《立体几何小结》课件

3.3立体几何-2--3-2014年：近三年考情分析：二小一大格局第11题：三棱柱，异面直线所成角第18题：四棱锥，线面平行；二面角与体积第6题：三视图，体积2015年：第9题：三棱锥体积，外接球的表面积第19题：长方体，线面平行；直线与平面所成角第6题：三视图，体积2016年：第14题：平行与垂直的判定第19题：平面图形的翻折，线面垂直；二面角第6题：三视图，表面积-4-1.证明线线平行和线线垂直的常用方法(1)证明线线平行常用的方法:①利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;②利用平行四边形进行平行转化;③利用三角形的中位线定理证线线平行;④利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转化.-5-(2)证明线线垂直常用的方法:①利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质;②勾股定理;③线面垂直的性质:

只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可,

即l⊥α,a⊂α⇒l⊥a.-6-2.证明线面平行和线面垂直的常用方法(1)证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理:

把证明线面平行转化为证明线线平行;②利用面面平行的性质:

把证明线面平行转化为证明面面平行.-7-(2)证明线面垂直的常用方法:①利用线面垂直的判定定理:

把线面垂直转化为证明线线垂直;②利用面面垂直的性质定理:

把证明线面垂直转化为证明面面垂直;③利用常见结论:

如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,

则另一条也垂直于这个平面等.即l⊥α,l//b⇒b⊥a.-8-3.证明面面平行和面面垂直的常用方法(1)证明面面平行的方法①利用面面平行判定定理：

只要找到一个平面内两条相交直线与另一个平

面平行即可,从而将证明面面平行转化为证明线

面平行,再转化为证明线线平行.-9-(2)证明面面垂直的方法①利用面面垂直的判定定理：

即证明一个面过另一个面的一条垂线,将证明

面面垂直转化为证明线面垂直,一般从现有直线

中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中点、

高线或添加辅助线解决.②利用面面垂直的定义:

即证明二面角的平面角是直角-10-4.利用空间向量证明平行与垂直

设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分别为μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3)则有:(1)线面平行:l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)线面垂直:

l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.-11-(3)面面平行:α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3.(4)面面垂直:

α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0.-12--13-(3)面面夹角的计算:设平面α,β的法向量分别为n1,n2,α与β的夹角为θ,如下图,-14-6.求点到平面的距离

3.3.1

空间中的平行与垂直-16-考向一考向二例1(2016江苏,16）如图,在直三棱柱ABC-中,D,E分别为AB,BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F,A1C1

⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;

(2)平面B1DE⊥平面A1C1FABCEFA1B1C1D-17-考向一考向二平行与垂直关系的证明

例1(2016江苏,16)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.答案答案关闭证明:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.-18-考向一考向二突破策略几何转化法:从解题方法上说,由于线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)之间可以相互转化,因此整个解题过程始终沿着线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转化途径进行.-19-考向一考向二对点训练1

如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.

(1)求证:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.-20-考向一考向二证明:(1)方法一

如图,连接DG,CD,设CD∩GF=M,连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形,则M为CD的中点.又H为BC的中点,所以MH∥BD.又MH⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,所以BD∥平面FGH.方法二

在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形,可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.-21-考向一考向二(2)如图,因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GH∥AB.由AB⊥BC,得GH⊥BC.又H为BC的中点,所以EF∥HC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形.所以CF∥HE.又CF⊥BC,所以HE⊥BC.又HE,GH⊂平面EGH,HE∩GH=H,所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面EGH.-22-考向一考向二例2如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,∠BAD=60°,E是PA的中点.(1)求证:直线PC∥平面BDE;(2)求证:BD⊥PC.-23-考向一考向二-24-考向一考向二-25-考向一考向二突破策略向量坐标法:利用空间向量证明空间的平行或垂直关系,首先建立空间坐标系,然后用坐标表示直线的方向向量及平面的法向量,最后利用向量的数量积或数乘运算证明.用向量方法证明直线a∥b,只需证明向量a=λb(λ∈R)(其中a,b分别是直线a与b的方向向量);证直线和平面垂直,只需证直线的方向向量与平面的法向量共线;证直线和平面平行,除证直线的方向向量与平面的法向量垂直外,还需强调直线在平面外.-26-考向一考向二对点训练2

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点,求证:

(1)DE∥平面ABC;(2)B1F⊥平面AEF.解析-27-解析关闭与平行、垂直有关的存在性问题

例3(2016北京,理17)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,(1)求证:PD⊥平面PAB;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求

的值;若不存在,说明理由.-28-考向一考向二-29--30-考向一考向二(1)证明:因为平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD,所以PD⊥平面PAB.(2)解:

取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD,所以PO⊥AD.又因为PO⊂平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD,所以PO⊥CO.因为AC=CD,所以CO⊥AD.如图建立空间直角坐标系O-xyz.-31-考向一考向二-32-考向一考向二-33-考向一考向二突破策略1.先假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定结论.2.空间向量最适合解决这类探索性问题,解题时无需进行复杂的作图、论证、推理,只需把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,即通过坐标运算进行判断,这就是计算推理法.-34-考向一考向二