高一数学 新人教版(A版) 必修第2册：9.2.2总体百分数的估计（教案）

第九章统计

9.2.2总体百分数的估计

一、教学目标

1.通过学习和应用百分位数，重点培养数据分析素养、数学运算和数学建模素养.

2.掌握求一组数据的百分位的基本步骤：

3.通过对总体百分数的估计的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。

二、教学重难点

1.理解百分位数的概念及其简单应用

2.求样本数据的第p百分位数.

三、教学过程：

（1）创设情景

阅读课本，完成下列填空。

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有________

的数据小于或等于这个值，且至少有_________的数据大于或等于这个值.

（2）新知探究

问题1:计算一组n个数据的第p百分位数有哪些具体步骤?

学生回答,教师点拨并(提出本节课所学内容)

（3）新知建构

第p百分位数的定义

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据

小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.

计算第p百分位数的步骤

第1步，按从小到大排列原始数据.

第2步，计算i＝n×p%.

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据；

若i是整数，则第p百分位数为第项与第(i+1)项数据的平均数.

（4）数学运用

例1.现有甲、乙两组数据如下表所示．

序

1234567891011121314151617181920

号

甲

1222233355668891010121313

组

乙

00001123456677101414141415

组

试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．

【解析】因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×75%＝15.

x5＋x62＋3

因此，甲组数的25%分位数为＝＝2.5；

22

x15＋x169＋10

甲组数的75%分位数为＝＝9.5.

22

x5＋x61＋1x15＋x1610＋14

乙组数的25%分位数为＝＝1，乙组的75%分位数为＝＝12.

2222

变式训练1:某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通

开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的水电费开支占总开支的百分比为（）

A．12.25%B．16.25%C．11.25%D．9.25%

【答案】B

20045013

【解析】由图2知，水、电支出占水、电、交通支出的比例为，

20045015016

1

由图1知，水、电、交通支出占学校一个学期总开支的比例为，

5

13113

因此，该学期的水电费开支占总开支的百分比为16.25%，故选：B。

16580

变式训练2:从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)

如下：

7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.

(1)分别求出这组数据的第25,75,95百分位数．

(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．

(3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，

依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．

【解析】(1)将所有数据从小到大排列，得

7．8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，

因为共有12个数据，所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4，

8.0＋8.3

则第25百分位数是＝8.15，

2

8.6＋8.9

第75百分位数是＝8.75，

2

第95百分位数是第12个数据为9.9.

(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9.

即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9.

(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15g，第50百分位数为8.5g,第95百分位

数是9.9，所以质量小于或等于8.15g的珍珠为次品，质量大于8.15g且小于或等于8.5g

的珍珠为合格品，质量大于8.5g且小于等于9.9的珍珠为优等品，质量大于9.9g的珍珠为

特优品．

例2.有1个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[12.5,15.5)，6；[15.5,18.5)，16；[18.5,21.5)，18；[21.5,24.5)，22；[24.5,27.5)，20；[27.5,30.5)，

10；[30.5,33.5]，8.

(1)列出样本的频率分布表(含累计频率)．

(2)画出频率分布直方图．

(3)根据频率分布表的累计频率估计样本的90%分位数．

【解析】(1)样本的频率分布表如下：

分组频数频率累计频率

[12.5,15.5)60.060.06

[15.5,18.5)160.160.22

[18.5,21.5)180.180.40

[21.5,24.5)220.220.62

[24.5,27.5)200.200.82

[27.5,30.5)100.100.92

[30.5,33.5]80.081.00

合计1001.00

(2)频率分布直方图如图所示．

(3)由频率分布表的累计频率知，小于30.5的数据所占的比例为92%，所以90%分位数

0.90－0.82

一定在区间[27.5，30.5)内，由27.5＋3×＝29.9，可以估计样本的90%分位数为29.9.

0.92－0.82

变式训练:已知一组数据：125,121,123,125,127,129,125,128,130,129,126,124,125,127,126.则这

组数据的第25百分位数和第80百分位数分别是()

A．125128B．124128

C．125129D．125128.5

【答案】D

【解析】把这15个数据按从小到大排序，可得

121,123,124,125,125,125,125,126,126,127,127,128,129,129,130，由25%×15＝3.75,80%×15＝

12，可知数据的第25百分位数为第4项数据为125，第80百分位数为第12项与第13项数

1

据的平均数，即×(128＋129)＝128.5.

2

例3:某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为

三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过

400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．

(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式．

(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计

分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过

260元的占80%，求a，b的值．

（3）根据(2)中求得的数据a＝0.0015，b＝0.0020.计算用电量的75%分位数．

【解析】(1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；

当200<x≤400时，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60；

当x>400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.

0.5x，0≤x≤200，

所以y与x之间的函数解析式为y＝0.8x－60，200<x≤400，

x－140，x>400.

（2）由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%，

用电量不超过400千瓦时的占80%，

所以75%分位数为m在[300,400)内，

所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75,

解得m＝375千瓦时，

即用电量的75%分位数为375千瓦时．

（3）设75%分位数为m，因为用电量低于30千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100

＝60%，

变式训练:山东省教育厅为了了解和掌握2019年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了

100名考生的数学成绩(单位：分)，将数据分成了11组，制成了如图所示的频率分布表：

分组频数频率

[80,85)10.01

[85,90)20.02

[90,95)40.04

[95,100)140.14

[100,105)240.24

[105,110)150.15

[110,115)120.12

[115,120)90.09

[120,125)110.11

[125,130)60.06

[130,135]20.02

合计1001

(1)求样本数据的第60,80百分位数．

(2)估计2019年高考考生的数学成绩的90%分位数．

【答案】(1)第60百分位数为110，第80百分位数约为