2023年湘教版初中数学九年级上册期末考试检测试题及部分答案（共5套）

2023年湘教版数学九年级上册期末考试检测试题及答案（一）一、选择题(每题3分，共24分)1.已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±22．已知函数y＝kx＋b的图象如图所示，则一元二次方程x2＋x＋k－1＝0的根的存在情况是()A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定(第4题)(第7题)(第8题)3．下列各点中，在函数y＝eq\f(12,x)图象上的是()A．(－2，6) B．(3，－4) C．(－2，－6) D．(－3，4)4．为了比较甲、乙两种水稻秧苗谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽取100株，分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙的方差分别是0.32，1.5，则下列说法正确的是()A．甲秧苗出苗更整齐 B．乙秧苗出苗更整齐C．甲、乙出苗一样整齐 D．无法确定甲、乙出苗谁更整齐5．已知反比例函数y＝eq\f(6,x)的图象上有两点A(1，m)，B(2，n)，则m与n的大小关系是()A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能确定6．某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，竖直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为()A．100eq\r(3)m B．50eq\r(2)m C．50eq\r(3)m D.eq\f(100\r(3),3)m7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为()A．3 B．4 C．5 D．68．如图，已知等腰三角形ABC中，顶角∠A＝36°，BD平分∠ABC，则eq\f(AD,AC)的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(5)－1,2) C．1 D.eq\f(\r(5)＋1,2)二、填空题(每题4分，共32分)9．若eq\f(x,y)＝eq\f(2,3)，则eq\f(y,x＋y)＝____________．10．某校在一次期末考试中，随机抽取七年级30名学生的数学成绩进行分析，其中5名学生的数学成绩达90分以上．据此估计该校七年级360名学生中期末考试数学成绩达90分以上的学生约有____________．11．在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝eq\f(12,5)，则sinA＝________．12．某楼盘2017年房价为每平方米10000元，经过两年连续降价后，2019年房价为每平方米8100元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为________________．13．利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为________米．(第13题)(第14题)(第16题)14．如图，△ABO的顶点A在函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q.若四边形MNQP的面积为3，则k的值为________．15．已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0有两个实数根，且满足x1＋x2＝m2，则m的值是____________．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB作n次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA1B1，其边长OA1缩小为OA的eq\f(1,2)，经第二次变换后得到等边三角形OA2B2，其边长OA2缩小为OA1的eq\f(1,2)，经第三次变换后得到等边三角形OA3B3，其边长OA3缩小为OA2的eq\f(1,2)，…，按此规律，经第n次变换后，所得等边三角形OAnBn的顶点An的坐标为(eq\f(1,28)，0)，则n的值是____________．三、解答题(17，18题每题6分，19，20题每题8分，21～24题每题9分，共64分)17．计算：(1)(－1)2021－2－1＋cos60°＋(π－3.14)0；(2)sin45°·tan45°＋tan60°·tan30°－2sin30°·cos45°.18．用适当的方法解下列方程：(1)x2－4x＋3＝0；(2)－x2＋8x＋4＝0.19．如图，A，B是双曲线y＝eq\f(k,x)上的点，点A的坐标是(1，4)，B是线段AC的中点．(第19题)(1)求k的值；(2)求点B的坐标；(3)求△OAC的面积．20．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60<x≤70；B：70<x≤80；C：80<x≤90；D：90<x≤100，并绘制出如下不完整的统计图．(第20题)(1)求被抽取的学生中，成绩在C组的有多少人；(2)所抽取学生成绩的中位数落在________组内；(3)若该校有1500名学生，估计全校这次竞赛成绩在A组的学生有多少人．21．为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A处到E处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为45°，条幅底端E点的俯角为30°，若甲、乙两楼的水平距离BC为21米，求条幅AE的长约是多少米．(结果精确到0.1米，eq\r(3)≈1.732)(第21题)22．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米．(1)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(2)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．23．如图，直线y＝ax＋1与x轴，y轴分别交于A，B两点，与双曲线y＝eq\f(k,x)(x＞0)交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝2，点A的坐标为(－2，0)．(1)求双曲线的表达式；(2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q，C，H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．(第23题)24．将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′的位置，记旋转角为α.连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE.(1)如图①，当α＝60°时，△DEB′的形状为__________________，eq\f(BB′,CE)的值为__________．(2)当0°<α<360°且α≠90°时，①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图②的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出eq\f(BE,B′E)的值．(第24题)答案一、1.已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±2【解答】解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，解得：k＝±4．故选：C．2．C【点拨】根据函数y＝kx＋b的图象可得k＜0，b＜0，在一元二次方程x2＋x＋k－1＝0中，Δ＝12－4×1×(k－1)＝5－4k＞0，则一元二次方程x2＋x＋k－1＝0的根的存在情况是有两个不相等的实数根．3.C4．A【点拨】方差反映一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，∵甲、乙的方差分别是0.32，1.5，即s甲2＜s乙2，∴甲秧苗出苗更整齐．5．A【点拨】∵k＝6＞0，∴在反比例函数y＝eq\f(6,x)中，在每个象限内y随x的增大而减小．∵反比例函数y＝eq\f(6,x)的图象上有两点A(1，m)，B(2，n)，1＜2，∴m＞n.6．A【点拨】根据题意得∠ABC＝30°，AC⊥BC，AC＝100m，在Rt△ABC中，BC＝eq\f(AC,tan∠ABC)＝100eq\r(3)m.7．C【点拨】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝10.∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠C.又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AD,AB)，即eq\f(3,6)＝eq\f(AD,10)，∴AD＝eq\f(3×10,6)＝5.8．B【点拨】设AB＝AC＝m，AD＝x，则CD＝m－x，∵∠A＝36°，BD平分∠ABC，∴∠CBD＝eq\f(1,2)∠ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(180°－36°)＝36°.在△ACB和△BCD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠C＝∠C，,∠A＝∠CBD＝36°，))∴△ACB∽△BCD，∴AC∶BC＝BC∶DC，易知BC＝BD＝DA＝x，∴m∶x＝x∶(m－x)，∴x2＋mx－m2＝0,解得x＝eq\f(\r(5)－1,2)m(已舍去负根)，∴AD∶AC＝eq\f(\r(5)－1,2).二、9.eq\f(3,5)【点拨】∵eq\f(x,y)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(x＋y,y)＝eq\f(x,y)＋1＝eq\f(5,3)，∴eq\f(y,x＋y)＝eq\f(3,5).10．60名【点拨】由题意可得eq\f(5,30)×360＝60(名)．11.eq\f(12,13)【点拨】∵tanA＝eq\f(a,b)＝eq\f(12,5)，设a＝12k，则b＝5k，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝13k，∴sinA＝eq\f(a,c)＝eq\f(12,13).12．10000(1－x)2＝810013．15【点拨】∵AB∥CD，∴△EDC∽△EBA，∴eq\f(CD,AB)＝eq\f(ED,EB)，即eq\f(1.5,AB)＝eq\f(2,2＋18)，∴AB＝15米．14．1815．3【点拨】根据根与系数的关系得x1＋x2＝2m＋3，∵x1＋x2＝m2，∴m2＝2m＋3，解得m＝3或－1.又∵方程有两个实数根，∴[－(2m＋3)]2－4m2≥0，即m≥－eq\f(3,4)，∴m＝3.16．11三、17.解：(1)原式＝－1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋1＝0.(2)原式＝eq\f(\r(2),2)×1＋eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)－2×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)＋1－eq\f(\r(2),2)＝1.18．解：(1)分解因式得(x－1)(x－3)＝0，可得x－1＝0或x－3＝0，解得x1＝1，x2＝3.(2)∵a＝－1，b＝8，c＝4，∴Δ＝64＋16＝80>0，∴x＝eq\f(－8±4\r(5),－2)＝4±2eq\r(5)，则x1＝4－2eq\r(5)，x2＝4＋2eq\r(5).19．解：(1)把(1，4)代入y＝eq\f(k,x)得4＝eq\f(k,1)，解得k＝4.(2)由B是AC的中点可得B点的纵坐标是A点纵坐标的一半，即y＝2，把y＝2代入y＝eq\f(4,x)得2＝eq\f(4,x)，解得x＝2，故点B的坐标为(2，2)．(3)由点A，B的坐标求得直线AB的表达式为y＝－2x＋6，令y＝0，求得x＝3，∴点C的坐标为(3，0)，∴△OAC的面积为eq\f(1,2)×3×4＝6.20．解：(1)∵被抽取的总人数为12÷20%＝60(人)，∴被抽取的学生中，成绩在C组的有60－6－12－18＝24(人)．(2)C(3)估计全校这次竞赛成绩在A组的学生有1500×eq\f(6,60)＝150(人)．21．解：如图，过点D作DF⊥AB于点F.(第21题)在Rt△ADF中，DF＝21米，∠ADF＝45°，∴AF＝DF×tan45°＝21米．在Rt△EDF中，DF＝21米，∠EDF＝30°，∴EF＝DF×tan30°＝7eq\r(3)米．∴AE＝AF＋EF＝21＋7eq\r(3)≈33.1(米)．答：条幅AE的长约为33.1米．22．解：因为围成的矩形一边长为x米，所以其邻边长为(16－x)米．(1)依题意得x(16－x)＝60，即(x－6)(x－10)＝0.解得x1＝6，x2＝10，即当x是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米．(2)不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下：当养鸡场面积为70平方米时，x(16－x)＝70，即x2－16x＋70＝0.因为Δ＝(－16)2－4×1×70＝－24＜0，所以该方程无解．即不能围成面积为70平方米的养鸡场．23．解：(1)把(－2，0)代入y＝ax＋1中，求得a＝eq\f(1,2)，∴y＝eq\f(1,2)x＋1，∵PC＝2，∴P点纵坐标为2，把y＝2代入y＝eq\f(1,2)x＋1，得x＝2，即P(2，2)，把P点坐标代入y＝eq\f(k,x)得k＝4，则双曲线表达式为y＝eq\f(4,x)(x>0)．(2)如图，设Q(m，n)，∵Q(m，n)在双曲线y＝eq\f(4,x)(x>0)上，∴n＝eq\f(4,m)，(第23题)易知B点坐标为(0，1)，∴OB＝1.当△QCH∽△BAO时，可得eq\f(CH,AO)＝eq\f(QH,BO)，即eq\f(m－2,2)＝eq\f(n,1)，∴m－2＝2n，即m－2＝eq\f(8,m)，解得m＝4或m＝－2(舍去)．当m＝4时，n＝1.∴Q(4，1)；当△QCH∽△ABO时，可得eq\f(CH,BO)＝eq\f(QH,AO)，即eq\f(m－2,1)＝eq\f(n,2)，整理得2m－4＝eq\f(4,m)，解得m＝1＋eq\r(3)或m＝1－eq\r(3)(舍去)，当m＝1＋eq\r(3)时，n＝2eq\r(3)－2，∴Q(1＋eq\r(3)，2eq\r(3)－2)．综上，Q(4，1)或Q(1＋eq\r(3)，2eq\r(3)－2)．24．解：(1)等腰直角三角形；eq\r(2)(2)①仍然成立．证明：连接BD.∵AB＝AB′，∠BAB′＝α，∴∠B′AD＝α－90°，∠AB′B＝90°－eq\f(α,2).∵AD＝AB′，∴∠AB′D＝135°－eq\f(α,2).∴∠EB′D＝∠AB′D－∠AB′B＝45°.∵DE⊥BB′，∴∠EDB′＝45°＝∠EB′D.∴△DEB′是等腰直角三角形．∴eq\f(DB′,DE)＝eq\r(2).∵四边形ABCD为正方形，∴eq\f(BD,CD)＝eq\r(2)，∠BDC＝45°.∴eq\f(BD,CD)＝eq\f(DB′,DE)，∠EDB′＝∠BDC，∴∠B′DB＝∠EDC.∴△B′DB∽△EDC.∴eq\f(BB′,CE)＝eq\f(BD,CD)＝eq\r(2).②eq\f(BE,B′E)的值为3或1.2023年湘教版数学九年级上册期末考试检测试题（二）一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.从−1，0，2，−0.3，π，13中任意抽取一个数．下列事件发生的概率最大的是(

)A.抽取正数 B.抽取非负数 C.抽取无理数 D.抽取分数2.如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，D的坐标为D(2,0)，若点B的坐标为(6,0)，则S△ODC：S△OBA为(

)A.1：2B.1：3C.1：9D.2：33.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点.若∠AEF=90∘，则一定有(

)A.△AEF∽△ABFB.△ABF∽△ECFC.△ADE∽△AEFD.△ADE∽△ECF4.将抛物线y=x2−2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为(

)A.y=(x−1)2+4C.y=(x+2)2+65.若两个相似五多边形的面积比为9：64，则它们的周长的比是(

)A.8：3B.3：8C.9：64D.64：96.已知点A(−1,m)，B(1,m)，C(2,m−n)(n>0)在同一个函数的图象上，这个函数可能是(

)A.y=xB.y=−2xC.y=x7.如图，点A，B，C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若∠DCE=40∘，则∠ACB的度数为(

)A.140∘ B.70∘ C.110∘8.如图，AB为等腰直角三角形ABC的斜边(AB为定长线段)，O为AB的中点，P为AC延长线上的一个动点，线段PB的垂直平分线交线段OC于点E，交PB于点D，当P点运动时，给出下列四个结论： ①E为△ABP的外心; ②∠PEB=90∘; ③PC⋅BE=OE⋅PB; ④2A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（本大题共8小题，共24分）9.从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为

．10.秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为

．11.若点P(a,b)在抛物线y=−2x2+2x+1上，则a−b的最小值为______12.用一条足够长且宽相等的纸条打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC=

度.13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD=34，AB=5，那么CD的长是14.如图，四边形ABCD∽四边形GFEH，且∠A=∠G=70∘，∠B=60∘，∠E=120∘，DC=24，HE=18，HG=21，则∠F=

，∠D=

，AD=15.如图，CD=3BD，AF=FD，则AE:AC=

．16.在一个不透明的袋子中，装有红球和白球共20个，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色，再把它放回袋子中，不断重复试验，统计结果显示，随着试验次数越来越大，摸到红球的频率逐渐稳定在0.3左右，则据此估计袋子中有白球

个.三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD2=BD⋅CD，记△ADB的面积为S(1)求证：△ADB∽△CDA；(2)若S△ADB：S△CDA=1：4，求18.(本小题8分)在△ABC中，AB= 6，BC=4，B为锐角且cos B =(1)

求∠B的度数．(2)求△ABC的面积．(3)求tanC.19.(本小题8分)如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．(1)求证：∠CAD=∠ABC；(2)若AD=6，求CD的长．20.(本小题8分)已知线段a、b、c满足a3=b(1)求a、b、c的值；(2)若线段x是线段a、6b的比例中项，求x．21.(本小题8分)某卫视曾播出一期“辨脸识人”的节目，参赛选手以家庭为单位，每组家庭由爸爸、妈妈和宝宝3人组成，爸爸、妈妈和宝宝分散在三块区域，选手需在宝宝中选一个宝宝，然后分别在爸爸区域和妈妈区域中正确地找出这个宝宝的父母，不考虑其他因素，仅从数学角度思考，已知在某期比赛中有A、B、C三组家庭参加比赛．(1)求选手选择A组家庭的宝宝时，在妈妈区域中正确找出其妈妈的概率;(2)如果任选一个宝宝(假如选A组家庭)，通过列表或画树状图的方法，求选手至少正确找对宝宝父母其中一人的概率．22.(本小题8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接(1)求BE的长;(2)求△ACD外接圆的半径．23.(本小题8分)如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=5，AC=3.连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．(1)求证：∠CAD=∠CBA．(2)求EF：FD的值．24.(本小题8分)学校草坪上安装了一个插地式可升降喷水器，喷出的水柱呈抛物线．如图1，以喷水器安装点O为原点，水平方向为x轴建立直角坐标系．在喷水器升降过程中，水柱形状保持不变，洒水半径OA随着喷头距离地面高度ℎ的变化而变化．当喷头B距离地面高度为0.2 m时，喷出的水柱在到O点水平距离1 m处达到最高，高度为0.6 m．(1)求此时喷水器的洒水半径．(2)如图2，距喷水器安装点2 m处有一圈宽度为1 m的环形花卉区，若要对花卉区进行喷水(包括边界)，求喷头B距离地面高度ℎ的运动变化范围．25.(本小题8分)已知两个函数：y1=ax(1)求证：y1，y2的图象均经过点(2)当a>0，−2≤x≤2时，若y=y2−(3)当a>0，x<2时，比较函数值y2023年湘教版数学九年级上册期末考试检测试题及答案（三）一、选择题(每题3分，共30分)1．已知非零实数a，b，c，d满足eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，则下列关系中成立的是()A.eq\f(a,d)＝eq\f(c,b) B.eq\f(a,c)＝eq\f(b,d) C．ac＝bd D.eq\f(a＋1,b)＝eq\f(c＋1,d)2．下列结论中正确的是()A．sin60°＝eq\f(1,2)B．tan60°＝eq\r(3)C．sin45°＝eq\f(\r(3),2)D．cos30°＝eq\f(1,2)3．若反比例函数的图象经过点(2，－2)，(m，1)，则m的值为()A．1 B．－1 C．4 D．－44．某种植基地2019年蔬菜产量为80吨，预计2021年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为()A．80(1＋x)2＝100 B．100(1－x)2＝80C．80(1＋2x)＝100 D．80(1＋x2)＝1005．已知k1＞0＞k2，则函数y＝k1x和y＝eq\f(k2,x)在同一平面直角坐标系中的图象大致是()6．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为点D，CD＝1，则AB的长为()A．2 B．2eq\r(3) C.eq\f(\r(3),3)＋1 D.eq\r(3)＋17．李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期．收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表：序号12345678910质量/千克14212717182019231922据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克30元．用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别为()A．200千克，6000元 B．1900千克，57000元C．2000千克，60000元 D．1850千克，55500元8．已知反比例函数y＝eq\f(ab,x)，当x＞0时，y随x的增大而增大，则关于x的方程ax2－2x＋b＝0的根的情况是()A．有两个正根 B．有两个负根C．有一个正根和一个负根 D．没有实数根9．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值为()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,3) D.eq\f(\r(2),3)10．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是()A．3s或4.8sB．3sC．4.5sD．4.5s或4.8s二、填空题(每题3分，共24分)11．方程(x－2)(x－3)＝6的解为____________．12．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA＝eq\f(\r(3),2)，cosB＝eq\f(1,2)，则∠C＝________．13．某学校为了解学生课间体育活动情况，随机抽取本校100名学生进行调查，整理收集到的数据，绘制成如图所示的统计图．若该校共有800名学生，则估计喜欢“踢毽子”的学生有________名．14．如图，△ABC中，E，F分别是AB，AC上的两点，且eq\f(AE,EB)＝eq\f(AF,FC)＝eq\f(1,2)，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为________．15．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为________m．(结果保留整数，eq\r(3)≈1.73)16．如图，在▱ABCD中，过点B的直线与AC，AD及CD的延长线分别相交于E，F，G.若BE＝6，EF＝2，则FG等于________．17．已知关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x21＋x22＜a2＋b2.则正确结论的序号是________．18．关于x的反比例函数y＝eq\f(a＋4,x)的图象如图所示，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．在△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B.若△PAB的面积大于12，则关于x的方程(a－1)x2－x＋eq\f(1,4)＝0的根的情况是______________．三、解答题(19，20题每题8分，22，23题每题10分，21，24题每题15分，共66分)19．计算或解方程：(1)tan260°＋4sin30°·cos45°－(2021－π)0；(2)2x2－3x－9＝0.20．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y＝eq\f(k,x)与直线y＝－x＋(k＋1)在第四象限的交点，AB⊥x轴于B，且S△ABO＝eq\f(3,2).(1)求双曲线和直线的表达式；(2)求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标及△AOC的面积．21．2022年2月4日～20日第24届冬季奥林匹克运动会将在北京市和张家口市联合举行．某校对七年级学生开展了“冬奥会知多少”的调查活动，采取随机抽样的方法进行问卷调查，问卷调查的结果划分为“不太了解”“基本了解”“比较了解”“非常了解”四个等级，对调查结果进行统计后，绘制了如下不完整的条形统计图，已知“基本了解”的人数占抽样调查人数的25%，根据统计图提供的信息，回答下列问题：(1)此次调查抽取了________名学生；(2)补全条形统计图；(3)若该校七年级有600名学生，请估计“比较了解”和“非常了解”的学生共有多少人？22．在水果销售旺季，某水果店购进一种优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克．根据销售情况，发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系．销售量y/千克…34.83229.628…售价x/(元/千克)…22.62425.226…(1)某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量；(2)如果某天销售这种水果获利150元，那么该水果的售价为多少元/千克？23．一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C处出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆C处南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示．(1)求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆的最短距离；(2)若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？24．如图①，点O在线段AB上，AO＝2，OB＝1，OC为射线，且∠BOC＝60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．(1)当t＝eq\f(1,2)时，OP＝________，S△ABP＝________；(2)当△ABP是直角三角形时，求t的值；(3)如图②，当AP＝AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP＝∠B，求证：AQ·BP＝3.答案一、1.B2.B3.D4.A5．C点拨：∵k1＞0＞k2，∴函数y＝k1x的图象过第一、三象限，反比例函数y＝eq\f(k2,x)的图象分布在第二、四象限．故选C.6．D7.C8.C9．A点拨：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴△ADF∽△EBF.∴eq\f(AD,EB)＝eq\f(AF,EF)＝eq\f(DF,BF).∵点E是BC的中点，AD＝BC，∴eq\f(AD,EB)＝eq\f(AF,EF)＝eq\f(DF,BF)＝2.设EF＝x，则AF＝2x.易知△ABF∽△BEF，∴eq\f(AF,BF)＝eq\f(BF,EF).∴BF＝eq\r(2)x.∵eq\f(DF,BF)＝2，∴DF＝2eq\r(2)x.在Rt△DEF中，tan∠BDE＝eq\f(EF,DF)＝eq\f(x,2\r(2)x)＝eq\f(\r(2),4).故选A.10．A二、11.x1＝0，x2＝512．60°点拨：∵在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sinA＝eq\f(\r(3),2)，cosB＝eq\f(1,2)，∴∠A＝∠B＝60°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－60°＝60°.13．20014.1615.30016．16点拨：∵AD∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴eq\f(AE,CE)＝eq\f(EF,EB)，又易得△ABE∽△CGE，∴eq\f(BE,GE)＝eq\f(AE,CE)，∴eq\f(BE,GE)＝eq\f(EF,EB).将BE＝6，EF＝2代入，求得EG＝18，∴FG＝EG－EF＝18－2＝16.17．①②18．没有实数根点拨：∵反比例函数y＝eq\f(a＋4,x)的图象在第一、三象限内，∴a＋4＞0，即a＞－4.∵A，P两点关于原点成中心对称，PB∥y轴，AB∥x轴，△PAB的面积大于12，∴2(a＋4)＞12，即a＋4＞6，∴a＞2.∴Δ＝(－1)2－4(a－1)×eq\f(1,4)＝2－a＜0.∴关于x的方程(a－1)x2－x＋eq\f(1,4)＝0没有实数根．三、19.解：(1)原式＝(eq\r(3))2＋4×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)－1＝3＋eq\r(2)－1＝2＋eq\r(2).(2)方法一：因为a＝2，b＝－3，c＝－9，所以b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－9)＝81，所以x＝eq\f(3±\r(81),4)，所以x1＝3，x2＝－eq\f(3,2).方法二：原方程可化为(x－3)(2x＋3)＝0，所以x1＝3，x2＝－eq\f(3,2).20．解：(1)设A点的坐标为(x0，y0)，∵S△ABO＝eq\f(3,2)，∴eq\f(1,2)|x0y0|＝eq\f(3,2)，∴|k|＝3，k＝±3.∵A点在第四象限内，∴k＝－3.∴双曲线的表达式为y＝－eq\f(3,x)，直线的表达式为y＝－x－2.(2)联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(3,x)，,y＝－x－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－3，,y1＝1，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝1，,y2＝－3.))∴A点的坐标为(1，－3)，C点的坐标为(－3，1)．设直线AC与y轴交于点D，则D点的坐标为(0，－2)，则S△AOC＝S△AOD＋S△COD＝eq\f(1,2)×2×1＋eq\f(1,2)×2×3＝4.21．解：(1)40(2)如图所示：(3)估计“比较了解”和“非常了解”的学生共有600×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,40)＋\f(11,40)))＝390(人)．22．解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.将(22.6，34.8)，(24，32)代入y＝kx＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(22.6k＋b＝34.8，,24k＋b＝32，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝80，))∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋80.当x＝23.5时，y＝－2x＋80＝33.答：当天该水果的销售量为33千克．(2)根据题意得(x－20)(－2x＋80)＝150，解得x1＝35，x2＝25.∵20≤x≤32，∴x＝25.答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该水果的售价为25元/千克．23．解：(1)如图，过点C作南北方向线l，作CD⊥AB于D点，根据垂线段最短可知线段CD的长是从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆的最短距离．由题意知，∠1＝30°，AB∥l，所以∠A＝∠1＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2000米，所以CD＝eq\f(1,2)AC＝1000米．答：这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆的最短距离为1000米．(2)由(1)可知CD＝1000米．由题意知，∠2＝45°，所以∠B＝∠2＝45°.在Rt△BCD中，BC＝eq\r(2)CD＝1000eq\r(2)米．设这名徒步爱好者从雁峰公园返回宾馆用了x分钟，根据题意，得100x＝1000eq\r(2).解得x＝10eq\r(2).因为10eq\r(2)<15，所以这名徒步爱好者在15分钟内能到达宾馆．24．(1)1；eq\f(3\r(3),4)(2)解：①∵∠A＜∠BOC＝60°，∴∠A不可能是直角．②如图①，当∠ABP＝90°时，∵∠BOC＝60°，∴∠OPB＝30°.∴OP＝2OB，即2t＝2.∴t＝1.③如图②，当∠APB＝90°时，作PD⊥AB，垂足为D，则∠ADP＝∠PDB＝90°.∵OP＝2t，∠BOP＝60°，∴OD＝t，PD＝eq\r(3)t，∴AD＝2＋t，BD＝1－t.BP2＝(1－t)2＋3t2，AP2＝(2＋t)2＋3t2.∵BP2＋AP2＝AB2，∴(1－t)2＋3t2＋(2＋t)2＋3t2＝9，即4t2＋t－2＝0.解得t1＝eq\f(－1＋\r(33),8)，t2＝eq\f(－1－\r(33),8)(舍去)．综上，当△ABP为直角三角形时，t＝1或eq\f(－1＋\r(33),8).(3)证明：∵AP＝AB，∴∠APB＝∠B.如图③，作OE∥AP，交BP于点E，∴∠OEB＝∠APB＝∠B.∵AQ∥BP，∴∠QAB＋∠B＝180°.∵∠3＋∠OEB＝180°，∴∠3＝∠QAB.∵∠AOC＝∠2＋∠B＝∠1＋∠QOP，∠B＝∠QOP，∴∠1＝∠2.∴△QAO∽△OEP.∴eq\f(AQ,EO)＝eq\f(AO,EP)，即AQ·EP＝EO·AO.∵OE∥AP，∴△OBE∽△ABP.∴eq\f(OE,AP)＝eq\f(BE,BP)＝eq\f(BO,BA)＝eq\f(1,3).∴OE＝eq\f(1,3)AP＝1，BP＝eq\f(3,2)EP.∴AQ·BP＝AQ·eq\f(3,2)EP＝eq\f(3,2)AO·OE＝eq\f(3,2)×2×1＝3.2023年湘教版数学九年级上册期末考试检测试题及答案（四）一、选择题1．函数中，自变量的取值范围是()A. B.C.的一切实数D.取任意实数2．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是()A．6 B．5 C．4 D．33．在Rt△ABC中，cosA＝eq\f(1,2)，那么sinA的值是()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),2) C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,2)4．已知一组数据：3，4，5，6，5，7.那么这组数据的方差是()A． B． C． D．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACO＝30°，则∠B的度数是()A．30° B．45° C．60° D．75°6．若将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为()A．（－3，1）B．（3，1）C．（2，2）D．（－3，－3）7．一元二次方程有两个相等实根，则的值为()A．－1B． C．，D．，8．下列五个命题：①过弦的中点的直线必过圆心；②相等的圆心角所对的弧相等；③弦的垂线平分线平分弦所对的弧；④若圆的一弦长等于圆半径，则其所对的圆周角是30°；⑤三点可以确定一个圆．其中是真命题有()A．1个 B．2个 C．0个 D．3个9．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和一边上的高的比为()A．1∶eq\r(2)∶eq\r(3)B．1∶2∶eq\r(3)C．1∶eq\r(3)∶2D．1∶2∶310．如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为()A.5cm B.10cmC.20cm D.5πcm11．如图，E、F分别是平行四边形ABCD边BC、CD的中点，AE、AF交BD于点G、H，若△AGH的面积为1，则五边形CEGHF的面积是（）A．1 B．2C．3 D．412.已知二次函数的图象如图，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是()A．0B．1C．2D．3二、填空题(本大题共6题，每小题3分，共18分，请将答案填在题中的横线上)13．抛物线的对称轴是．14．已知是关于的一元二次方程，则＝．15．已知⊙O半径为5，点O到直线的距离为3，则直线与⊙O的位置关系为．16．如图，等边三角形OAB的一边OA在轴上，函数在第一象限内的图象经过OB边的中点C，则点B的坐标是．17．如图，已知△OAB是等腰直角三角形，OA＝OB＝，点E是AB上一点，且∠AOE＝15°，以O为圆心，OE的长为半径画弧，与△OAB的三边分别交于点C、F、D，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）．18．如图，抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y正半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP．①点E在⊙M的内部；②CD的长为；③若P与C重合，则∠DPE＝15°；④在P的运动过程中，若AP＝，则PE＝4．其中正确结论的个数是．三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．(本题满分10分，每小题5分)(1)计算：(2)解方程：20．（本题满分5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规作出该三角形的内切圆（不写作法，保留作图痕迹）．21.（本题满分6）如图，已知一次函数的图象与轴轴分别交于点A、B，与反比例函数的图象分别交于点C、D，且C点的坐标为（-1，2）．（1）分别求出一次函数及反比例函数的关系式；（2）求出点D的坐标并直接写出的解集．22．（本题满分8）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩(成绩x取整数，总分100分)作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：频数频率分布表成绩x(分)频数（人）频率50≤x＜60100.0560≤x＜70300.1570≤x＜8040n80≤x＜90m0.3590≤x≤100500.25根据所给信息，解答下列问题：（1）＝，＝；（2）补全频数分布直方图；（3）若成绩在90分以上（包括90分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的约有多少人？23．（本题满分8分）为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室，经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需要集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了（其中），则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了，求的值．24．（本题满分8分）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝4，BC＝2，求DE的长．25．（本题满分11分）如图，直线与轴、轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接PB、PC，求△PBC的面积；（3）连接AC，在轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．26．（本题满分10分）如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF＝AB．（1）求证：EF⊥AG；（2）若点F、G分别在线段AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立，请说明理由？（3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，EF与AG交点为O，当S△PAB＝S△OAB，求△PAB周长的最小值．2023年湘教版数学九年级上册期末考试检测试题及答案（五）一．根的判别式（共2小题）1．（2022•怀化）下列一元二次方程有实数解的是（）A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝02．（2020•怀化）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±2二．根与系数的关系（共1小题）3．（2021•怀化）对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则该方程根的情况为（）A．没有实数根 B．两根之和是3 C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根三．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）4．（2020•怀化）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则An的坐标为．四．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）5．（2022•怀化）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（）A．8 B．9 C．10 D．116．（2020•怀化）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示，则当y1＞y2时，自变量x的取值范围为（）A．x＜1 B．x＞3 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3五．二次函数的应用（共1小题）7．（2021•怀化）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：进货批次A型水杯（个）B型水杯（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？六．二次函数综合题（共3小题）8．（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．9．（2021•怀化）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．10．（2020•怀化）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标．（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．七．几何体的展开图（共1小题）11．（2021•怀化）下列图形中，可能是圆锥侧面展开图的是（）A． B． C． D．八．圆周角定理（共1小题）12．（2022•怀化）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：（1）AC＝BD；（2）△ABE∽△DCE．九．切线的性质（共1小题）13．（2022•怀化）如图，AB与⊙O相切于点C，AO＝3，⊙O的半径为2，则AC的长为．一十．切线的判定与性质（共1小题）14．（2021•怀化）如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE＝3cm．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求AD的长．一十一．扇形面积的计算（共1小题）15．（2021•怀化）如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）一十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）16．（2021•怀化）政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为67°和22°，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）．其中sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈17．（2020•怀化）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树m米的A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上，求古树CD的高度．（已知：≈1.414，≈1.732，结果保留整数）一十三．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）18．（2022•怀化）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上．C村在B村的正东方向且两村相距2.4km．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73，≈1.41）一十四．随机事件（共1小题）19．（2021•怀化）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（）A．① B．② C．③ D．④一十五．概率公式（共1小题）20．（2022•怀化）从下列一组数﹣2，π，﹣，﹣0.12，0，﹣中随机抽取一个数，这个数是负数的概率为（）A． B． C． D．一十六．列表法与树状图法（共2小题）21．（2021•怀化）某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成不完整的统计图表．等级频数（人数）频率优秀600.6良好a0.25合格10b基本合格50.05合计c1根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝，c＝；（2）补全条形统计图；（3）该学校共有1600名学生，估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？（4）在这次测试中，九年级（3）班的甲、乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀”，现班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期“禁毒”知识的黑板报，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率．22．（2020•怀化）为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：（1）本次被抽查的学生共有名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为度；（2）请你将条形统计图补全；（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．参考答案与试题解析一．根的判别式（共2小题）1．（2022•怀化）下列一元二次方程有实数解的是（）A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝0【解答】解：A．∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×1＝﹣7＜0，∴方程2x2﹣x+1＝0没有实数根；B．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，∴方程x2﹣2x+2＝0没有实数根；C．∵Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴方程x2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根；D．∵Δ＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，∴方程x2+2＝0没有实数根．故选：C．2．（2020•怀化）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±2【解答】解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，解得：k＝±4．故选：C．二．根与系数的关系（共1小题）3．（2021•怀化）对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则该方程根的情况为（）A．没有实数根 B．两根之和是3 C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝4，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0没有实数根．故选：A．三．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）4．（2020•怀化）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则An的坐标为（2，0）．【解答】解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，∴B1C＝OC，设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，t），把B1（t，t）代入y＝得t•t＝，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），∴OA1＝2OC＝2，∴A1（2，0），设A1D的长度为m，同理得到B2D＝m，则B2的坐标表示为（2+m，m），把B2（2+m，m）代入y＝得（2+m）×m＝，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍去），∴A1D＝，A1A2＝，OA2＝，∴A2（，0）设A2E的长度为n，同理，B3E为n，B3的坐标表示为（2+n，n），把B3（2+n，n）代入y＝得（2+n）•n＝，∴A2E＝，A2A3＝，OA3＝，∴A3（，0），综上可得：An（，0），故答案为：．四．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）5．（2022•怀化）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（）A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：设点B的坐标为（m，），∵S△BCD＝5，且a＞1，∴×m×＝5，解得：a＝11，故选：D．6．（2020•怀化）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示，则当y1＞y2时，自变量x的取值范围为（）A．x＜1 B．x＞3 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3【解答】解：由图象可得，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为1＜x＜3，故选：D．五．二次函数的应用（共1小题）7．（2021•怀化）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：进货批次A型水杯（个）B型水杯（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？【解答】解：（1）设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，根据题意得：，解得：．答：A种型号的水杯进价为20元，B种型号的水杯进价为30元；（2）设超市应将B型水杯降价m元时，每天售出B型水杯的利润为W元，根据题意，得：W＝（44﹣m﹣30）（20+5m）＝﹣5m2+50m+280＝﹣5（m﹣5）2+405，∴当m＝5时，W取得最大值，最大值为405元，答：超市应将B型水杯降价5元时，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）∵设总利润为w元，购进A种水杯a个，依题意，得：w＝（10﹣b）a+9×＝（10﹣6﹣b）a+3000，∵捐款后所得的利润始终不变，∴w值与a值无关，∴10﹣6﹣b＝0，解得：b＝4，∴w＝（10﹣6﹣4）a+3000＝3000，答：捐款后所得的利润始终不变，此时b为4元，利润为3000元．六．二次函数综合题（共3小题）8．（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，可得y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，∵PF∥AB，∴∠PFE＝∠OBC＝45°，∵PE⊥BC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，∵S△PBC＝S△POB+S△POC﹣S△OBC＝×3×（﹣m2+2m+3）+×3×m﹣×3×3＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴m＝时，△PBC的面积最大，面积的最大值为，此时PE的值最大，∵×3×PE＝，∴PE＝，∴△PEF的周长的最大值＝++＝+，此时P（，）；（3）存在．理由：如图二中，设M（1，t），G（m，﹣m2+2m+3）．当BC为平行四边形的边时，则有|1﹣m|＝3，解得m＝﹣2或4，∴G（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），当BC为平行四边形的对角线时，（1+m）＝（0+3），∴m＝2，∴G（2，3），综上所述，满足条件的点G的坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）或（2，3）．9．（2021•怀化）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0）、（0，8），设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，则，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8；（2）存在，理由：当∠CP′M为直角时，则以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似时，则P′C∥x轴，则点P′的坐标为（1，8）；当∠PCM为直角时，在Rt△OBC中，设∠CBO＝α，则tan∠CBO＝＝2＝tanα，则sinα＝，cosα＝，在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，则BM＝＝3，同理可得，MN＝6，由点B、C的坐标得，BC＝＝4，则CM＝BC﹣MB＝，在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，则PM＝＝＝，则PN＝MN+PM＝6+＝，故点P的坐标为（1，），故点P的坐标为（1，8）或（1，）；（3）∵D为CO的中点，则点D（0，4），作点C关于函数对称轴的对称点C′（2，8），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣4），连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，理由：G走过的路程＝DE+EF+FC＝D′E+EF+FC′＝C′D′为最短，由点C′、D′的坐标得，直线C′D′的表达式为y＝6x﹣4，对于y＝6x﹣4，当y＝6x﹣4＝0时，解得x＝，当x＝1时，y＝2，故点E、F的坐标分别为（，0）、（1，2）；G走过的最短路程为C′D′＝＝2；（4）存在，理由：①当点Q在y轴的右侧时，设点Q的坐标为（x，﹣x2+2x+8），故点Q作y轴的平行线交x轴于点N，交过点C与x轴的平行线于点M，∵∠MQC+∠RQN＝90°，∠RQN+∠QRN＝90°，∴∠MQC＝∠QRE，∵∠ANQ＝∠QMC＝90°，QR＝QC，∴△ANQ≌△QMC（AAS），∴QN＝CM，即x＝﹣x2+2x+8，解得x＝（不合题意的值已舍去），故点Q的坐标为（，）；②当点Q在y轴的左侧时，同理可得，点Q的坐标为（，）．综上，点Q的坐标为（，）或（，）．10．（2020•怀化）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标．（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此时y＝﹣3，故C点坐标为（0，﹣3），又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）；（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1所示：令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或x＝﹣1，∴B（3，0），A（﹣1，0），设直线BC的解析式为：y＝ax+b，将C（0，﹣3），B（3，0）代入直线BC的解析式得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），故Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜n＜3，则＝＝，（其中xQ，xC，xB分别表示Q，C，B三点的横坐标），且QN＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，xB﹣xC＝3，故，其中0＜n＜3，当时，S△BCN有最大值为，此时点N的坐标为（），（3）存在，理由如下：设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3）分情况讨论：①当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由中点坐标公式可知：线段DG的中点坐标为，即，线段BC的中点坐标为，即，此时DG的中点与BC的中点为同一个点，∴，解得，经检验，此时四边形DCGB为平行四边形，此时G坐标为（2，﹣3）；②当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由中点坐标公式可知：线段DB的中点坐标为，即，线段GC的中点坐标为，即，此时DB的中点与GC的中点为同一个点，∴，解得，经检验，此时四边形DCBG为平行四边形，此时G坐标为（4，5）；③当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由中点坐标公式可知：线段DC的中点坐标为，即，线段GB的中点坐标为，即，此时DC的中点与GB的中点为同一个点，∴，解得，经检验，此时四边形DGCB为平行四边形，此时G坐标为（﹣2，5）；综上所述，G点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，5）；（4）存在，理由如下：连接AC，OP，如图2所示：设MC的解析式为：