高一数学 新人教版(A版) 必修第2册：6.4.3 （第1课时）余弦定理 （教案）

第六章平面向量及其应用

6.4.3第1课时余弦定理

一、教学目标

1.掌握证明余弦定理的向量方法，熟记公式；

2.掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；

2.掌握余弦定理公式的变式，判别三角形形状；

4.通过对余弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。

二、教学重难点

1.余弦定理的发现和证明过程；

2.余弦定理在解三角形时如何进行边角互化。

三、教学过程：

1、创设情境：

量得岛A与岛C距离为1338m，量得岛A与岛B距离为700m，再利用仪器测出岛A对

岛B和岛C（即线段BC）的张角，最后通过计算求出岛B和岛C的长度.

问题1：此实际问题如何转化为数学问题？

生答：如图，已知：边AB、AC和角Ａ(两条边、一个夹角)，求边BC.

问题2:已知三角形两边分别为b和c,这两边的夹角为A，角A满足什么条件时较易求出第

三边a？

教师就这个问题提出小组探究活动主题

2、探索新知

探究1.在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用b，c和A表示

a？

教师：将数学问题可以先特殊化，A=900，怎么解决？

生答：利用勾股定理。

问题3：你能利用向量证明勾股定理吗？

生答：由BC2BA2AC2想到BCBAAC再平方处理得到。

问题4：勾股定理指出了直角三角形中的三条边之间的关系，如果是斜三角形，三条边之间

的关系又是如何？学生小组活动探讨解决，投影展示学生探讨活动的成果。

利用BCBAAC，两边平方得到a2＝b2＋c2－2bccosA，

二.建构数学

余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦

的积的两倍，即

a2＝b2＋c2－2bccosA，

b2＝a2＋c2－2accosB，

c2＝a2＋b2－2abcosC

探究2：正弦定理结构的最大特点是什么？

等式两边均为齐次式，结构和谐体现了数学的和谐美

问题4：正弦定理里面包含了几个等式？每个等式中有几个量？

生答：3个等式4个量

问题5：使用余弦定理解斜三角形？

应用1：已知两边和一个夹角，求第三边．

例1.在ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A41，求a（角度精准到1，边长精确到

1cm.）

解：由余弦定理，得

a2b2c22bccosA60234226034cos41

所以a41，

1676.78，

变式训练：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C，a12，b6，

3

则求c

解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C，a12，b6，

3

1

可得ca2b22abcos

2

探究3：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，应用余弦定理，我们

可以解决已知两边和一个夹角，求第三边，如果知道了三角形的三边能否确定三角形的角，

怎么确定呢？

b2c2a2a2c2b2b2a2c2

cosAcosBcosc

生答：2bc，2ac，2ba

例2.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2，b3，c13，

则求C。

解：由a2，b3，c13，

a2b2c243133

可得cosC，

2ab2232

5

由0C，可得C

6

变式训练：在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，如果a2，b3，

c4，那么最大内角的余弦值等于()

2211

A．B．C．D．

3334

解：在ABC中，a2，b3，c4，

C是三角形中的最大角，

a2b2c22232421

则cosC，

2ab2234

1

即ABC的最大内角的余弦值为．故选：D．

4

C5

例3.（1）在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝（）

25

A．42B.30

C.29D．25

解：由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB.

2

∴2＝3＋c2－23·c.即c2－6c＋1＝0.

2

6＋26－26＋2

解得c＝或c＝，当c＝时，由余弦定理得

222

6＋2

2

b2＋c2－a22＋2－31

cosA＝＝＝.

6＋2

2bc2×2×2

2

∵0°<A<180°，∴A＝60°，∴C＝75°.

6－2

当c＝时，由余弦定理得

2

6－2

2

b2＋c2－a22＋2－31

cosA＝＝＝－.

6－2

2bc2×2×2

2

∵0°<A<180°，∴A＝120°，C＝15°.

6＋26－2

故c＝，A＝60°，C＝75°或c＝，A＝120°，C＝15°.

22

a

（2）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，则＝

b

________.

a2＋b2－c2a2＋c2－b22a2

解：由余弦定理得bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝a，

2ab2ac2a

a

所以a＝2b，即＝2.

b

1

（3）在△ABC中，若lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lgb－lg，则A＝________.

b＋c

解：由题意可知lg(a＋c)(a－c)＝lgb(b＋c)，

所以(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)．即b2＋c2－a2＝－bc.

b2＋c2－a21

所以cosA＝＝－.

2bc2

又0°<A<180°，所以A＝120°.

Ac－b

（4）在△ABC中，sin2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为

22c

()

A．正三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形