《探究与发现解三角形的进一步讨论》课件

人教版必修5第一章《正弦定理与余弦定理的综合运用---边角互化》河北新河中学韩宝东知识目标:(认真阅读，时间1分钟)1、三角形形状的判断依据；2、利用正弦、余弦定理进行边角互换。能力目标：1、进一步熟悉正、余弦定理；

2、边角互化；3、判断三角形的形状；4、证明三角形中的三角恒等式。一、学习目标及重难点：教学重点：利用正弦、余弦定理进行边角互换。教学难点：

1、利用正弦、余弦定理进行边角互换时的转化方向；2、三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系。二、回顾：利用正弦、余弦定理求角的区别(2分钟)余弦定理正弦定理相同点先求某种三角函数值再求角不同点条件知三边知二边一角依据求角解方程cosA＝m，A∈(0，π)解方程sinA＝mA∈(0，π)，检验y＝cosx在(0，π)上为减函数，解方程所得解唯一所以求角时最好选择求余弦值后，再确定角的大小y＝sinx在(0，π)上先增后减，解方程可能产生增根或两解，需检验1、正弦定理、余弦定理的应用

正弦定理、余弦定理体现了三角形中的边角关系，能实现边角的互化，应用这两个定理可解决以下几类问题：三、名师点拨：（4分钟）两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C，在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c，可有两解、一解或无解已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解2、解三角形常用的边角关系及公式总结：(1)三角形内角和等于180°(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．(3)三角形中大边对大角，小边对小角．(5)三角恒等变换公式，如和、差角公式，倍角公式的正用与逆用等．

题型一已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形[思路探索]本题可直接利用余弦定理求边长c，也可先由正弦定理求出B，进而求出C，然后利用正弦定理或余弦定理求出边长c.【例1】四、新课讲解（学生先独立思考，然后小组讨论，20分钟）规律方法已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法如下：可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再应用正弦定理求出第三边．

在△ABC中，求证：a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC.[思路探索]所证式子为既有边又有角的三角函数式，考虑利用正弦定理将边转化为角．解由正弦定理的推广得a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)，于是a2sin2B＋b2sin2A＝(2RsinA)2·sin2B＋(2RsinB)2·sin2A＝8R2·sinAsinB(sinAcosB＋cosAsinB)＝8R2sinAsinBsin(A＋B)，由A＋B＝π－C，得上式＝8R2sinAsinBsinC＝2·2RsinA·2RsinB·sinC＝2absinC.所以原式成立．【例2】

题型二证明三角恒等式规律方法：有关三角形的证明问题，主要涉及三角形的边和角的三角函数关系．从某种意义上看，这类问题就是有目标的对含边和角的式子进行化简的问题，所以解题思路与判断三角形形状类似：边化为角或者角化为边．

在△ABC中，A>B>C，且A＝2C，a＋c＝2b，求此三角形三边之比．审题指导：正弦定理与余弦定理常常综合考查．若三角形中的边角关系较为复杂，则在化简求值时，要选择合适的转化方向．【解题流程】【例3】题型三正弦定理、余弦定理的综合应用【题后反思】余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互化的，所以在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果遇到的式子中含角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．1、转化与化归思想是在研究和解决有关问题时采用某种手段将问题转化得到解决的一种解题策略．2、在本节中通过转化与化归思想，一般把需要解决的问题转化为三角形中的边角问题，应用正弦、余弦定理完成边角的转化，使问题得以解决．