浙江省衢州市、丽水市、湖州市2025年高考二模数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页浙江省衢州市、丽水市、湖州市2025年高考二模数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−A.[0,1] B.[0,2.已知i为虚数单位，复数z=a2−4A.2或−2 B.2 C.0 D.3.已知向量a=(1,1)，b=(A.(1,1) B.(−14.若(1−x)7A.31 B.32 C.63 D.645.“sin2α<0A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要6.正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，NA.0 B.34 C.127.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A，B，C成等差数列，a,A.14 B.12 C.38.过抛物线C：y2=4x焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过点A作C的切线l，交x轴于点M，过点B作直线l的平行线交x轴于点N，则|A.12 B.10 C.9 D.8二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=A.f(x)的最大值是2 B.f(x)在(0,π10.若函数f(x)与函数g(x)的图象关于直线xA.f(x)=3x+2 11.如图，多面体PABCQ由正四面体P−ABC和正四面体Q−ABC拼接而成，一只蚂蚁从顶点P出发，沿着多面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记n次爬行后，该蚂蚁落在点A.p2=14

B.p3>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，a13.已知斜率大于零的直线l交椭圆Γ：x24+y2=1于A，B两点，交x，y轴分别于C，D两点，且C，D是线段A14.若定义在R上的函数f(x)满足f(x+1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BD⊥DC.将△ABD沿BD折起，使AB⊥AC，连接AC，得到三棱锥A−BCD．

(116.(本小题15分)

某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在A，B两点进行投篮，共投两次.第一次投篮点可在A，B两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点.在A点投中得2分，在B点投中得3分，未投中均得0分，各次投中与否相互独立．

(1)在参赛的同学中，随机调查50名的得分情况，得到如下2×得分≥3得分<3合计先在A点投篮20525先在B点投篮101525合计302050是否有99%的把握认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关？

(2)小明在A点投中的概率为0.7，在B点投中的概率为0.3．

(i)求小明第一次投中的概率；

(ii)记小明投篮总得分为α0.10.050.010.001x2.7063.8416.63510.82817.(本小题15分)

已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=218.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex+a(a∈R)，O为坐标原点．

(1)当a=1时，

(i)求曲线y=f(x)在点(−19.(本小题17分)

对于给定的n项整数数列An：a1，a2，…，an(n≥3)，定义变换H(i)：①若i=1，则a1加2，an，a2均加1，其余项不变；②若1<i<n，则ai加2，ai−1，ai+1均加1，其余项不变；③若i=n，则an加2，an−1，a1均加1，其余项不变.例如，对数列：−1，0，1做变换H(1)得到1，1，2，即−1，0，1→变换H(1)1，1，2；而对数列：2，5，7，3先后做变换H(3)，H(4)可得到3，6，10，6，即2，5，7，3答案和解析1.【答案】D

【解析】解：集合A={x|x2−x−2≤0}={x|−1≤x2.【答案】D

【解析】解：由题意，a2−4=0且a−2≠0，解得a3.【答案】B

【解析】解：向量a=(1,1)，b=(−1,1)，

则a+b=(0,2)，4.【答案】C

【解析】解：(1−x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，

令x=0，解得a05.【答案】B

【解析】解：sin2α<0⇔π+2kπ<2α<2π+2kπ，k∈Z，

则π4+kπ2<α2<π26.【答案】C

【解析】解：连接BC1、C1D，则△BDC1是等边三角形，可得∠BDC1=60°，

根据M、N分别为正方形A1B1C1D1及ABB1A1的中心，可知MN是△A1BC1的中位线，

所以MN/​/BC1，可得∠BDC7.【答案】D

【解析】解：根据题意，a、c、43b成等比数列，不妨设其公比为q，(q>0)，

则c=aq，43b=aq2，变形可得b=3q2a4，

又由A，B，C成等差数列，且A+B+C=π，所以B=π3，

则cosB=a2+c2−b22ac=a2+a2q8.【答案】C

【解析】解：设A(t2,2t)，焦点F(1,0)，设直线AB方程为x=my+1，

则x=my+1y2=4x，化简得y2−2my−4=0，

所以y1y2=−4，x1x2=y122p⋅y222p=1，

所以B(1t2,−2t)，

设在点A处的切线方程为y−2t=k(x−t2)，

联立y−2t=k(x−t2)y2=4x，化简得ky2−4y−4t2k+8t=09.【答案】AC【解析】解：函数f(x)=sinx+cosx=2sin(x+π4)≤2，故f(x)的最大值是2，A正确；

当x∈(0,π2)时，x+π4∈(10.【答案】AB【解析】解：因为函数f(x)与函数g(x)的图象关于直线x−y+1=0对称，所以函数f(x)需满足在定义域上单调．

对于A，易知函数f(x)=3x+2在R上单调递增，故A正确；

对于B，因为y=ex2在R上单调递增，函数y=e−x2在R上单调递减，

故可知函数f(x)=ex−e−x2在R上单调递增，故B正确；

对于C，因为f(x)=ex−2x定义域为R，所以f′(x)=ex−2，

当x>ln2时，f′(x)11.【答案】AC【解析】解：设记n次爬行后，该蚂蚁落在点A或B或C的概率为Fn，

则pn+1=14rnrn+1=pn+12rn+qnqn+1=14rn，其中p1=0，m=1，q=0，

计算易得p2=14，P2=14,r2=12,q2=14，p3=18，r3=34，q3=18,q4=316，故A、C正确，B错误；

由原方程组可得rn+2=12rn+1+12rn,则12.【答案】110

【解析】解：根据题意，等差数列{an}中，a1=2，a10=20，

则S10=(a13.【答案】12【解析】解：因为直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=kx+m(k>0)，

令x=0，则y=m，即D(0,m)，令y=0，则x=−mk，即C(−mk,0)，

联立y=kx+mx2+4y2=4，消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4=0，

Δ=64k2m2−4(1+4k2)(4m2−414.【答案】2+【解析】解：由f(x+1)=1+2f(x)−f2(x)(x∈R)，得2f(x)−f2(x)≥0，得0≤f(x)≤2，

平方得f2(x+1)=1+22f(x)−f2(x)+2f(x)−f2(x)①，

又215.【答案】证明见解析；

(i)2【解析】解：(1)证明：因为AB⊥AC，AB⊥AD，AD∩AC=A，AD，AC⊂平面ACD，

所以AB⊥平面ACD，又CD⊂平面ACD，

所以AB⊥CD，又因为BD⊥CD，BD∩AB=B，BD，AB⊂平面ABD，

所以CD⊥平面ABD；

(2)(i)以D为坐标原点，以DB，DC，Dz所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，

则A(1,0,1)，E(1,1,0)，所以DA−=(1,0,1)，DE=(1,1,0)，

设平面ADE的一个法向量为n=(x,y,z)，

则16.【答案】有99%的把握认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关；

(i)0.5；(【解析】解：(1)零假设为H0得分与第一投篮点选择独立，即得分无差异χ2=50(300−50)225×25×30×20=253>6.635，

根据小概率值α=0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，

因此认为得分与第一投篮点选择有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01；

(2)设第1次选择在点A投篮记为事件A，在点B投篮记为事件B，投中记为事件E，

则P(A)=12，P(B)=12Px02346P2173499E(X)=0×21100+2×720+3×320+4×49200+6×9200=125．

(117.【答案】x2−y2=1【解析】解：(1)由题意得2c=22，解得c=2，

∵双曲线的渐近线为ay±bx=0，

∴|2b|a2+b2=1，解得b=1，所以a=1，

故双曲线方程为：x2−y2=1；

(2)由F1A,F2B同向可知，直线F1A，F2B与E均有两个交点，

设直线F1A：x=ty−2，它与E的另一个交点记为C，

由双曲线的对称性可知，|F1C|=|F2B|，故三角形AF2B面积等于三角形CF1F2面积，

所以四边形AF1F2B面积等于三角形ACF2面积，

设A(x1,y1)，C(x2,y2)，

联立方程：x=ty−2x2−y2=1⇒(t2−1)y2−22ty+1=018.【答案】(i)y−x−2【解析】解：(1)当a=1，f(x)=ex+1，

(i)因为f′(x)=ex+1，则f(−1)=1，f(−1)=1，

故切线方程为y−x−2=0；

(ii)设P(x,ex+1)，则|OP|=x2+e2x+2(x∈R)，

记g(x)=x2+e2x+2，

则g′(x)=2(x+e2x+2)，

易知g′(x)=2(x+e2x+2)是关于x的增函数且g(−1)=0，

所以当x∈(−∞,−1)，g(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(−1,+∞)，g(x)>0，g(x)单调递增，

故g(x)最小值为g(−1)=2，得|OP|的最小值2；

(2)∃h(x)=x2+e2x+2a，x∈R，

则h′(x)=2(x+e2x+2a)，

易知h′(x)是关于x的增函数且存在负实数x0，使得h′(x0)=19