

1r

pn)erx

L(r)erx

L(r)

0称为微分方程L(D)y

0的特征方程

下页n阶常系数齐次线性微分方程

方程y(n)

p1y(n

1)

p2y(n

2)

pn

1y

pny

0称为n

阶常系数齐次线性微分方程

其中p1

p2

pn

1

pn都是常数

特征方程的根与通解中项的对应

引入微分算子D

则上述微分方程可记作

(Dn

p1Dn

1

p2Dn

2

pn

1D

pn)y

0或L(D)y

0

e

x[(C1

C2x

Ck

xk

1)cos

x

(D1

D2x

Dkxk

1)sin

x]

单实根r对应于一项

一对单复根r1

2

i

对应于两项

k重实根r对应于k项

一对k重复根r1

2

i

对应于2k项

erx(C1

C2x

Ckxk

1)

e

x(C1cos

x

C2sin

x)

Cerx

结束

例4

求方程y(4)

2y

5y

0的通解

解微分方程的特征方程为r4

2r3

5r2

0

即r2(r2

2r

5)

0