高二数学 新人教版(A版) 选择性必修2：简单复合函数的导数-教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ11SXRA072学科数学年级高二学期一

课题简单复合函数的导数

书名：普通高中教科书数学选择性必修第二册

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教学人员

姓名单位

授课教师于洪伟北京景山学校

指导教师雷晓莉东城区教师研修中心

教学目标

教学目标：掌握复合函数求导法则，会用复合函数求导法则求简单复合函数的导数。

教学重点：运用复合函数求导法则求简单复合函数的导数的过程。

教学难点：记忆复合函数求导法则的公式结构。

教学过程

教学

时间主要师生活动

环节

1.

回

问题1导数的四则运算法则是什么？

顾

旧；

知'''

��±��=��±��；

'''

����=�(�)��+���(�)

'''

������−����

=2��≠0.

����

追问1：如何求函数的导数？

2.

现有方法无法求出它的导数.

新

（1）用定义不能求出极�限=；𝐥(𝟐−�)

课

（2）不是基本初等函数，没有求导公式；

讲

（3）不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算

授

法则解决这个问题.

追问2：函数可以用基本初等函数表示吗？

�=𝐥(𝟐−�)

设，则.

1

所�以=ℎ�=2�−1(�>2可)以看�做=��=ln�

和经过“复合”得到.

即：�=��=ln(2�−1).

�=���=ℎ�

�=��=��=�(ℎ(�))

定义：

一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，

可以表示成的函数，

那么称这个函数为函数�=��和�=ℎ�的复合函数，记作�

�.�

�=���=ℎ��=

�(ℎ(�))

问题2如何求复合函数的导数？

以函数为例，研究其导数.

猜想的导数与函数，的导数有关.

以表�示=对sin2的�导数，表示对的导数，表示对的导数.

可以先�=得s到in2�，�=的s导in数�.�=2�

���

�'�，�.�'���'��

�=sin��=2�

��'=cos���'=2

可以换个角度来求.

�

�''

�

�=sin'2�=(2sin�cos�)'

.=2[sin�⋅cos2�+sin�2⋅(cos�)']

=2[cos�−sin�]

=2cos2�

追问1：观察，，，有什么发现？

'

���

�'=cos��''=2�=2cos2�

��=2cos2�

=2'cos�'

=��⋅��.

追问2：换个函数试试，还能发现类似的结论吗？

以函数为例，研究其导数.

函数可以看作和的复合函数，

以表�示=对𝑙2的�导数，表示对的导数，表示对的导数.

可以先得到�=𝑙，��=2�的导数.

��'����'����'��

，�=𝑙.��=2�

1

��'=���'=2

可以换个角度来求.

�

'�''

��=ln2�=(ln�+ln2)'=(ln�)'+(ln2)'

11

=+0=.

因为，所以.��

'2

�

结合�=2�，�=，�所以，有.

1'

��'=���'=2��=��'⋅��'

复合函数的求导法则

一般地，对于由函数和复合而成的函数

，它的导数与函数和的导数之间的关系为：

�=���=���=

��(�)�=���=��

也可以写成：��'=��'⋅��'..

'

���=�'��⋅�'�

问题3现在可以用复合函数的求导法则求函数的

导数了吗？

函数可以看作函数和�=𝐥的(�复�合−函�)数，

�所=以𝑙(2�−1)�=𝑙��=2�−1

'''122

��=��⋅��=(𝑙�)'⋅(2�−1)'=�×2=�=2�−1.

注意，这里得到的2/u可以作为结果吗？

显然是不合适的，还需要将中间变量u用函数u=2x-1换成x来表示.

例1求下列函数的导数：

（1）；

（2）；3

�=(3−�2�+35)

（3）�=e.

�=ln (�+1)

（1）

解：函数可以看作3和的复合函数.

根据复�合=函(3数�的+求5)导法则3，有

�=��=3�+5

���

�'3=�'⋅�'

.=(�2)'⋅(3�+52)'

2=3�×3=9�

=9(3�+5)

（2）

−2�+3

�=e

解：函数可以看作和的复合函数.

根据复合函数的求导法则�，有

�=e�=−2�+3

���

��'=�'⋅�'

.=(e�)'⋅(−2�+3)�'

−2�+3=e×−2=−2e

=−2e

（3）

解：函�数=可ln以 (�看+作1)和的复合函数.

根据复合函数的求导法则，有

�=ln��=�+1

��'=��'⋅��'=(ln�)'⋅(�+1)'

111

=×1==.

���+1

追问1：你能总结求复合函数的导数的一般步骤吗？

（1）观察函数结构，识别构成复合函数的基本初等函数；

（2）引入中间变量，运用基本初�=等�函�数(的�)求导公式与复合函数的求

导法则运算；

（3）用中间变量关于自变量的函数替换掉中间变量，得到关于自变

量的导数.

追问2：求复合函数的导数时，要注意什么？

（1）计算过程要发挥中间变量的作用，确保准确识别函数结构，

选对求导公式；�=��(�)

（2）最后结果写成关于的函数�，不再出现中间变量.

��

��'=��'⋅��'

'

���=�'��⋅�'�

例2某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：

）与时间（单位：）之间的关系为

�

mm�s

2ππ

求函数在时的导�数=，1并8s解in释(它的�−实际)意.义.

32

问题4�如�何=求3“函数在时的导数”？

可以先求函数��=�的导数，

2ππ

再将代入�导=数18的si解n (析3式�，−求2)出导数值.

�=3

追问1：如何求函数的导数？

���

需要用到复合函数的�求=导�法��则��. (��−�)

追问2：函数可以看作哪两个函数的复合函

���

数？�=𝟏𝐬� (��−�)

，.

2ππ

�=18sin��=3�−2

解：函数可以看作函数与

2ππ2ππ

的复合函�数=，18𝑠� (3�−2)�=18sin��=3�−2

根据复合函数的求导法则，有

'''

��=��⋅��

2ππ

=(18sin�)'⋅(�−)'

32

'2ππ

��=(18sin�)'⋅(�−)'

32

2π

=18cos�×

3

=12πcos�

2ππ

=12πcos(�−).

32

'2ππ

��=12πcos(�−)

当时，32.

'2ππ

�

所以�=，3弹簧振子�在=12π时co的s(瞬3时×速3度−为2)=0.

3s0mm/s

追问3：函数还可以看作哪两个函数的复合函

���

数？�=𝟏𝐬� (��−�)

函数可以化为，

2π

�=−18cos 3�

也可以看作与的复合函数.

2π

�=−18cos��=3�

函数化为，看作和的复合函数，

��2π

有�=−𝟏𝐜� ���=−18cos��=3�

'''2π

��=��⋅��=(−1