华师大版初中数学九年级下册《26.3实践与探索》同步练习卷

华师大新版九年级下学期

《26.3实践与探索》同步练习卷

一.选择题（共10小题）

1.已知二次函数y=ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下:

x1.11.21.31.41.51.6

y-1.59-1.16-0.71-0.240.250.76

则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件（）

A.1.2<x<1,3B.1.3<x<1.4C.1.4<x<1,5D.1.5<x<1.6

2.如图，已知抛物线%=-2x?+2,直线yz=2x+2,当x任取一值时，x对应的函

数值分别为%、Y2.若yi关丫2，取丫1、丫2中的较小值记为M；若yi=y2,记

M=y1=y2.例如：当x=l时，yi=0,y2=4,yi<y2,此时M=0.下列判断：

①当x>0时，yi>y2；②当x<0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2

的x值不存在；④使得M=1的x值是-工或返.

22

其中正确的个数是（）

3.如图，抛物线yi=ax?+bx+c（aWO）的顶点坐标A（-1,3）,与x轴的一个交

点B（-4,0）,直线y2=mx+n（mWO）与抛物线交于A,B两点，下列结论：

①2a-b=0；②abcVO；③抛物线与x轴的另一个交点坐标是（3,0）；

2

④方程ax+bx+c-3=0有两个相等的实数根；⑤当-4<x<-1时，则y2<yi.

其中正确的是（）

y2

-i”

Yi

B.①③⑤C.①④⑤D.②③④

4.如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m.水面下降:Lm,

水面宽度为()

A.2/gmB.2.C.巫mD.遮m

5.已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表:

有以下几个结论：

①抛物线y=ax2+bx+c的开口向下；

②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1；

③方程ax2+bx+c=0的根为0和2；

④当y>0时，x的取值范围是x<0或x>2；

其中正确的是()

A.①④B.②④C.②③D.③④

6.已知抛物线y=ax?+bx+c(x为任意实数)经过下图中两点M(1,-2)、N(m,

0),其中M为抛物线的顶点，N为定点.下列结论：

①若方程ax?+bx+c=0的两根为Xi，x2(xi<x2),则-IVXIVO,2Vx2V3；

②当x<m时，函数值y随自变量x的减小而减小.

③a>0,b<0,c>0.

④垂直于y轴的直线与抛物线交于C、D两点，其C、D两点的横坐标分别为s、,

则s+t=2.

其中正确的是()

A.①②B.①④C.②③D.②④

7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函

数表达式卜=-12+2纸+1.则下列说法中正确的是()

A.点火后9s和点火后13s的升空高度相同

B.点火后24s火箭落于地面

C.点火后10s的升空高度为139m

D.火箭升空的最大高度为145m

8.已知二次函数y=-x?+2x+m的图象与x轴的一个交点的横坐标是a,且3Va

<4,则关于x的方程-x2+2x+m=0的解在什么范围内()

A.0<Xi<l,3<X2<4B.-l<Xi<0,3<X2<4

C.-2<xi<-1,3<X2<4D.-4<xi<-3,3<x2<4

9.如图，直线I经过点M(3,0),且平行于y轴，与抛物线y=ax2交于点N,

10.如图，抛物线m：y=ax?+b(a<0,b>0)与x轴于点A、B(点A在点B的

左侧），与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180。，得到新的抛物线n,

它的顶点为J,与x轴的另一个交点为上.若四边形AJAiC为矩形，则a,

b应满足的关系式为（）

A.ab=-2B.ab=-3C.ab=-4D.ab=-5

二.填空题（共10小题）

11.已知二次函数y=ax?+bx+c（aWO）的顶点坐标（-1,-3.2）及部分图象（如

图），由图象可知关于x的方程ax?+bx+c=O的两个根分别是xi=1.3和x2=

12.若函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为.

13.平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，建立

直角坐标系，抛物线的函数表达式为丫=-L乂2+L*+三（单位：m）,绳子甩到

最高处时刚好通过站在x=2点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为

m.

14.二次函数y=ax?+bx+c（aWO）的图象如图所示，请直接写出不等式ax?+bx+c

>0的解集.

15.如表是二次函数y=ax2+bx+c(aWO)的自变量x与函数值y的对应关系，一

元二次方程ax2+bx+c=~^~(aWO)的一个解x的取值范围是.

10------------

x6.16.26.36.4

y=ax2+bx+c-0.3-0.10.20.4

16.如图，二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴交于B,C两点(点B在点C的

左侧)，一次函数y=mx+n的图象经过点B(-2,0)和二次函数图象上另一

点A(4,3),若点M在直线AB上，且与点A的距离是它到x轴的距离的逅

2

倍，则点M的坐标.

17.如图，己知函数y=-^■与y=ax?+bx(a>0,b>0)的图象交于点P,点P的

X

纵坐标为1,则关于x的不等式bx+旦〉-ax2的解集为.

X

18.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m,水面下降2m,水

面宽度增加m.

19.如图，分别过点P,（i,0）（i=l、2、…、n）作x轴的垂线，交行&*2的图

]

象于点A“交直线行二x于点&.则111p

2A|D|A2B2

20.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为"蛋圆"，如果一条直

线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图，点A、B、

C、D分别是“蛋圆"与坐标轴的交点，点D的坐标为（0,-3）AB为半圆直径，

半圆圆心M（l,0）,半径为2,则经过点D的"蛋圆”的切线的解析式为.

三.解答题（共29小题）

21.已知二次函数y=-2x?+8x-6,完成下列各题：

（1）写出它的顶点坐标C；

（2）它的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），顶点为C,求SMBC.

22.某商品的进价为每件50元.当售价为每件70元时，每星期可卖出300件,

现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件.在确保

盈利的前提下，解答下列问题：

(1)若设每件降价X元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与X的函数

关系式，并求出自变量x的取值范围；

(2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

23.如图，已知抛物线y=x2-2x-3的顶点为A,交x轴于B、D两点，与y轴交

于点C.

(1)求线段BD的长.

(2)求4ABC的面积.

24.已知抛物线y=2x?+bx+c经过点A(2,-1).

(1)若抛物线的对称轴为x=l,求b,c的值.

(2)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点；

(3)设抛物线顶点为P,若0、A、P三点共线(。为坐标原点)，求b的值.

25.如图，二次函数的图象与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点，交y轴

于点C(0,3),点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象

过点B、D.

(1)求二次函数的解析式；

(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；

(3)若直线与y轴的交点为E,连结AD、AE,求^ADE的面积.

26.自主学习，请阅读下列解题过程.

解一元二次不等式：x2-5x>0.

解：设X?-5x=0,解得:Xi=O,X2=5,则抛物线y=x2-5x与x轴的交点坐标为（0,

0）和（5,0）.画出二次函数y=x2-5x的大致图象（如图所示），由图象可知：

当x<0,或x>5时函数图象位于x轴上方，此时y>0,即X?-5x>0,所以,

一元二次不等式X?-5x>0的解集为：x<0,或x>5.

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的和.（只填序号）

①转化思想②分类讨论思想③数形结合思想

（2）一元二次不等式x2-5x<0的解集为.

（3）用类似的方法解一元二次不等式：X2-2X-3>0.

27.如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0,8）,点C的坐标

为（6,0）.抛物线y=-&?+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.

9

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，

AQ=CP,连接PQ,设CP=m,ZXCPQ的面积为S.

①求S关于m的函数表达式;

②当S最大时，在抛物线y=-lx2+bx+c的对称轴I上，若存在点F,使△DFQ为

9

直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理

由.

28.某公司生产一种产品，每件成本为2元,售价为3元，年销售量为100万件.为

获取更好的效益，公司准备拿出一定资金做广告，通过市场调查发现：每年

投入的广告费用为x（单位：十万元）时，产品的年销售量将是原来的y倍，

同时y又是x的二次函数，且满足的相互关系如下表：

（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润s（单位：

十万元）与广告费x（单位：十万元）的函数关系；

（3）如果公司一年投入的年广告费为10-30万元，问广告费在什么范围内，公

司获得的年利润随广告费的增大而增加？公司可获得的最大年利润是多少？

29.在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x=l的抛物线y=ax2+bx+8过点（-

2,0）.

（1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；

（2）现将此抛物线沿y轴方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D,与y

轴的交点为B,与x轴负半轴交于点A,过B作x轴的平行线交所得抛物线于

点C,若AC〃BD,试求平移后所得抛物线的表达式.

30.小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆.售后统计，盆

景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元.调研发现：

①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每

盆利润增加2元；

②花卉的平均每盆利润始终不变.

小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第

二期盆景与花卉售完后的利润分别为Wi，W2（单位：元）.

（1）用含x的代数式分别表示Wi，W2；

（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最

大总利润是多少？

31.某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线尸」二X2的

，wo

形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米.

（1）如图1,若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定

电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？

（2）如图2,若在一个坡度为1：5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固

定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱.

①求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与斜坡的最近距离为多少米?

②这种情况下，直接写出下垂的电缆与地面的最近距离为多少米?

32.已知二次函数%=x2-2x-3的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),

与y轴交于点C,顶点为D.

(1)求点A、B的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；

(2)设一次函数y2=kx+b(kWO)的图象经过B、D两点，请直接写出满足

丫2的x的取值范围.

33.如图，一次函数丫=*+1＜图象过点A(1,0),交y轴于点B,(:为y轴负半轴

上一点，且OB」BC,过A,C两点的抛物线交直线AB于点D,且CD〃x轴.

2

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)直接写出使一次函数值小于二次函数值时x的取值范围.

34.如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0),C(0,3),且

对称轴为直线x=-2,一次函数y2=mx+n的图象经过点A、B.

(1)求二次函数的解析式；

(2)若点B、C关于抛物线的对称轴对称，根据图象直接写出满足y「y220时

x的取值范围.

35.求抛物线y=x2+x-2与x轴的交点坐标.

36.阅读下列材料

我们通过下列步骤估计方程2X2+X-2=0的根的所在的范围.

第一步：画出函数y=2x?+x-2的图象，发现图象是一条连续不断的曲线，且与x

轴的一个交点的横坐标

在0,1之间.

第二步：因为当x=0时，y=-2<0；当x=l时，y=l>0.

2

所以可确定方程2X+X-2=0的一个根X1所在的范围是0<X1<l.

第三步：通过取0和1的平均数缩小xi所在的范围；

取X=5支=!，因为当X=L时，y<0,

222

又因为当x=1时，y>0,

所以工

2

(1)请仿照第二步，通过运算，验证2x2+x-2=0的另一个根X2所在范围是-2

<x2<-1；

(2)在-2<X2<-1的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将X2所在

范围缩小至m<x<n,使得n-m<—.

24

37.已知抛物线y=ax?+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0),C(0,-3)三点

(1)求抛物线的解析式；

(2)若抛物线上有一点D,且4ABD的面积等于10,求D点坐标；

(3)若ax2+bx+c>5,直接写出x的取值范围是：.

38.如图，抛物线上=x2-2与直线y2=x+4交于A,B两点.

(1)求A,B两点的坐标；

（2）当yi<y2时，直接写出自变量x的取值范围.

1'小

39.已知二次函数y=-x?+4x

（1）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴方程;

（2）在所给坐标系中画出该函数的函数；

（3）根据图象直接写出不等式-x?+4x>3的解集.

40.某企业信息部进行市场调研发现:

信息一：如果单独投资A种产品，所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之

间存在某种关系的部分对应值如下表:

x（万元）122.535

YA（万元）。.40.811.22

信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）

之间存在二次函数关系：yB=ax?+bx,且投资2万元时获利润2.4万元，当投资

4万元时，可获利润3.2万元.

（1）求出yB与X的函数关系式；

（2）从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示yA与

X之间的关系，并求出yA与X的函数关系式;

(3)如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利

润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？

41.如图，抛物线y=ax?+bx(aWO)交x轴正半轴于点A,直线y=2x经过抛物线

的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x=2,交x轴于点B.

(1)求a,b的值.

(2)P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP,BP.设点

P的横坐标为m,AOBP的面积为S,记K=§.求K关于m的函数表达式及K

的范围.

42.已知二次函数y=x?+x的图象，如图所示.

(1)在同一直角坐标系中用描点法画出一次函数y=Lx+W的图象，观察图象写

22

出自变量x取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值；

(2)如图，点P是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的

平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P点上，写出平移后二次函数

图象的函数表达式，并判断点P是否在函数y=*x+|■的图象上，请说明理由.

43.如图，抛物线y=ax?+bx(a<0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段

OE上(点A在点B的左边)，点C,D在抛物线上.设A(t,0),当t=2时,

AD=4.

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩

形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距

44.如图，抛物线yi=ax2+2ax+l与x轴有且仅有一个公共点A,经过点A的直线

y2=kx+b交该抛物线于点B,交y轴于点C,且点C是线段AB的中点.

(1)求a的值；

(2)求直线AB对应的函数解析式；

(3)直接写出当小三丫2时，x的取值范围.

上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x,关于x的不等式x2-2x-1

-a>0恒成立，求a的取值范围.

小捷的思路是：原不等式等价于X?-2x-1>a,设函数丫.？-2x-1,y2=a,画

出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数上的图象在丫2的图象上

方时a的取值范围.

请结合小捷的思路回答：

对于任意实数X,关于x的不等式x2-2x-1-a>0恒成立，则a的取值范围

是.

参考小捷思考问题的方法，解决问题：

关于x的方程*-4=上在0<*<4范围内有两个解，求a的取值范围.

X

46.如图，点A,B,C都在抛物线y=ax?-2amx+arr|2+2m-5(-L<a<0)上，

4

AB〃x轴，ZABC=135",且AB=4.

(1)填空：抛物线的顶点坐标为；(用含m的代数式表示)；

(2)求4ABC的面积(用含a的代数式表示)；

(3)若^ABC的面积为2,当2m-5WxW2m-2时，y的最大值为2,求m的

47.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于点A

和点B(1,0),与y轴相交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标；

(2)求证：ZDAB=ZACB；

(3)点Q在抛物线上，且^ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标.

48.如图1,在平面直角坐标系xOy中，直线I：yz^x+ir与x轴、y轴分别交于

点A和点B(0,-1),抛物线.x?+bx+c经过点B，且与直线I的另一个交

点为C(4,n).

(1)求n的值和抛物线的解析式；

(2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t(0<t<4).DE〃丫轴交直线I于点

E,点F在直线I上，且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为

P，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

(3)M是平面内一点，将^AOB绕点M沿逆时针方向旋转90。后,得至U△AiOiBi,

点A、0、B的对应点分别是点Ai、0八BL若△AQIB1的两个顶点恰好落在

抛物线上，请直接写出点Ai的横坐标.

49.在直角坐标平面内，直线y=^x+2分别与x轴、y轴交于点A、C.抛物线y=

-Lx2+bx+c经过点A与点C,且与x轴的另一个交点为点B.点D在该抛物

2

线上，且位于直线AC的上方.

(1)求上述抛物线的表达式；

(2)联结BC、BD,且BD交AC于点E,如果^ABE的面积与^ABC的面积之比

为4：5,求NDBA的余切值；

(3)过点D作DF1AC,垂足为点F,联结CD.若4CFD与△AOC相似，求点D

的坐标.

华师大新版九年级下学期《26.3实践与探索》

同步练习卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.已知二次函数y=ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：

x1.11.21.31.41.51.6

y-1.59-1.16-0.71-0.240.250.76

则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件（）

A.1.2<x<1,3B.1.3<x<1.4C.1.4<x<1,5D.1.5<x<1.6

【分析】仔细看表，可发现y的值-0.24和0.25最接近0,再看对应的x的值即

可得.

【解答】解：由表可以看出，当x取1.4与L5之间的某个数时，y=0,即这个数

是ax2+bx+c=0的一个根.

ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.4<x<1.5.

故选：C.

【点评】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数

图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的.

2.如图，已知抛物线加=-2x?+2,直线yz=2x+2,当x任取一值时，x对应的函

数值分别为yi>Y2.若VeV2,取丫八丫2中的较小值记为M；若yi=y2,记

M=y1=y2.例如：当x=1时，yi=0,y2=4,yi<y2,此时M=0.下列判断：

①当x>0时，yi>y2；②当x<0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2

的x值不存在；④使得M=1的x值是-工或返.

22

其中正确的个数是（

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】观察图象，当x>0,一次函数图象在二次函数图象的上方，则可对①

进行判断；利用一次函数和二次函数的增减性可对②进行判断；利用二次函

数的最值和M的意义可对③进行判断；分别解-2X2+2=1和2x+2=l,再计算

出对应的M的值，从而可对④进行判断.

【解答】解：当x>0时，yi<y2,所以①错误；

当x<0时，yi、丫2都随x的增大而增大，则x值越大，M值越大，所以②错误；

因为抛物线yi=-2X2+2有最大值为2,所以丫八丫2中的较小值M不可能大于2,

所以③正确；

若-2X2+2=1,解得x=±y^,当*=返■时，M=l；若2x+2=l,解得x=-L,此时

222

M=l,所以④正确.

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数与不等式(组)：对于二次函数y=ax?+bx+c(a、b、

c是常数，aWO)与不等式的关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式

求得自变量x的取值范围.或利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置

关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析

式列成不等式求解.

3.如图，抛物线yi=ax?+bx+c(aWO)的顶点坐标A(-1,3),与x轴的一个交

点B(-4,0),直线y2=mx+n(mWO)与抛物线交于A,B两点，下列结论：

①2a-b=0；②abcVO；③抛物线与x轴的另一个交点坐标是(3,0)；

2

④方程ax+bx+c-3=0有两个相等的实数根；⑤当-4<x<-1时，则y2<yi.

其中正确的是()

A.①②③B.①③⑤C.①④⑤D.②③④

【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a<0,

由对称轴位置可得b>0,由抛物线与y轴的交点位置可得c>0,于是可对②

进行判断；根据抛物线的对称性对③进行判断；根据顶点坐标对④进行判断；

根据函数图象得当-4<x<-1时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进

行判断.

【解答】解：•••抛物线的顶点坐标A(-1,3),

・•.抛物线的对称轴为直线x=-且=-1,

2a

.\2a-b=0,所以①正确；

•••抛物线开口向下，

.,.a<0,

b=2a<0,

：抛物线与y轴的交点在x轴上方，

.*.c>0,

，abc>0,所以②错误；

•抛物线与x轴的一个交点为(-4,0)

而抛物线的对称轴为直线x=-1,

.•.抛物线与x轴的另一个交点为(2,0),所以③错误；

•抛物线的顶点坐标A(-1,3),

时，二次函数有最大值，

...方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以④正确；

•抛物线yi=ax?+bx+c与直线y2=mx+n(mWO)交于A(-1,3),B点(-4,0)

.,.当-4<x<-1时，y2<yi，所以⑤正确.

故选：C.

【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(aW0),

二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口;

当aVO时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴

的位置：当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即

ab<0）,对称轴在y轴右.（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴

交点：抛物线与y轴交于（0,c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：442

-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有

1个交点；△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

4.如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m.水面下降1m,

水面宽度为（）

A.2&mB.2TmC.述mD.«m

【分析】首先建立直角坐标系，设抛物线为y=ax2,把点（2,-2）代入求出解

析式，继而求得y=-3时x的值即可得解.

【解答】解：建立如图所示直角坐标系：

可设这条抛物线为y=ax2,

把点（2,-2）代入，得

-2=aX22,

解得：a=-―,

2

y=--x2,

2

当y=-3时，-—x2=-3.

2

解得：x=±V6

水面下降1m,水面宽度为2/6m.

故选：A.

【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题,

借助二次函数解决实际问题.

5.已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：

X-10123

y30-1m3

有以下几个结论：

①抛物线y=ax2+bx+c的开口向下；

②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1；

③方程ax2+bx+c=0的根为0和2；

④当y>0时，x的取值范围是x<0或x>2；

其中正确的是()

A.①④B.②④C.②③D.③④

【分析】根据表格中的x、y的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根

据二次函数的图形与性质求解可得.

【解答】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

将(-1,3)、(0,0)、(3,3)代入得：

a-b+c=3

<c=0，

9a+3b+c=3

‘a=l

解得：,b=-2，

c=0

二抛物线的解析式为y=x2-2x=x(x-2)=(x-1)2-1,

由a=l>0知抛物线的开口向上，故①错误；

抛物线的对称轴为直线x=l,故②错误；

当y=0时，x(x-2)=0,解得x=0或x=2,

...方程ax2+bx+c=0的根为0和2,故③正确；

当y>0时，x(x-2)>0,解得x<0或x>2,故④正确；

故选：D.

【点评】本题主要考查抛物线与X轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法

求函数解析式及二次函数的图象和性质.

6.已知抛物线y=ax?+bx+c(x为任意实数)经过下图中两点M(1,-2)、N(m,

0),其中M为抛物线的顶点，N为定点.下列结论：

①若方程ax?+bx+c=0的两根为Xi，x2(X1<X2)>则-IVXIVO,2Vx2V3；

②当x<m时，函数值y随自变量x的减小而减小.

③a>0,b<0,c>0.

④垂直于y轴的直线与抛物线交于C、D两点，其C、D两点的横坐标分别为s、，

则s+t=2.

其中正确的是()

姝

6-

5-

4-

3-

2-

1-

-6-5-4-3-2-1,二而456%

-3-

-4-

-5-

-6-

A.①②B.①④C.②③D.②④

【分析】利用函数图象条件二次函数的性质一一判断即可.

2

【解答】解：①若方程ax+bx+c=O的两根为xi，x2(xi<x2),则-l<Xi<0,2

<X2<3,故①正确；

②当x<l时，函数值y随自变量x的减小而减小，故②错误；

③a>0,b<0,c<0,故③错误；

④垂直于y轴的直线与抛物线交于C、D两点，其C、D两点的横坐标分别为s、

t,根据二次函数的对称性可知s+t=2,故④正确；

故选：B.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,

属于中考常考题型.

7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函

数表达式卜=-12+2纸+1.则下列说法中正确的是()

A.点火后9s和点火后13s的升空高度相同

B.点火后24s火箭落于地面

C.点火后10s的升空高度为139m

D.火箭升空的最大高度为145m

【分析】分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析

式配方成顶点式可判断D选项.

【解答】解：A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火

后13s的升空高度不相同，此选项错误；

B、当t=24时h=lW0,所以点火后24s火箭离地面的高度为1m,此选项错误；

C、当t=10时h=141m,此选项错误；

D、由h=-t2+24t+l=-(t-12)2+145知火箭升空的最大高度为145m,此选项

正确；

故选：D.

【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.

8.已知二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点的横坐标是a,且3<a

<4,则关于x的方程-x2+2x+m=0的解在什么范围内()

A.O<xi<l,3<X2<4B.-l<Xi<0,3<X2<4

C.-2<X1<-1,3<X2<4D.-4<Xi<-3,3<X2<4

【分析】根据题意可得出二次函数的对称轴为x=l,由抛物线的对称性可得，抛

物线与x轴的另一个交点的横坐标在-2和-1之间，从而得出关于x的方程

-x2+2x+m=0的解在什么范围.

【解答】解：：二次函数y=-x2+2x+m的对称轴为x=l,且与x轴的一个交点的

横坐标是a满足3<a<4,

...抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在-2和-1之间，

••・关于x的方程-x2+2x+m=0的解的范围是-2<xi<-1,3<x2<4,

故选：C.

【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的解，以及抛物线与x轴的交点，

掌握抛物线的对称性是解题的关键.

9.如图，直线I经过点M(3,0),且平行于y轴，与抛物线y=ax2交于点N,

【分析】由点M的坐标得到OM=3,由直线I经过点M(3,0),且平行于y轴，

可知点N的横坐标为3,代入抛物线y=ax2,求得点N的纵坐标，即求得MN

的长度，再代入S^MN=9,即可求得a的值.

【解答】解：•••直线I经过点M(3,0),且平行于y轴，与抛物线丫=2*2交于点

N,

点N的横坐标为3,

代入抛物线方程得：y=9a,即MN=-9a.

SAOMN=—OM•MN=9,0M=3，MN=-9a，

2

解得：a=-1.

故选：B.

【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有交点坐标和三角形

的面积求法.由已知点通过找到中间量来求得未知点从而解决问题.

10.如图，抛物线m：y=ax?+b(a<0,b>0)与x轴于点A、B(点A在点B的

左侧)，与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180。，得到新的抛物线n,

它的顶点为J,与x轴的另一个交点为A1.若四边形AJAiC为矩形，则a,

b应满足的关系式为()

A.ab=-2B.ab=-3C.ab=-4D.ab=-5

【分析】利用矩形性质得出要使平行四边形AJAiC是矩形，必须满足AB=BC,

即可求出.

【解答】解：令x=0,得：y=b.，C(0,b).

令y=0,得：ax2+b=0,:.x=±、乒,/.A(-0),B0),

BC=VoC2+OB2=^b2-r•

要使平行四边形ACiAiC是矩形，必须满足AB=BC,

0倍用•正(十才十

.*.ab=-3.

'.a,b应满足关系式ab=-3.

故选：B.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的性质和点的坐标关于一点

中心对称的性质，灵活应用平行四边形的性质是解决问题的关键.

二.填空题(共10小题)

11.已知二次函数y=ax?+bx+c(aWO)的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(如

2

图），由图象可知关于X的方程ax+bx+c=O的两个根分别是Xi=1.3和x2=L

【分析】先根据图象找出函数的对称轴，得出xi和X2的关系，再把xi=1.3代入

即可得X2.

【解答】解：二次函数y=ax?+bx+c（aWO）的顶点坐标是（-1,-3.2）,则对称

轴为x=-1；

所以------=-1；又因为Xi=1.3,所以X2=-2-Xi=-2-1.3=-3.3.

2

故答案为：-3.3

【点评】考查二次函数和一元二次方程的关系.

12.若函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为-\.

【分析】由抛物线与x轴只有一个交点，即可得出关于m的一元一次方程，解

之即可得出m的值.

【解答】解：•••函数y=x?+2x-m的图象与x轴有且只有一个交点，

/.△=22-4X1X（-m）=0,

解得：m=-1.

故答案为：-1.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记"当442-4ac=0时，抛物线与

x轴有1个交点”是解题的关键.

13.平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，建立

直角坐标系，抛物线的函数表达式为y=-Ix2+Lx+?（单位：m）,绳子甩到

632

最高处时刚好通过站在x=2点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为

1.5m.

【分析】实际上告诉了抛物线上某一点的横坐标x=2,求纵坐标.代入解析式即

可解答.

【解答】解：在丫=-2*2+_^<+2中,

632

当x=2时，得y=£=1.5.

即小明的身高为1.5米.

故答案为：1.5

【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题，

借助二次函数解决实际问题.

14.二次函数y=ax?+bx+c(aWO)的图象如图所示，请直接写出不等式ax?+bx+c

>0的解集l<x<3.

y)

2

O\/I23\4x

【分析】直接写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可.

【解答】解：不等式ax2+bx+c>0的解集为l<x<3.

故答案为l<x<3.

【点评】本题考查了二次函数与不等式(组)：对于二次函数y=ax?+bx+c(a、b、

c是常数，aWO)与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下

位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数

解析式列成不等式求解.

15.如表是二次函数y=ax2+bx+c(aWO)的自变量x与函数值y的对应关系，一

元二次方程ax?+bx+c=^(aWO)的一个解x的取值范围是6.3<x<6.4.

x6.16.26.36.4

y=ax2+bx+c-0.3-0.10.20.4

【分析】观察表格可知，y随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在6.2〜6.3之间由

负到正，故可判断ax?+bx+c=且时，对应的x的值在6.3〜6.4之间.

10

【解答】解：由表格中的数据看出-0.1和0.2更接近于0,故一元二次方程

ax2+bx+c=—（aWO）的一个解x的取值范围是6.：3<x<6.4.

10

故答案为：6.3<x<6.4.

【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由

正变为负时，自变量的取值即可.

16.如图，二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴交于B,C两点（点B在点C的

左侧），一次函数y=mx+n的图象经过点B（-2,0）和二次函数图象上另一

点A（4,3）,若点M在直线AB上，且与点A的距离是它到x轴的距离的逅

2

倍，则点M的坐标（2,2）或（10,6）.

【分析】将B,A两点的坐标代入y=mx+n,运用待定系数法求出一次函数的解析

式，可设点M的坐标为（p,lp+1）,由点M与点A的距离是它到x轴距离

的坐倍，列出关于p的方程，解方程即可.

【解答】解：将B（-2,0）,A（4,3）代入y=mx+n,

得=0

I4irri-n=3

解得：喳，

n=l

一次函数解析式为y=yx+l,

设点M的坐标为（p,.lp+1）,

由题意，得田_4）2+（5+13）2*X1ap+l],

化简整理，得P2-12p+20=0,

解得p=2或10,

当p=2时，lp+l=lx2+1=2；

22

当p=10时，lp+l=lx10+1=6.

故所求点M的坐标为（2,2）或（10,6）,

故答案为：（2,2）或（10,6）.

【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数

和一次函数）的解析式、两点间的距离公式，平面直角坐标系内的点到坐标

轴的距离等重要知识点，难度不是很大.运用数形结合及方程思想是解题的

关键.

17.如图，已知函数丫=-芭与y=ax?+bx（a>0,b>0）的图象交于点P,点P的

X

纵坐标为1,则关于x的不等式bx+之>-ay2的解集为*<-3或乂>0.

X

【分析】由不等式bx+旦〉-ax2得到，ax2+bx>-W,利用图象法，二次函数的

XX

图象在反比例函数的图象上方，写出对应的自变量的取值范围即可.

【解答】解：由不等式bx+W〉-ax2得到，ax?+bx>-之，

XX

观察图象可知，P（-3,1）,不等式的解为：*<-3或*>0.

故答案为xV-3或x>0.

【点评】本题考查二次函数与不等式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,

学会利用图象法解决取值问题.

18.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m,水面下降2m,水

面宽度增加（4、,5-4）m.

【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把

y=-2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案.

【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点。且

通过C点，则通过画图可得知0为原点

抛物线以y轴为对称轴，且经过A,B两点，0A和0B可求出为AB的一半2米,

抛物线顶点C坐标为（0,2）,

通过以上条件可设顶点式y=ax?+2,其中a可通过代入A点坐标（-2,0）,

到抛物线解析式得出：a=-0.5,所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2,

当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为:

当y=-2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-2与抛物线相交

的两点之间的距离，

可以通过把y=-2代入抛物线解析式得出：

-2=-0.5X2+2,

解得：x=±2正，所以水面宽度增加到4正米，比原先的宽度当然是增加了（4夜

-4）米，

故答案为：472_4.

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函

数解析式是解决问题的关键.

19.如图，分别过点Pj（i,0）（i=l、2、…、n）作x轴的垂线，交的图

1,2n

象于点A，交直线尸-于点则+

AjBjA2B2一n+L

【分析】