高一数学新人教版(A版) 必修第1册：函数y=Asin(ωx+φ)的图象(1)-教学设计

教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ10SXRA060学科数学年级高一学期第一学期

课题函数y=Asin(ωx+φ)的图象（1）

书名：普通高中教科书数学必修第一册A版

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教学人员

姓名单位

授课教师张媛媛北京市第五十中学分校

指导教师李颖北京市东城区教师研修中心

教学目标

教学目标：

1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的现实背景，经历匀速圆周运动的数学建模过程，进一步体会三角函数与现实世界密

切联系；

2.掌握参数φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响，通过信息技术建立并控制参数φ的变化，理解参数φ在圆周运动中

的实际意义，感受数学的应用价值；

3.感受发现问题提出问题的过程，发展数学建模、数学抽象与直观想象的数学素养．

教学重点：

用函数y=Asin(ωx+φ)模型来刻画一般的匀速圆周运动的建模过程；

参数φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响．

教学难点：

数学建模的过程与方法；

参数φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响的研究过程．

教学过程

时间教学环节主要师生活动

引导语：我们知道，单位圆上的点，以（1，0）为起点，以单位速度按逆时

针方向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画．

对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？下面看一个

创设问题情境

2分钟实际问题：

提出研究问题

筒车是中国古代发明的一种灌溉工具，它省时、省力，环保、经济，现代农

村至今还在使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》用图画描绘了筒车的工作原

理．

1

问题1：假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运

动．你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度

与时间的关系吗？

师生讨论：因筒车上盛水筒的运动周而复始，具有周期性，可以考虑用三角

函数模型刻画它的运动规律．

设计意图：首先提出研究一般匀速圆周运动如何用数学模型刻画的问题，引

导从特殊到一般进行提问，渗透了数学源于生活的本质．通过筒车模型引入，体

现数学的实际价值，使学生感受发现问题、提出问题的过程，并尝试分析问题和

解决问题．

问题2：如果将筒车抽象为圆，盛水筒抽象为圆上的点，经过时间ts后，盛

水筒距离水面的高度H与哪些量有关？它们之间有怎样的关系呢？

师生分析：如图，盛水筒距离水面的高度H，由以下量所决定：筒车转轮的

中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω，盛水筒的初始位置

以及所经过的时间．

P0t

以O为原点，以与水面平行的直线为x轴建立直角坐标系．设t=0时，盛水

筒M位于P0，以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，

经过时间t后运动到点P（x,y）．

抽象简化问题

4分钟于是，以Ox为始边，OP为终边的角为t，并且有

建立函数模型

yrsin(t)．①

所以，盛水筒M距离水面的高度H与时间t的关系是

Hrsin(t)h．②

通过筒车运动的研究，我们得到了形如y=Asin(ωx+φ)（其中A0,0）

的函数，实际生活中的很多现象，例如：摩天轮，物理中的单摆等都可以用三角

函数刻画，现代依然有研究的价值．

设计意图：结合筒车问题，建立三角函数的数学模型，表示其上质点的匀速

圆周运动，引出本单元的核心内容；明确参数的实际意义，突出学习函数

y=Asin(ωx+φ)的必要性；让学生经历数学建模全过程，引导学生学会用数学的眼

光看现实世界，用数学的语言描述世界．

引导语：通过筒车运动的研究，我们得到了形如y=Asin(ωx+φ)（其中

A0,0）的函数，只要清楚函数y=Asin(ωx+φ)的性质，就可以把握盛水筒

的运动规律．这个函数由参数A，ω，φ所确定．因此，只要了解这些参数的意义，

明确函数

知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质．

2分钟y=Asin(ωx+φ)

问题3：从解析式看，函数y=sinx就是函数y=Asin(ωx+φ)在A=1，=1，=0

的研究思路

时的特殊情形．能否借助我们熟悉的函数y=sinx的图象与性质研究参数A，ω，φ

对函数y=Asin(ωx+φ)的影响呢？函数y=Asin(ωx+φ)中含有三个不同的参数，你认

为应该按怎样的思路进行研究？

2

师生分析：对于三个不同的参数，相对固定其中两个，仅一个变动；先分

别探讨φ、ω、A对函数图象的影响，再综合．

设计意图:引导学生思考研究问题的一般思路和方法，有助于主动地学习，

学会学习．

问题4：不妨先从研究参数φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响开始，即探究函数

y=sinx与y=sin(x+φ)图象之间的关系．为了更加直观地观察参数φ对函数图象的影

响，借助信息技术进行实验探究．

如图，取A=1，=1，动点M在单位圆上以单位角速度按逆时针方向运动．

（1）如果动点M以Q0为起点（此时=0），经过xs后运动到点P，设点P的纵

坐标y，以（x，y）为坐标描点F，作出点F的轨迹.．

追问：P的纵坐标y等于什么？点F的轨迹对应的函数解析式是什么？

师生分析：y=sinx，点F的轨迹对应的函数解析式是正弦函数y=sinx.

（2）在单位圆上拖动起点Q0，使点Q0绕圆心旋转到Q1，即：起点位于Q1，

6

，你发现图象有什么变化？

6

此时，点P的纵坐标是什么？点F的轨迹对应的函数解析式是什么？

师生分析：此时以Ox为始边，OP为终边的角为x，因此P的纵坐标

6

ysin(x)，点F的轨迹对应的函数解析式是函数ysin(x)．

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（3）时的函数ysin(x)与0时的函数y=sinx的图象之间具有

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探索参数φ对函怎样的关系？你能结合点P的运动规律解释图象间的关系吗？

13分钟数y=sin(x+φ)图

象的影响

在单位圆上的，设两个动点分别以Q0，Q1为起点同时开始运动．

到点P的时间图象上点函数

Q0到PxF(x,y)y=sinx

Q1到P

xG(x,y)ysin(x)

666

这说明，把正弦曲线y=sinx上的所有点向左平移个单位，就得到

6

ysin(x)的图象．

6

（4）如果φ的值取,,，说一说你的发现，并给出合理的解释．

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（5）旋转一个任意角φ呢？通过实验结果，你能归纳出φ对函y=Asin(ωx+φ)的

图象的影响的一般化结论吗？

一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角是φ时，对应的函数是y=sin(x+φ)

3

(0)，把正弦曲线上的所有点向左(当0时)或向右(当0时)平移个单位

长度，就得到函数y=sin(x+φ)的图象．

练习：

1.为了得到函数ysin(x)的图象，只需要将正弦曲线上的所有点

5

（）．

（A）向左平行移动个单位长度

5

（B）向右平行移动个单位长度

5

1

（C）向左平行移动个单位长度

5

1

（D）向右平行移动个单位长度

5

2.将函数ysin(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数

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yg(x)的图象，则yg(x)的解析式是（）．

（A）ysin(x)（B）ysin(x)

66

5

（C）ysin(x)（D）ysin(x)

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设计意图:借助信息技术，探究参数出φ对函数y=Asi