高一数学新人教版(A版) 必修第1册：两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)-教学设计

两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）教学设计

课程基本信息

2020QJ10SX

课例编号学科数学年级高一学期上学期

RA055

课题两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）

书名：普通高中教科书数学（A版）必修一

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年7月

教学人员

姓名单位

授课教师杨震涛北京市一零九中学

指导教师李颖北京市东城区教师研修中心

教学目标

教学目标：

1.借助圆的旋转对称性和三角函数的定义推导两角差的余弦公式，并利用公式进行简单的求值；

2.在公式推导中，体会特殊与一般，数形结合的思想，感受知识间内在联系；

3.在公式的推导和应用中，发展数学推理和数学运算的素养.

教学重点：两角差的余弦公式的推导和应用.

教学难点：两角差的余弦公式的推导.

教学过程

时教学

主要师生活动

间环节

知识回顾

sin(2k)sin,cos(2k)cos,

温这是我们最熟悉的两个诱导公式即终边相同角的三角函数值相同。类似的诱导公式还

故有很多。利用这些公式对三角函数进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的。

知

新这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换.

利用诱导公式化简(kZ):

cos()cos

cos()sincos()cos，

2，

3

cos()sincos(2k)cos,kZ..

2，

（一）引发思考.

k

之前的三角恒等变换中，可以发现它们都是特殊角与任意角（）的差的余弦，变

2

k

换后的结果都与这个任意角（）正弦或余弦有关，如果把特殊角化为任意角β

2

（α），则cos()的公式展开式会与哪些值有关呢？

k

对比特殊角与任意角差（）的余弦，

2

α-β的余弦与sinα，cosα,sinβ,cosβ有关.

那么有着怎样的具体关系呢？我们共同探索

（二）利用问题链，推导公式.

cos()sinα，cosα,sinβ,cosβ

教师引领：为了探索与的等量关系，我们借助

图形加以研究。

思考：我们借助哪些工具探究cos(α-β)与sinα、cosα、sinβ、cosβ间的关系？

sin(2k)sin,cos(2k)cos,

探根据以往经验：

究

新

知

诱导公式即用到了三角函数的定义，x=cosα,y=sinα，根据单位圆的特殊对称性。如图

单位圆上的任意一点，旋转2kπ,仍然在单位圆上，且此时位置不变的特征，推导公式。

类比诱导公式的推导经验，单位圆推导。

活动1：

动手作图：以x轴非负半轴为始边，任取两角α、β，

(+2k,kZ)

终边分别交单位圆于A1，P1，

学生可能出现以下几类情况：

师：由于角的终边情况比较复杂，不妨从简单的情况入手讨论，

设角α，β为锐角，且α>β．

活动2：如何确定横坐标为cos(α-β)的点p？

度量α-β的角度，OA逆时针旋转该角度，

终边交单位圆于p.

我们现在找到了这样三个特殊的点.

p(cos(),sin()),

A1(cos,sin),P1(cos,sin).

活动3：如何发现cos(α-β)与sinα，cosα,sinβ,cosβ的等量关系？

需要关注单位圆中、、

α-βαβ相关的恒量关系？

发现：AOPAOP，APAP，AOPAOPAPAP

11111111.

活动4：指明线段A1P1=AP的依据.

（法一）扇形AOP绕着点o旋转角，则点A、P分别点A1，P1重合，则APA1P1，

APAP

所以11.

与推导诱导公式用到的圆的特殊对称性不同，这里是单位圆上任意一个点，旋转任意

角度后仍在单位圆上，即反映了圆的旋转对称性。

AOPAOPAOPAOPAPAP

（法二）11，在单位圆中11，所以11.

活动5：下面利用两条线段APA1P1相等的关系，推导cos(α-β)与α、β三角函数值的

关系.

平面上任意两点

平面上任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),

如图可得，AB间的距离为

22

AB(x1x2)(y1y2)

根据两点间距离公式分别表示线段AP与A1P1,

2cos(-)-1]22

AP[sin().

AP2(coscos)2(sinsin)2

11.

[cos(-)-1]2222

sin()(coscos)(sinsin).

cos(-)22cos()1sin2()

2222

coscos2coscossinsin2sinsin.

2cos()222coscos2sinsin.

即

cos()coscossinsin.

当α=β＋2kπ,k∈Z时，上式仍成立。

如图,终边旋转到任意角度,在（0,2）与终边相同的角大于

（0,2）与终边相同的角时，仍有AP=A1P1.

当（0,2）与终边相同的角大于（0,2）与终边相同的角时，

AOPAOP||

11.

由圆的旋转对称性，点A、P分别点A1，P1重合，则APA1P1，

APA1P1

所以，

对于任意角α，β有

cos()coscossinsin.

称为差角的余弦公式，简记作C(α-β)

（四）归纳结构特点，总结记忆方法.

1.公式对任意角α、β都成立；

2.左边的角是，右边的角是，；

3.公式特点是：同名相乘，符号相加.

例利用公式证明（）

1Cαβ:1cos()sin,

(-)2

（）

2cos()cos.

证明：（1）cos()coscossinsin01sinsin

222.

（）

2cos()coscossinsin1cos0sincos.

点拨：和（差）角公式可以看成诱导公式的一般化表达，诱导公式可以看成和（差）

的

角公式的特例.当α,β中有一个角是2整数倍时，用诱导公式更简便.

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例2已知sin,(,),cos,是第三象限角，求cos(-)

5213.

典

例思考:观察题目的结构特征，联想到刚刚推导的余弦公式，不难发现，欲求cos()

剖

的值，必先知道的值，然后利用公式即可求解.从已知

析cos,sin,cos,sinc()

条件看，还少cos与sin的值，根据诱导公式不难求出，但是这里必须注意利用同

角的平方和关系式时，角,所在的象限，准确判断它们的三角函数值的符号。

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解：由sin,(,),得cos-1