沪科版数学九年级上册全册教案

21.1二次函数

散学

1.掌握二次函数的概念，能识别一个函数是不是二次函数；(重点)

2.能根据实际情况建立二次函数模型.(难点)

一、情境导入

已知长方形窗户的周长为6米，窗户面积为M平方米)，窗户宽为M米)，你能写出y与

x之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？

二、合作探究

探究点一：二次函数的概念

［类型一］二次函数的识别

画EI下列函数哪些是二次函数？

(1»=2-6(2)y=^Z7；

(3)y=2x(l+4x);(4)y=N—(l+x)2.

解析：(1)是二次函数；(2)是分式而不是整式不符合二次函数的定义，故y=._］不是

二次函数：(3)把y=2x(l+4x)化简为y=8f+2x,显然是二次函数；(4))，=/一(1+》)2化简

后变为y=-2%—1,它不是二次函数而是一个一次函数.

解：二次函数有(1)和(3).

方法总结:判定一个函数是否是二次函数常有三个标准:①所表示的函数关系式为整式;

②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2,且函数关系

式中二次项系数不等于0.

［类型二］根据二次函数的定义求待定字母的值

如果函数y=(A+2)xF-2是y关于x的二次函数，则Z的值为多少？

解析：紧扣二次函数定义求解.注意易错点为忽视k+2左0.

F—2=2,k=±2,

解:根据题意知：.k=2.

A+2W0,k¥一2,

方法总结：紧扣定义中的两个特征：①aWO;②自变量最高次数为2的二次三项式加

+fct+c.

［类型三］与二次函数系数有关的计算

(例❸已知一个二次函数，当无=0时，y=0;当x=2时，y=\；当％=—1时，y=1.

乙O

求这个二次函数中各项系数的和.

解析：

求二次函

数中各项

系袤的和

解：设二次函数的表达式为y=ax2+6x+c(aW0).把x=0,y=0；x—2,y—~；x——l,

7=0,,।

1。=土

y=(分别代入函数表达式，得｛4a+28+c=］,解得1人;。，所以这个二次函数的表达式为

a-b+c=\,、c=0.

Io

y=2.所以〃+0+c=:+0+0=5，即这个二次函数中各项系数的和为

OOOO

方法总结：涉及有关二次函数表达式的问题，所设的表达式一般是二次函数表达式的一

般形式>=依2+法+84#0).解决这类问题要根据x,y的对应值，列出关于字母a,b,c

的方程(组)，然后解方程(组)，即可求得a,b,c的值.

探究点二：建立二次函数模型

硒1某商品的进价为每件40元.当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需

降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提下，若

设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元.

(1)请写出y与x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；

(2)当每件商品降价15元时，每星期售出商品的利润为多少元？

解析：根据题意可以知道：实际每件商品的利涧为(60—犬一40),每星期售出商品的数

量为(300+20x),则每星期售出商品的利润为y=(60-x-40)(300+20x)元，化简，注意要求

出自变量x的取值范围.

解：(1)由题意，得：

y=(60—X-40)(300+20x)

=(20-x)(300+20.r)

=-20^+100%+6000,

自变量x的取值范围为0WxW20；

⑵把x=15代入100x+6000得y=3000(元)，即当每件商品降价15元时，

每星期售出商品的利润为3000元.

方法总结：销售利润=单件商品利润X销售数量；单件商品利润=售价一进价.

三、板书设计

,1.概念：一般地，表达式形如y=ar2+bx+c

（a,b,c是常数，且a#0）的函数叫做

x的二次函数，其中x是自变量

2.二次函数的识别

二次函数＜

3.确定二次函数中待定字母的取值（范围）

4.求函数值

5.建立二次函数模型

、6.确定自变量的取值范围

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数

学建模的思想方法.

第21章二次函数与反比例函数

21.1二次函数

教学思路教学目标：

（纠错栏）1.能探索和表示实际问题中的二次函数关系；

2.知道什么是二次函数；

3.能根据实际问题确定自变量的取值范围.

教学重点：二次函数的概念.

预设难点：由实际问题确定函数解析式和自变量的取值范围.

☆预习导航☆

一、链接

1.矩形周长为40m,长为xm,则矩形的面积S=________.

2.出售成本为10元的某种文具盒，若每个售价x元，一天可出售(6-x)个，

那么一天的利润y=__________.

3.上面变量的关系是函数关系吗？

二'导读

1.上面列出的函数关系式有什么特点？

2.一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其

41x是________,a是__>b是______,c是______________.

3.如果不考虑实际问题中的特殊情况，二次函数自变量的取值范围是

☆合作探究☆

1.函数y=(m+2)x'+(m—2)x—3(m为常数).

(1)当m__________时，该函数为二次函数；

(2)当m时，该函数为一次函数.

2.一块长工100m、宽80m的矩形草地，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x

(m)的小路，这时草地面积为y(m3,求y与x的函数关系式，并写出自变

量的取值范围。

☆归纳反思☆

1.二次函数的解析式y=ax2+bx+c(aW0)有哪些特点？

2.上述概念中的a为什么不能是0?

教学思路

(纠错栏)3.对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0?若b=0,则y=__________;

若c=0,贝！|y=__________；若b=0,c=0,贝!]y=______________.

☆达标检测☆

1.下列函数中哪些是二次函数？

(1)y=10r2(2)s=3-2t2y=(x+3)2-x2y=(x-l)2-2

2.如果函数y=kx2+kx+l是二次函数，则k的取值范围—

3.已知一个直角三角形的两直角边的和是10cm。若设其中一条直角边长为

xcm。，则面积s关于x的函数关系式是__________________。

4.某商场今年一月份销售额为50万元，二、三月份平均每月销售增长率为

x,求三月份销售额y与x之间的函数表达式。

21.2二次函数的图象和性质

1.二次函数v=a*2的图象和性质

皴学

i.正确理解抛物线的有关概念；（重点）

2.会用描点法画出二次函数y=^2的图象，概括出图象的特点；（重点）

3.掌握形如>=五的二次函数图象的性质，并会应用；（难点）

4.通过动手操作、合作交流，积累数学活动经验，培养动手能力和观察能力.

皴粤速B

一、情境导入

我们都见过篮球运动员投篮，你知道篮球从出手到落入篮圈内的路线是什么图形吗？它

是如何画出来的？

我们把篮球从出手到落入篮圈内的曲线叫抛物线，你还能举出一些抛物线的例子吗？

二、合作探究

探究点一：二次函数>=加的图象

［类型一］画二次函数v=a/的图象

颓I在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y=%；②③尸一;

%2；④y=一改.根据图象回答下列问题：

（1）这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？

（2）图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？

解析：要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围

是全体实数，故应以原点。为中心，对称地选取x的值，列出函数的对应值表.

解:列表：

-4-3-2-101234

s4.520.500.524.58

y=一-/-8-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5-8

X-2一1.5-1-0.500.511.52

y=2d84.50.500.524.58

y=-2jr2一8-4.5-2-0.50-0.5-2—4.5-8

描点、连线，函数图象如图所示.

(1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y轴；

(2)函数yulr2和y=*的图象有最低点，函数)，=—1和y=—Zr2的图象有最高点,

这些最低点和最高点的坐标都是(0,0).

方法总结：(1)画形如y=ax2(aW0)的图象时，x的值应从最低(或最高)点起左右两边对

称地选取.

(2)连线时，一般按从左到右的顺序将点连接起来，一定注意连线要平滑，不能画成折

线.

(3)抛物线的概念：二次函数y=ax2(a#O)的图象是抛物线，简称为抛物线y=a?.

(4)抛物线的特点：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点——对称轴与抛物线的交点.抛

物线的顶点也是它的最低点或最高点.

［类型二］同一坐标系中两种不同图象的判断

廊01当ab>0时，抛物线丫=元与直线y=ax+b在同一直角坐标系中的图象大致是

)

解析：根据a、b的符号来确定.当tf>0时，抛物线丫=以2的开口向上•.比>0.

.,.直线y=ax+6过第一、二、三象限.当a<0时，抛物线y=ar2的开口向下.ab>0,

b<0....直线y=or+b过第二、三、四象限.故选D.

方法总结：本例综合考查了一次函数y=ox+b和二次函数y="2的图象和性质.因为

在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的”的符号

是否一致入手进行分析.

探究点二：抛物线y="x2的开口方向、大小与系数〃的关系

(例❸如图，四个二次函数图象中，分别对应：①尸加；②尸加；③产,%2；@y—dx1,

则a、b、c、d的大小关系为()

A.a>b>c>d

B.a>b>d>c

C.b>a>c>d

D.b>a>d>c

答案：A

方法总结：抛物线^=加的开口大小由|a|确定，间越大，抛物线的开口越小；越小,

抛物线的开口越大.

探究点三：二次函数的图象与儿何图形的综合应用

的❸已知二次函数丫二以2"/¥。)与直线y=2x—3相交于点A(l,b),求：

(l)a,b的值；

(2)函数的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标；

(3)"MB的面积.

解析：直线与二次函数丫=元的图象交点坐标可利用方程求解，而求的面积，

一般应画出草图进行解答.

解：(I)：,点41,力是直线y=2x-3与二次函数y=or2的图象的交点，.•.点A的坐标

满足二次函数和直线的关系式，

.Jb=aXI2,Ja=-1,

•13=2X1-3,，-U=-l；

(2)由(1)知二次函数为y=一炉，顶点加(即坐标原点)的坐标为(0,0).由一3,

解得xi=l，M=-3,・•・9=-1,工=-9,・••直线与二次函数的另一个交点8的坐标为(一

3,-9)；

(3)如图所示，作轴，轴，垂足分别为C、D,根据点的坐标的意义，可知

MD=3,MC=1,C£)=1+3=4,BD=9,AC=l,・・・S^AM6=S梯形ABOC—S/XACM—

(l+9)X4-1xiXl-|x3X9=6.

方法总结：解答此类题目，最好画出草图，利用数形结合，解答相关问题.探究点四:

二次函数y=ar2的性质

［类型一］二次函数丫=，1的增减性

胸❺作出函数y=一/的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：

(1)在y轴左侧图象上任取两点A(xi，yt),8(x2,m)，使皿«5<0,试比较力与阿的大小;

(2)在y轴右侧图象上任取两点C(X3,对，。。4,以)，使X3>X4>0,试比较”与力的大

小.

解析：根据画出的函数图象来确定有关数值大小比较，是一种比较常用的方法.

解：(1)图象如图所示，由图象可知

(2)由图象可知

方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物

线的草图，进行观察和分析以免解题时产生错误.

［类型二］二次函数\'=依2的最值

阿。已知函数y=(l—〃)口2+〃-4是关于x的二次函数，当〃为何值时，抛物线有最

低点？并求出这个最低点的坐标.这时当x为何值时，y随x的增大而增大？

-4=2,

解：；函数y=(l—〃)田"+”-4是关于x的二次函数，解得〃=2或"

J—

=-3二'抛物线有最低点，1—">0,即3....当x>0时，y随x的增大而增大.

方法总结：抛物线有最低点或最高点是由抛物线y=aK(aW0)的二次项系数〃的符号决

定的；当a>0时，抛物线有最低点；当。<0时，抛物线有最高点.而此题常错误地认为心0

时，抛物线有最低点.正确的答案应为即〃<1时，抛物线有最低点，因为二次项

系数是(1—〃).

探究点五：利用二次函数的图象和性质解题

［类型一］利用二次函数Y="F的性质解题

硒I当机为何值时，函数、=加刖2一%的图象是开口向下的抛物线？当x为何值时，y

随X的增大而增大？这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？

［m<0,

解：由题意，得加应满足，解得,*=一1.当x<0时，y随x的增大而增大.这

个函数有最大值，最大值是0.

方法总结：本题主要考查函数y=，*3W0)的有关性质.当〃>0时，图象开口向上，函

数有最小值0;当。<0时，图象开口向下，函数有最大值0.当a<0且x<0时，y随x的增大

而增大.

【类型二】二次函数Y="F的图象和性质的实际应用

佛陶如图，是一座抛物线形拱桥的示意图，在正常水位时，水面A8的宽为20m,如

果水位上升3m,水面CD的宽为10m.

(1)建立如图所示的坐标系，求此抛物线的函数表达式；

(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥

280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶了lh时，忽然接到

紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时，水

位在C。处，当水位涨到桥拱最高点。时，禁止车辆通行).问：如果货车按原来速度行驶，

能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小

时多少千米？

解：⑴设抛物线的函数表达式为〉=加340),拱桥最高点O到水面CD的距离为hm,

则。(5,-h),B(10,-h-3).

~{1

25a——h,a——T7,i

解得<25，抛物线的函数表达式为〉=一表小

100〃二一〃一3,.25

7[h=\.

(2)水位由CD处涨到最高点O的时间为人0.25=1X)25=4(h),货车按原来速度行驶的

路程为40X1+40X4=20(X280,...货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车速度提

高到xkm/h,即当4x+40Xl=280时，x=60....要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过

60km/h.

方法总结：一般地，求二次函数丫=加的表达式时，只需一个已知点(坐标原点除外)

的坐标即可.而此题由于点8,。的纵坐标未知，故需设出到桥顶的距离作为辅助未

知数.

三、板书设计

'画》=以2图象

图象

)=底图象的形状、特点

‘当x<0时，函数y随x的增大而减小

当第>0时，函数y随x的增大而增大

当x=0时，函数取得最小值，丫最小值=0,

二次函数丫=加的图象和性质V

、且y没有最大值，即

‘当x<0时，函数y随x的增大而增大

I当x>0时，函数)，随x的增大而减小

当x=0时，函数取得最大值，丫故大值=0,

、且y没有最小值，即yWO

教学过程中，强调学生的自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象和性质,

体会数学建模的数形结合的思想方法.

21.2二次函数的图象和性质

1.二次函数片ax2的图象和性质

教学目标

【知识与技能】

使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象，理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.

【过程与方法】

使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验,

培养学生分析、解决问题的能力.

【情感、态度与价值观】

使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好

思维品质.

重点难点

【重点】

使学生理解抛物线的有关概念及性质，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.

【难点】

用描点法画出二次函数丫=2*2的图象以及探索二次函数的性质.

教学过程

一、问题引入

1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么？

(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)

2.画函数图象的一般步骤是什么？

一般步骤乂1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点

(x,y));(3)连线(用平滑曲线).

3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质？

(运用描点法作二次函数的图象，然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)

二、新课教授

【例1】画出二次函数y=x2的图象.

解:⑴列表中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值.

.・・

X•••-3-2-10123

•・・・・・

y9410149

(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).

⑶连线:用平滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=x2的图象，如图所示.

思考:观察二次函数y=x2的图象，思考下列问题：

(1)二次函数y=x2的图象是什么形状？

(2)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么？

(3)图象有最低点吗?如果有，最低点的坐标是什么？

师生活动：

教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象，通过数形结合解决上面的3

个问题.

学生动手画图，观察、讨论并归纳，积极展示探究结果，教师评价.

函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数

的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.

由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称

轴的交点。0)叫做抛物线的顶点，它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴，抛

物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.

【例2】在同一直角坐标系中，画出函数y=x2及y=2x2的图象.

解:分别填表，再画出它们的图象.

・・・・・・

X-4-3-2-101234

y=x2・•・84.520.500.524.58・•・

…

X•••-2-1.5-1-0.500.511.52

y=2x2.・・84.520.500.524.58.・・

12345

思考:函数y=x2、y=2x?的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点？

师生活动：

教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.

学生动手画图，观察、讨论并归纳，回答探究的思路和结果，教师评价.

抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上，顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开

口较窄,y=x2的图象的开口较大.

探究1:画出函数y="2、y="2、y=-2x2的图象，并考虑这些图象有什么共同点和不同点。

师生活动：

学生在平面直角坐标系中画出函数y="2、y=-x2、y=-2x2的图象，观察、讨论并归纳.

教师巡视学生的探究情况，若发现问题，及时点拨.

学生汇报探究的思路和结果，教师评价，给出图形.

抛物线y="2、y=*2、y=-2x2开口均向下,顶点坐标都是(0,0),函数y=-2x2的图象开口最

窄,y=-2的图象开口最大.

探究2:对比抛物线y=x2和y=*2,它们关于x轴对称吗?抛物线丫=2*2和丫=a2呢？

师生活动：

学生在平面直角坐标系中画出函数y=x2和y=-x2的图象，观察、讨论并归纳.

教师巡视学生的探究情况，发现问题，及时点拨.

学生汇报探究思路和结果，教师评价，给出图形.

抛物线y=x2、y=-2的图象关于X轴对称.一般地抛物线丫=2*2和丫=a2的图象也关于X轴对称.

教师引导学生小结(知识点、规律和方法).

一般地，抛物线丫=2*2的对称轴是y轴，顶点是原点.当a>0时，抛物线丫=2乂2的开口向上，顶点

是抛物线的最低点，当a越大时，抛物线的开口越小;当a<0时，抛物线丫=2*2的开口向下，顶点是抛

物线的最高点，当a越大时，抛物线的开口越大.

从二次函数y=ax2的图象可以看出:如果a>0,当x<0时,y随x的增大而减小，当x>0时,y随x的

增大而增大;如果a<0,当x<0时,y随x的增大而增大，当x>0时,y随x的增大而减小.

三、巩固练习

1.抛物线y=-4x2-4的开口向顶点坐标是，对称轴是，当x=

时,y有最________值，是.

【答案】下(0,-4)x=00大-4

2.当mW时,y=(m-l)x2-3m是关于x的二次函数.

【答案】1

3.已知抛物线y=-3x2上两点A(x,-27),B(2,y),则x=,y=.

【答案】-3或3-12

4.抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点坐标为(2,功,则1<=,b=.

【答案】12

5.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴,且经过点(-1,-2),则抛物线的表达式

为.

【答案】y=-2x2

6.在同一坐标系中,图象与y=2x?的图象关于x轴对称的是()

A.y=x2B.y=x2

C.y=-2x2D.y=-x2

【答案】C

7.抛物线y=4x2、y=-2x2,y=x?的图象，开口最大的是()

A.y=x2B.y=4x2

C.y=-2x2D.无法确定

【答案】A

8.对于抛物线y=x2和y=*2在同一坐标系中的位置，下列说法错误的是()

A.两条抛物线关于x轴对称

B.两条抛物线关于原点对称

C.两条抛物线关于y轴对称

D.两条抛物线的交点为原点

【答案】C

四、课堂小结

1.二次函数y=ax2的图象过原点且关于y轴对称，自变量x的取值范围是一切实数.

2.二次函数y=ax2的性质:抛物线丫=2*2的对称轴是y轴，顶点是原点.当a>0时,抛物线y=x2开

口向上，顶点是抛物线的最低点，当a越大时，抛物线的开口越小;当a<0时，抛物线丫=2乂2开口向下,

顶点是抛物线的最高点，当a越大时，抛物线的开口越大.

3.二次函数y=ax2的图象可以通过列表、描点、连线三个步骤画出来.

教学反思

本节课的内容主要研究二次函数y=ax2在a取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念，

再根据图象总结抛物线的有关性质.整个内容分成：(1)例1是基础;(2)在例1的基础之上引入例2,

让学生体会a的大小对抛物线开口宽阔程度的影响;(3)例2及后面的练习探究让学生领会a的

正负对抛物线开口方向的影响;⑷最后让学生比较例1和例2,练习归纳总结.

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

第1课时二次函数7=a/+上的图象和性质

1.会用描点法画出旷=泼+上的图象：

2.掌握形如的二次函数图象的性质，并会应用；（重点）

3.理解二次函数尸”与尸渡+A之间的联系.（难点）

一、情境导入

边长为15cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x（cm）的小正方形铁片，剩下的四方

框铁片的面积y（cm2）与x（cm）的函数关系式是什么？它的顶点坐标是什么？

二、合作探究

探究点一：二次函数）'=加+幺的图象与性质

［类型-］确定Y=aF+4的图象与坐标轴的交点

睡I抛物线丫=炉一4与X轴的交点坐标是.

解析：因为抛物线yn%2—4与x轴的交点纵坐标是0,即y=0,此时/―4=0,解得x

=±2,所以抛物线y=/-4与x轴的交点坐标是（2,0）与（一2,0）.

方法总结：求抛物线与x轴交点坐标时，可利用交点纵坐标为0构造关于x的方程来求

抛物线的横坐标.

［类型二］二次函数［=，/+%增减性判断

»已知点（制，》）,（X2,>2）均在抛物线>=/一1上，下列说法中正确的是（）

A.若％=>2,JJPJXl=X2

B.若为=-X2,则y1=­J2

C.若0<xi〈x2，则yi>y2

D.若xi<%2<0»则y\>y2

解析：如图所示，选项A:若了|=)*则xi=—X2,所以选项A是错误的；选项B:若

x\=~X2,则yi=y2,所以选项B是错误的；选项C:若0<xi〈X2,则在对称轴的右侧，y

随x的增大而增大，则yi〈y2,所以选项C是错误的；选项D：若2V0,则在对称轴

的左侧，y随x的增大而减小，则》>以，所以选项D是正确的.故选D.

［类型三］二次函数v=aF+R的图象与性质的综合

砸1若二次函数y=以2+2的图象经过点(-2,10),则下列说法错误的是()

A.a=2

B.当x<0,y随x的增大而减小

C.顶点坐标为(2,0)

D.图象有最低点

解析：把x=—2,y=10代入'=0^+2可得10=4a+2,所以“=2,抛物线开口向上，

有最低点，当xVO,y随x的增大而减小，所以A、B、D均正确，顶点坐标为(0,2),而

不是(2,0).故选C.

方法总结：抛物线yuaK+WaWO)的顶点为(0,k).

［类型四］在同一坐标系中确定y=aF+A的图象与一次函数的图象

他在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+c的图象大致为

)

解析：当a>0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升；当。<0时，抛物线开

口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A,C,D,故选B.

探究点二：二次函数丫=〃炉+女的平移

［类型—］利用平移确定y=&F+A•的解析式

»已知抛物线丫=以2+。向下平移2个单位后，所得抛物线为、=一3r+2.那么抛物

线的解析式为.

解析：因为抛物线旷=加+。向下平移2个单位后，所得抛物线为)，=一3r+2.所以a

=—3,c—2=2,所以c=4,所以抛物线的解析式为y=-3^+4.

［类型二］确定v="2与尸和+/的关系

触I抛物线y=ax2+c与y=—5/的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0,3),

求抛物线的表达式，它是由抛物线)，=一5/怎样得到的？

解：抛物线y=av2+c与y=—5/的形状大小相同，开口方向也相同，...a=-5.

又•.•其顶点坐标为(0,3),

...y=-5/+3.它是由抛物线y=-5/向上平移3个单位得到的.

方法总结：对于二次函数>=以2的图象来说，向上平移匕|个单位，就在五后面加|c|,

向下平移|c|个单位，就在加后面减|c|.

三、板书设计

二次函数J.顶点坐标、对称轴、开口方向

y^ax2+kI2.抛物线的增减性

的图象和13.平移规律

性质〔4.与一次函数、几何图形综合

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象与性质，体

会数学建模的数形结合思想方法.

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

第1课时二次函数y=aW+k的图象和性质

教学目标：

1、使学生能利用描点法正确作出函数y=ax2+b的图象。

2、让学生经历二次函数y=ax2+bx+c性质探究的过程，理解二次函数y=ax?+b的性

.质及它与函数丫=2*2的关系。

重点难点：

会用描点法画出二次函数y=ax2+b的图象，理解二次函数y=ax2+b的性质，理解函

数y=ax2+b与函数y=ax2的相互关系是教学重点。

正确理解二次函数y=ax2+b的性质，理解抛物线y=ax2+b与抛物线y=ax?的关系是教学

的难点。

教学过程：

一、提出问题

1.二一次函数y=2x2的图象是,它的开口向,顶点坐标是；对称轴是,

在对称轴的左侧，y随x的增大而,在对称轴的右侧，y随x的增大而,函数y

=2*2与*=时，取最值，其最______值是。

2.二次函数y=2x2+l的图象与二次函数y=2x2的图象开口方向、对称.轴和顶点坐标

是否相同？

二、分析问题，解决问题

问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采.取什么方法加以研究？

(画出函数y=2x2和函数y=2x2的图象，并加以比较)

问题2,你能在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=2x2+l的图象吗?

解：⑴列表:

X•・・-3-2-10123・・・

y=x2•・・188202818・・・

y=x2+l・・・199313919・・・

⑵描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

⑶连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y=2x2和y=2x2+l的图象。

问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象

上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？

教师引导学生观察上表，当x依次取一3,-2,一1,0,1,2,3时，两个函数的函数

值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y=2x2+l的函

数值都比函数y=2x2的函数值大lo

教师引导学生观察函数y=2x2+l和y=2x2的图象，先研究点(-1,2)和点(一1,3)、

点(0,0)和点(0,1)、点(1,2)和点(1,3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数

y=2x?+l的图象上的点都是由函数y=2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。

问题4：函数y=2x2+l和y=2x2的图象有什么联系.？

由问题3的探索，可以得到结论：函数y=2x2+l的图象可以看成是将函数y=2x2的图

象向上平移一个单位得到的。

问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗？

让学生观察两个函数图象，说出函数y=2x2+l与y=2x2的图象开口方向、对称轴相同，

但顶点坐标不同，函数y=2x2的图象的顶点坐标是(0,0),而函数y=2x?+l的图象的顶点

坐标是(0,1)。

问题6：你能由函数y=2x2的性质，得到函数y=2x2+l的一些性质吗？

完■■成填空：

当x时，函数值y随x的增大而减小；当x时，函数值y随x的增大而增

大，当x时，函数取得最值，最值丫=.

以上就是函数y=2x2+l的性质。

三、做一做

问题7：先在同一直角坐标系中画出.函数y=2x2-2与函数y=2x?的图象，再作比较，说说

它们有什么联系和区别？

教学要点

让学生发表意见，归纳为：函数y=2x2-2与函数y=2x2的图象的开口方向、对称轴相

同，但顶点坐标不同。函数y=2x2—2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向下平移两个

单位得到的。

问题8：你能说出函数y=2x2—2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函

数的性质吗？

教学要点

1.让学生口答，函数y=2x2-2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0,-

2);

2.分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当x<0时，函数值

y随x的增大而减小；当x>0时，函数值y随x的增大而增大，当x=0时，函数取得最小

值，最小值y=-2。

11

问题9：在同一直角坐标系中。函数丫=一？2+2图象与函数y=-32的图象有什么关

系？

要求学生能够画出函数y=-%2与函数y=一$2+2的草图，由草图观察得出结论：函

数y=-%/3x2+2的图象与函数y=-$2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不

同，函数丫=一$2+2的图象可以看成将函数丫=一32的图象向上平移两个单位得到的。

问题10：你能说出函数丫=一$2+2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

[函数y=—§2+2的图象的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是(0,2)]

问题11：这个函数图象有哪些性质？

1

,让学生观察函数y=-.32+2的图象得出性质：当x<0时，函数值y随x的增大而增

大；当x>0时，函数值y随x的增大而减小；当x=0时，函数取得最大值，最大值y=2。

四、练习：练习1、2、3。

五、小结

1.在同一直角坐标系中，函数y=ax2+k的图象与函数y=ax2的图象具有什么关系？

2.你能说出函数丫=2*2+1<具有哪些性质？

六、作业：1.习题1.(1)

教后反思:

第2课时二次函数y=a(x+/i)2的图象和性质

散学

1.会用描点法画出y=a(x+/z)2的图象；

2.掌握形如y=“(x+/02的二次函数图象的性质，并会应用；(重点)

3.理解二次函数y=a(x+〃)2与>="2之间的联系.(难点)

一、情境导入

涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的

排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过.如图建立直角坐标系，你

能得到函数图象解析式吗？

二、合作探究

探究点一：二次函数y=a(x+/z)2的图象与性质

［类型一］y=q(x+〃)2的顶点坐标

画II已知抛物线y=a(x+/2)2(aWO)的顶点坐标是(-2,0),且图象经过点(一4,2),求

a,h的值.

解：：抛物线y=a(x+/z)2(aW0)的顶点坐标为(-2,0),；.人=2.又：抛物线y=〃(x+2)2

经过点(-4,2),4+2)2=2..'.«=^.

方法总结：二次函数y=a(x+/z)2的顶点坐标为(一/?,0).

［类型二］二次函数v=a(x+/?)2图象的形状

»顶点为(-2,0),开口方向、形状与函数y=的图象相同的抛物线的解析式

为（）

A.y~2（x—2）2B.y=1（x+2）2

C.y=—“x+2）2D.y=一；（无一2）2

解析：因为抛物线的顶点在x轴上，所以可设该抛物线的解析式为y=a（x+/?）2（a：#0）,

而二次函数y=a（x+/2）2（“#：O）与y=~^x2的图象相同，所以。=一；.而抛物线的顶点为（一2,

0）,所以力=2.把a=一：,h=2代入y=a（x+/i）2得y=—；（x+2>.故选C.

方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相

同.

［类型三］二次函数y=a（x+/?）2的增减性及最值

丽对于二次函数y=9（x-1>,下列结论正确的是（）

A.y随x的增大而增大

B.当x>0时，y随x的增大而增大

C.当x=-1时，y有最小值0

D.当x>l时，y随x的增大而增大

解析：因为a=9>0,所以抛物线开口向上，且/?=一1,顶点坐标为（1,0）,所以当x

>1B寸，y随x的增大而增大.故选D.

探究点二：二次函数y=a（x+〃）2图象的平移

［类型一］利用平移确定v=“（x+/?）2的解析式

胸❸抛物线、=加向右平移3个单位后经过点（一1,4）,求a的值和平移后的函数关

系式.

解析：），=加向右平移3个单位后的关系式可表示为y=a（x—3凡把点（一1,4）的坐标

代人即可求得。的值.

解：二次函数>=,4的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y=a（x—

3>,把x=-1,y=4代入，得4=a（—1—3%a=；,...平移后二次函数关系式为尸条一

3）2.

方法总结：根据抛物线平移的规律，向右平移3个单位后，〃不变，括号内应“减去3”；

若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”.

［类型二］确定尸，心+〃）2与y=Q=的关系

而向左或向右平移函数>=一%的图象，能使得到的新的图象过点（一9,一8）吗？

若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由.

解:能，理由如下：

设平移后的函数为尸一条+力）2,

将x=-9,y=-8代入得一8=一氐-9+〃）2,

所以h=5或h=13,

所以平移后的函数为尸一品+5)2或产一条+13)2.

即抛物线的顶点为(一5,0)或(一13,0),所以应向左平移5或13个单位.

［类型三］二次函数丫=，1+/?)2图象的平移与几何