高一数学新人教版(A版) 必修第1册：对数的运算(2)-教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ10SXRA032学科数学年级高一学期第一学期

课题对数的运算（2）

书名：普通高中教科书数学必修第一册A版

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教学人员

姓名单位

授课教师李晶北京市第十一中学

指导教师李颖北京市东城区教师研修中心

教学目标

教学目标：

1.经历换底公式的探究，证明过程，初步理解换底公式，并能利用公式实现其他底数的对数的运

算；

2.在换底公式的证明中，体会指数与对数的内在联系，提升转化与化归思想方法的认识与应用；

3.利用换底公式完成对数计算中，感受对数运算的意义，提升数学运算的素养.

教学重点：换底公式的认识和初步应用。

教学难点：换底公式的推导

教学过程

时间教学环节主要师生活动

1分

一.确复

钟问题1：请回忆对数的运算性质

习回顾

如果a0,且a1，M0,N0,那么

（1）loga(MN)logMlogN；

M

loglogMlogN

（2）aN;

二．探索

（3）n

logaMnlogaM(nR).

新知

5分

【教师讲解】

钟

数学史上,人们经过大量的努力,制作了常用对数表和自然对数表,只

要通过表就能求出任意正数的常用对数或自然对数,现在,利用计算工具,

也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数,这样,如果能将其他底

的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数。

探究：

（１）利用计算工具求ln2，ln3的近似值；

（２）根据对数的定义，你能利用ln2，ln3的值

求的值吗？

log23

【师生互动】需要将此式进行变形，请问变形的方向是什么呢？

根据要求，我们要构造ln2和ln3，需要把2或3分离出来。

设，则x，我们就可以把3分离出来了

log23x23

于是ln2xln3，即xln2ln3，这样就出现已知中的ln3和ln2了。

ln3

则xlog31.585.

2ln2

3．根据对数的定义，你能用和来表示(且

logcalogcblogaba0

a1;b0;c0且c1)吗？

类比上述变形过程，由特殊到一般进行推导

设，则x，

logabxab

于是x，即，则

logcalogcbxlogcalogcb

logb

c，且；；且

logab(a0a1b0c0c1)

logca

对数的换底公式

问题：你可以用自然语言描述吗？

一个对数的值等于两个同底的对数的商，其中分子是真数的对数，

分母是以原对数的底数为真数的对数。（真数在上去分子，底数在下去分

母）。逆应用时，可以将同底的两个对数的商转化为一个对数值。

思考：能利用，表示吗？

lg2lg3log23

lg3

可以利用换底公式log31.585.

2lg2

log3?

思考：log23

log3?

也可以换为以任意大于零且不等于１的实数为底的对数。比如，可

以换位以３为底的对数，看看能得到什么结果？

应用1求值:：

log23log34log45log52

三．应用追问：猜想=？并证明

logablogbclogca

举例

你还能得到哪些结论？

应用2：在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，

我们得到y1.11x的关系，如果求经过多少年B地

景区的游客人次是2001年的2倍，该如何计算呢？

解：在此问题中，其实就是计算的值。由换底公式，可得

xlog1.112

lg2

xlog2

1.11lg1.11

lg2

利用计算工具，可得x6.647

lg1.11

由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍。

类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年份

应用2：尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对

地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏

震级M之间的关系为lgE4.81.5M.2011年3月11日，日本东北部海域

发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川

发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？

[教师讲解]

思考：本题的研究求解对象是什么?如何将此对象与已知条件建立关系?

答;这是关于地震的能量与里氏震级之间关系的问题。

本题的求解对象是地震释放能量的倍数,即E的比值,条

件中的E存在于常用对数的真数位置,若对此比值取常用对

数,可借助对数运算性质转化为各自对数之差的形式.

解：

19.08.0.

法：设里氏级和级地震的能量分别E1和E2

由lgE4.81.5M,

可得lgE14.81.59.0，lgE24.81.58.0

E1

于是lglgE1lgE2

E2

(4.81.59.0)(4.81.58.0)1.5

E

利用计算工具可得，1101.532。

E2

法2：9.08.0.

设里氏级和级地震的能量分别E1和E2

由lgE4.81.5M,

可得lgE14.81.59.0，lgE24.81.58.0

4.81.59.0，4.81.58.0

E110E210

E

利用计算工具可得，1101.532。

E2

虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级,但前者释放出来

的能量却是后者的约32倍.

想一想：为什么两次地震的里氏震级仅差1级,为何释放出来的能量却相

差那么多呢？

地震中能量是很大的数值，进行对数运算后其数值就变得非

常小。这其实相当于把指数幂运算中幂的结果反映在指数

上，也就是说，在以10为底的指数幂运算中，指数每增加

1，其幂的值就是原来的10倍；每增加2，其幂的值就是

原来的100倍；

10x11010x，10x210010x

反之，在以10为底的对数运算中，真数是原来的10倍，对

数值就增加1；真数是原来的100倍，对数值就增加2.

lg(1010x)1lg10x，lg(10010x)2lg10x

所以在指数幂运算中，“指数增长”的