河南省洛阳市强基联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河南省洛阳市强基联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】，该复数在复平面内对应的点为，位于第三象限．故选：C．2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由解得，所以，所以.故选：C.3.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由正弦定理，代值可得，解得．故选：A．4.中，，则一定是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定【答案】C【解析】因为中，，则，即，，角为钝角，所以三角形为钝角三角形.故选：C.5.已知向量满足，向量与的夹角为，则（）A.12 B.4 C. D.2【答案】C【解析】因为，向量与的夹角为．所以，所以．故选：C．6.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，现测得，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，在点D处测得塔顶A的仰角为，则铁塔的高度为（）A.80米 B.100米 C.112米 D.120米【答案】B【解析】设，由，，，，知，．在中，因，米，由余弦定理，得，解得米．故选：B．7.已知复数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】或.因为或，例如取，此时，不满足或.故选：A．8.已知点P是菱形ABCD所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】由已知可得，可建立如图所示的平面直角坐标系，设，，则，，，，．于是，，，．则，，由，当且仅当时，即点为坐标原点时，等号成立.此时，解得.故选：D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于向量，，，下列说法正确的是（）A. B.若，则C.若，则 D.若，，则【答案】AB【解析】，当且仅当，方向相同或，中至少有一个零向量时等号成立，A正确；当时，，的模与方向均相同，所以，B正确；对于C，和无法比较大小，C错误；因为规定与任何向量都共线，所以当时，与可能不共线，D错误．故选：AB．10.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，，，则符合条件的有且仅有两个B.若，则C.若，则为钝角三角形D.若为锐角三角形，则【答案】BCD【解析】对于A：若，，，由余弦定理得，故符合条件的有且仅有一个，故A错误；对于B：反证法：假设，根据三角形内大边对大角，则，由正弦定理可得，与题干矛盾，故B正确；对于C：若，由正弦定理得，由余弦定理得，故，所以为钝角三角形，故C正确；对于D：若为锐角三角形，则，所以，因为在上单调递增，所以，故D正确．故选：BCD．11.已知函数，则下列说法正确的是（）A. B.当时，C.函数的图象关于点对称 D.当时，【答案】ABD【解析】由，则定义域为，由，则函数为偶函数，当时，，由在上单调递增，在上单调递减，则函数在上单调递增，由，则，由，则，故A正确；当时，易知，由函数在上单调递增，则，故B正确；由函数为偶函数，则图象关于轴对称，故C错误；当时，，由函数在上单调递增，则，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________．【答案】【解析】向量，所以向量在向量上的投影向量的坐标为：.13.若函数的定义域为，则的值域为________．【答案】【解析】因为函数在上单调递减，所以在上单调递增，又函数在上单调递增，所以在上单调递增，所以，所以的值域为.14.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，点D是边CA上的一点，，，则的最小值为________．【答案】【解析】因为，所以，由余弦定理得，又，所以．又，所以，因为，所以有，即，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数满足为纯虚数，．（1）求以及；（2）设，若，求实数的值．解：（1）设，则，由为纯虚数，得①，且，由，得②，由①②解得，验证知，满足题意.所以.（2）由（1）可知，，由，得，整理，得，解得或.故实数的值为1或5.16.已知向量．（1）若，求实数的值；（2）若向量满足且，求向量的坐标．解：（1）由，得，所以，由，得，解得．（2）设，所以，，由，得，所以，①由，得，所以，则，②由①②得，故．17.在中，内角的对边分别为的面积为，且．（1）证明：；（2）若，求．解：（1）因为的面积，又．所以，又．所以．所以．所以，又，所以．（2）因为．所以，所以．所以，所以．18.如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点的一个三等分点，为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）设，求的取值范围．解：（1）依题意，，∴，∴.（2）由已知，因是线段上动点，则令，，又，不共线，根据平面向量基本定理，则有，，在上递增，所以，，，，故的取值范围是．19.记的内角的对边分别为，已知，.（1）求角与；（2）若点为的所在平面内一点，且满足，求的值；（3）若点为的重心，且，求的面积.解：（1）因为，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得.又因为，所以.又