高二数学 新人教版(A版) 选择性必修2：函数的极值与最大（小）值（1）-教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ11SXRA075学科数学年级高二学期第一学期

课题函数的极值与最大（小）值（1）

书名：普通高中教科书数学选择性必修第二册A版

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教学人员

姓名单位

授课教师范方兵北京市第二中学

指导教师雷晓莉北京市东城区教师研修中心

教学目标：

1．了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系.

2．初步掌握求函数极值的方法．

3．体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系．

教学重点：

掌握求函数极值的方法

教学难点：

x=x0是函数y=f(x)的极值点与f′(x0)=0的关系

教学过程

时间环节主要师生活动

在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的

增减，

一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y=f(x)的单调性：

第１步，确定函数的定义域；

第２步，求出导数f′(x)的零点；

新第３步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在

2

课各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性．

分

引一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：

钟

入在某个区间（a，b）上，如果f′(x)＞０，那么函数y=f(x)在区间（a，b）上

单调递增；

在某个区间（a，b）上，如果f′(x)＜０，那么函数y=f(x)在区间（a，b）上

单调递减．

我们自然要问：

问题1如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？

1

１函数的极值

观察下图，我们发现，当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大．那

么，

问题2函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相

应地，导数的正负性有什么变化规律？

放大t=a附近函数h(t)的图象，如图．可以看出，h′(a)＝０；在t=a的附近，

当t<a时，函数h(t)单调递增，h′(t)>0；当t>a时，函数h(t)单调递减，h′(t)<0．

这就是说，在t=a附近，函数值先增（当t<a时，h′(a)>0）后减（当t>a时，

h′(a)<0）．

探

这样，当t在a的附近从小到大经过a时，h′(t)先正后负，且h′(t)连续变化，

15究

于是有h′(a)=0．

分新

问题3对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢？

钟知

如图，函数y=f(x)在x=a，b，c，d，e等点的函数值与这些点附近的函数值

有什么关系？y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x)的导数的正

负性有什么规律？

以x=a，b两点为例，可以发现，函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在

点x=a附近其他点的函数值都小，f′(a)=0；而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0，右

侧f′(x)>0．类似地，函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点

的函数值都大，f′(b)=0；而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．

我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；b叫做

函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称

为极值点，极小值和极大值统称为极值（extremum）．

问题4极大值一定大于极小值吗？

极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质．

2

问题5导数值为0的点一定是函数的极值点吗？

导数值为0的点不一定是函数的极值点．

例如，对于函数f(x)=x3，我们有f′(x)=3x2．

虽然f′(0)=0，但由于无论x>0，还是x<0，

恒有f′(x)>0，即函数f(x)=x3是增函数，

所以0不是函数f(x)=x3的极值点．

一般地，函数y=f(x)在一点的导数值为0是

函数y=f(x)在这点取极值的必要条件，

而非充分条件．

例求函数f(x)=x34x+4的极值.

1

分析：一般地，3可按如下方法求函数y=f(x)的极值，

解方程f′(x)=0，当f′(x0)=0时：

(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；

(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．

解:函数定义域为(∞，+∞).

因为f(x)=x34x+4，所以f′(x)=x24=(x+2)(x2).

知1

23

识令f′(x)=0，解得x=2或x=2.

分

应当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示

钟

用

x(∞，2)2(2，2)2(2，+∞)

f′(x)+00+

单调递增单调递减单调递增

f(x)

284

3

因此，当x=2时，3f(x)有极大值，并且极大值为f(2)=.

28

3

当x=2时，f(x)有极小值，并且极大值为f(2)=.

4

3

函数f(x)=x34x+4的图象如图所示.

1

3

3

小结一般地，我们可以通过如下步骤求函数y=f(x)的极值：

第１步，确定函数的定义域；

第２步，求出导数f′(x)的零点；

第３步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在

各

区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性，进而求出函数的

极值.

下面我们小结一下本节课的学习内容.在之前的学习中，我们利用导数的正负

性来研究函数的单调性，进而又利用导数的零点来研究函数的极值点，体现了

课

2

堂导数的工具性作用.

分

小

钟要提醒同学们的是，要注意判断零点附近导数的正负性有无变化，是怎么

结

变化的，另外，我们还可以利用极值和极值点的定义去进行判断.

在整个探究过程中，我们也体会到了数形结合、化归转化的数学思想.

1.导函数y=f′(x)的图象如图所示．在标记的点中，在哪一点处

(1)导函数y=f′(x)有