电路与模拟电子技术基础（第5版）课件 第二章 一阶动态电路的暂态分析

第二章一阶动态电路的暂态分析第二章一阶动态电路的暂态分析2.1电容元件与电感元件2.2换路定则及其初始条件2.3一阶电路零输入响应2.4一阶电路零状态响应2.5一阶电路完全响应2.6三要素法求一阶电路响应1

第二章一阶动态电路的暂态分析例如：电机的起、停，温度的升、降等不能跃变，需要经过一定的时间，这个过程称为过渡过程。稳态稳态过渡过程?2第二章一阶动态电路的暂态分析原因外因：电路结构变化(换路、切断、短路等)内因：动态元件L、C的存在3电容量(常简称为电容)是描述电容元件的参数，用C表示，单位为法[拉](F)，常用的为mF

，pF电容器的主要参数有：标称容量、允许偏差和工作电压。电容器标称容值常见的有E6、E12、E24三大系列，分别适用于允许偏差为±20%、±10%和±5%。电容器在使用时，容许加在其两端的最大电压值称为工作电压，也称耐压。常用的固定电容器额定工作电压有10V、16V、25V、50V、100V、160V、250V、400V、2500V等。电容元件是从实际的电容器抽象而来。2.1电容元件与电感元件2.1.1电容元件42.1.1电容元件电容的电路符号如图所示。在关联参考方向下，电容的伏安特性为正比于电压变化率电容元件的伏安关系是一个微分关系电容是动态元件当电容两端的电压保持不变，则通过它的电流为零对直流电压而言，电容相当于开路，因此电容具有隔断直流的作用。52.1.1电容元件非关联参考方向下电容元件以电场能的形式存储能量积分形式的VAR电容存储的能量只与当前时间电容两端的电压值有关电容的电压反映了其存储能量的大小，将电压称为电容的状态变量。≥0无源器件记忆元件62.1.1电容元件电容元件小结72.1.2电感元件电感元件是从实际的电感线圈或电感器元件抽象而来电感量(常简称电感)是用于描述电感元件的参数，用L表示，单位是亨[利](H)，常用的为mH

μH常见电感器有磁芯环形电感、工字电感和色环电感等82.1.2电感元件电感器的主要参数(1)电感量和容许误差(2)品质因数(3)标称电流通常用于谐振回路的电感线圈精度比较高，而用于耦合回路、滤波回路、换能回路的电感线圈精度比较低。品质因数是衡量电感线圈质量的重要参数，用字母Q表示。Q值的大小表明了线圈损耗的大小，Q值越大，线圈的损耗越小，效率越高。标称电流是指电感线圈在正常工作时，容许通过的最大电流，也叫额定电流。92.1.2电感元件电感的电路符号如图所示在关联参考方向下，电感的伏安特性为电感元件的伏安关系是一个微分关系电感是动态元件当流过电感的电流保持不变，则其两端的电压为零。对直流电流而言，电感相当于短路。正比于电流变化率102.1.2电感元件非关联参考方向下电感元件以磁场能的形式存储能量电感存储的能量只与当前时间流过电感的电流值有关电感的电流反映了其存储能量的大小，将电流称为电感的状态变量。≥0无源器件积分形式的VAR记忆元件112.1.2电感元件电感小结12对照电容元件与电感元件13解：电感的VAR

KVL

电容的VAR

KCL

图2.1.3例2.1.1电路【例2.1.1】如图2.1.3所示电路

，已知i1=(2-e-t)(A),

t>0。求t>0时的电流i(t)2.1.2电感元件142.2.1换路定则

电路中开关的接通、断开，元件参数的变化统称为换路。换路会使电路由一个状态过渡到另一个状态。如果电路中有储能元件，储能元件状态的变化反映出所存储能量的变化。能量的变化需要经过一段时间，因此电路由一个状态过渡到另一个状态要有一个过程，这个过程称为过渡过程。储能元件电压与电流是微分关系，分析动态电路要列解微分方程。含有一个储能元件的电路列出的是一阶微分方程，因此含有一个储能元件的电路称为一阶电路。2.2换路定则及其初始条件152.2换路定则及其初始条件

t=0＋与t=0－的概念认为换路在t=0时刻进行0－

换路前一瞬间

0＋

换路后一瞬间初始条件(initialcondition)为

t=0+时u，i

的值，也称为初始值。

162.2换路定则及其初始条件由于物体所具有的能量不能跃变，因此，在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变．由可见电容电压uC和电感电流iL不能跃变．换路定则：换路时电容上的电压，电感上的电流不能跃变。即17前面我们见到如果取t0=0-，

t=0+

，可得积分项中

iC

和uL为有限值，积分项为零，同样得到2.2换路定则及其初始条件(动态元件的状态量在换路瞬间不发生跃变)18初始值的计算过程2)根据换路定律，求出独立变量初始值uC(0+)和iL

(0+)

；3)画出在t=0+时刻的等效电路：可用电压为uC(0+）的电压源替代电容，用电流为iL(0+)

的电流源替代电感；先由t=0-等效电路求出uC(0–)

、iL(0–)：在直流激励下，换路前，电路已处于稳定状态时，将电容→开路，电感→短路，得到t=0-等效电路；

4)由0+电路求所需各变量的0+值。19

[例]图(a)所示电路，t<0时电路已达稳态，t=0

时将开关K闭合。试求各元件电流、电压初始值。解：

t<0时电路已达稳态，电容相当于开路．2.2换路定则及其初始条件20t=0+的等效电路如下图(b)所示．2.2换路定则及其初始条件21[例]

图(a)中电路换路前已经稳态，t=0时闭合开关，试求开关闭合前和闭合后瞬间的电感电流和电感电压。解：开关闭合前电路稳态，电感相当于短路2.2换路定则及其初始条件22t=0时闭合开关，0+时刻等效电路如下图(b)所示2.2换路定则及其初始条件23电路如图(a)所示，换路前电路已达稳态，t=0时开关闭合，求i，iL，uL，iC，uC的初始值。2.2换路定则及其初始条件0+时刻等效电路如图(b)所示uC(0+)=uC(0_)=10×2/(3+2)=4(V)iL(0+)=iL(0_)=10/(3+2)=2(A)解：242.2换路定则及其初始条件0+时刻等效电路如图(b)所示i(0_)=iL(0_)=2(A)iC(0_)=0(A)uL(0_)=0(V)25可见：换路过程中，电容电压与电感电流不发生跃变，其它响应都有可能发生跃变。2.2换路定则及其初始条件i(0_)=2(A)iC(0_)=0(A)uL(0_)=0(V)26图2.2.2

例2.2.2电路图【例2.2.2】如图2.2.2(a)所示电路，开关S在t=0时断开，开关断开前电感电容均未储能。求uc、ic、uL、iL及u的初始值。2.2换路定则及其初始条件27解：由于换路前动态元件均未储能，所以t=0时uC(0–)=uC(0+)=0，iL(0–)=

iL(0+)=0，相当于电容短路、电感开路，则0+时刻等效电路如图(b)所示，得2.2换路定则及其初始条件282.3一阶电路的零输入响应响应(response)：电路在激励(外界输入)或储能元件的初始状态作用下产生的输出。激励(输入)储能元件的初始状态响应=0≠0零输入响应≠0=0零状态响应≠0≠0完全响应=0=0无响应291.RC电路的零输入响应开关在1端，电压源U0通过电阻Ro对电容充电；充电完成，电容电压达到U0，在t=0时开关迅速由1端转换到2端。电容脱离电压源而与电阻R

联接，此时无信号源作用，因而称为零输入响应。t>0由KVL得到由电容的VAR方程得到(非关联方向)(a)(b)301.RC电路的零输入响应由数学知识可求得其通解得到方程式中A是一个常量，由初始条件确定。这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。根据初始条件311.RC电路的零输入响应

得到图(b)电路的零输入响应为

令τ=RC称为一阶电路的时间常数I)τ具有时间的量纲，单位是s当t=τ时321.RC电路的零输入响应II)时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短表1uC随时间衰减进度t0.368U00.135U00.050U00.018U00.007U00.002U0当

t=5

时，uC(5

)=0.007U0

，基本达到稳态值。工程上认为t=(3~5)τ，uC→0电容放电基本结束。331.RC电路的零输入响应过曲线上任一点t1作曲线切线，则交横轴于t1+τ点III)时间常数τ等于曲线的次切距长度341.RC电路的零输入响应①电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；连续函数跃变351.RC电路的零输入响应②响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与τ有关;③能量关系电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.36

[例]

电路如图所示，换路前电路处于稳定状态。t=0时刻开关断开，求t>0的电容电压和电容电流。解：换路前开关闭合，电路处于稳定状态，电容电流为零，电容电压等于200Ω电阻的电压，由此得到1.RC电路的零输入响应37时间常数：按式（2.3.3）写出电容电压的零输入响应1.RC电路的零输入响应38计算电容电流方法一：方法二：1.RC电路的零输入响应39电感电流原来等于电流I0，电感中储存一定的磁场能量，在t=0时开关由1端倒向2端，换路后的电路如图(b)所示。图1RL电路的零输入响应电路如图1所示2、RL电路的零输入响应40在开关转换瞬间，有iL(0+)=iL(0-)=I0RL零输入响应电路是电感中的初始储能逐渐释放出来消耗在电阻中的过程。2、RL电路的零输入响应由KVL及电感的VAR可得，t>0时电路微分方程：式中时间常数412、RL电路的零输入响应RL电路零输入响应的波形42

[例]

电路如图所示，换路前K合于①，电路处于稳态。t=0

时Ｋ由①合向②，求换路后的i1(t)、

iL(t)和uL(t)解:换路前电路已稳定2.RL电路的零输入响应43由换路定律可得换路后电路为零输入响应．从Ｌ两端视入的等效电阻为时间常数为2.RL电路的零输入响应44电感电流的零输入响应为电感电压为2.RL电路的零输入响应45【例2.3.1】如图2.3.5(a)所示电路，t<0时开关位于“1”处并已达到稳定，t=0时开关转到“2”的位置。求t>0时各支路电流的变化规律并画出波形图。图2.3.5

例2.3.1电路图2.RL电路的零输入响应46解：t<0时，电感相当于短路，求得图2.3.5

例2.3.1电路图2.RL电路的零输入响应根据换路定则得47时间常数为2.RL电路的零输入响应由图2.3.5(b)求得电感两端的等效电阻为48由此可得，时各电流和电压为波形如图2.3.6所示。图2.3.6

例2.3.1各支路电流的波形图2.RL电路的零输入响应49解图2.3.7

例2.3.2电路图2.RL电路的零输入响应【例2.3.2】如图2.3.7所示电路原已稳定，t=0时，开关S断开，试求零输入响应uC(t)及iC(t)。50电路的初始状态为零，即uC(0+)=0，iL(0+)=0，由外加激励引起的响应，称为零状态响应。图1所示电路，t=0时开关S由“1”扳向“2”，电压源US接入RC电路。

图1RC电路的零状态响应uC(0+)=uC(0－)=

02.4、一阶电路的零状态响应电路响应由电源激励形成，因此为零状态响应。511、RC电路的零状态响应t>0时，由KVL和电容的VAR可得电路方程这是一个常系数线性一阶非齐次微分方程。其解包括两部分，即齐次微分方程的通解特解521、RC电路的零状态响应电容电流可以由电容电压求得稳态分量暂态分量53图2

RC电路的零状态响应曲线1、RC电路的零状态响应(1)电容电压——连续，电流——跃变。在t>0时，电压、电流随时间按同一指数规律变化。(2)电容电压由两部分组成：稳态响应分量(也称强制分量)

+暂态响应分量(也称自由分量)。(3)响应与激励成比例关系，响应与多个外加激励成线性关系(可叠加)是一个电容充电的过程54

RL一阶电路的零状态响应与RC一阶电路相似。电路如图3所示。图3

RL电路零状态响应2.RL电路的零状态响应t>0时，由KVL和电感的VAR可得电路方程时间常数55图4

RL电路零状态响应曲线2.RL电路的零状态响应563、一阶电路的零状态响应小结①一阶电路的零状态响应就是动态元件在直流电源作用下存储能量的过程②动态元件在直流电源的作用下，其状态变量由初始的0值，按指数规律逐渐上升，最后达到稳态值。③直流电源供给的能量一部分被电阻所消耗，一部分被动态元件转换为电场/磁场能存储起来。④对于一阶电路，只需求出稳态值和时间常数τ，便可求出其零状态响应。57解：在开关闭合瞬间，由换路定律【例1】

电路如图所示，已知电容电压uC(0－)=0，t=0开关闭合，求t

0的iR(t),电容电压uC(t)和电容电流iC(t)。

4、例题58由电容两端得到的等效电阻电路的时间常数从而得到电容电压的零状态响应为4、例题当电路达到新的稳定状态时594、例题60

[例]

电路如图(a)所示，已知电感电流iL(0-)=0。t=0闭合开关，求t

0的电感电流iL(t)和电感电压uL(t)。解：开关闭合后的电路如图(b)所示，由于开关闭合瞬间电感电流不能跃变，即4、例题61将图(b)中电路等效变换为图(c)所示电路。由此电路求得4、例题62电感电流的零状态响应为电感电压为4、例题63RC电路的完全响应2.5一阶电路的完全响应初始值：t>0时令τ=RC，其解为稳态分量暂态分量全响应+=由初始状态和外界激励共同引起的响应称为完全响应，简称全响应。64又

电路的全响应等于零输入响应与零状态响应之和。这是线性动态电路的一个基本性质，是叠加原理的一种体现。2.5一阶电路的完全响应零输入零状态全响应+=65以上两种叠加的关系，可以用曲线来表示。(a)全响应分解为稳态响应与暂态响应之和。(b)全响应分解为零输入响应与零状态响应之和。

RC电路的完全响应2.5一阶电路的完全响应662.5一阶电路的完全响应RL电路完全响应时间常数672.5一阶电路的完全响应(1)零输入响应是初始状态的线性函数；(2)零状态响应是外加激励的线性函数；(3)但是完全响应既不是激励的线性函数也不是初始状态的线性函数。注意：(1)完全响应是一个由初始值开始按指数规律变化到稳态值的过程。(2)所以完全响应由初始值、稳态值和时间常数这3个参数确定。682.6三要素法求一阶电路响应初始值f(0+)，稳态值f(∞)

和时间常数τ称为电路的三要素。由三要素按下式直接写出全响应的方法称为三要素法。利用三要素法求解电路响应的步骤：求初始值求稳态值求时间常数求一阶电路响应注意，三要素法适用范围：①直流电源激励下；②一阶线性动态电路；③电路中任何电压和电流。69具体求解步骤如下举例说明。[例]

电路如图所示，已知uC(0_)=－3V，

t=0闭合开关，求t

0的电容电压

uC(t)和电流i(t)。解：用三要素法求解

1．电容电压初始值．

2．电容电压稳态值．

2.6三要素法求一阶电路响应70

3．时间常数．

4.用三要素法写出电容电压的全响应

2.6三要素法求一阶电路响应71响应曲线如图

5.计算电流i(t)

i(t)与uC(t)响应曲线2.6三要素法求一阶电路响应72解:用三要素法求解

[例]

换路前电路处于稳态，在t=0时开关闭合。求换路后电感电流iL(t)和电感电压uL(t)

。(1)求初始值

iL(0+)

(2)求稳态值iL(

)2.6三要素法求一阶电路响应73(4)用三要素法写出电感电流的全响应(3)求时间常数τ2.6三要素法求一阶电路响应74(5)由电感电流计算电感电压

电感电流与电感电流的响应曲线2.6三要素法求一阶电路响应75解：初始值稳态值uc(∞)＝5×1+10＝15（V）时间常数利用三要素法公式得图2.6.1例2.6.1电路图【例2.6.1】如图2.6.1所示电路在t=0时闭合，求t>0时的uc及i。2.6三要素法求一阶电路响应762.6三要素法求一阶电路响应【例2.6.2】如图2.6.2(a)所示电路，开关闭合前电路已达稳态，t=0开关闭合，利用三要素法求t>0时的iL和i。图2.6.2

例2.6.2电路图解：(1)求初始值将iL(0+)用电流源代替，得到等效电路如图(b)所示772.6三要素法求一阶电路响应图(b)由分流公式可以得到：(2)求稳态值电路如图(c)所示，有782.6三要素法求一阶电路响应(3)求时间常数换路完成后电感两端看进去的等效电阻如图(d)所示(4)用三要素法公式求得792.6三要素法求一阶电路响应(5)i(t)也可以由图(e)的分流公式来求取802.6三要素法求一阶电路响应上例说明，对于电路中非动态元件所在支路的支路电压(支路电流)也可以用三要素法来求取其响应。非动态元件支路电压(电流)用三要素法求解时，其时间常数由动态元件决定。推荐对于非动态元件支路电压(电流)的求取利用KCL、KVL、分压公式、分流公式等将其支路与动态元件支路联系起来，利用已经求解出的动态元件响应来求取。812.6三要素法求一阶电路响应【例2.6.3】如图2.6.3所示电路，换路前电路已达稳态，t=0时开关闭合。求t>0时的uC,iL,及iK。图2.6.3

例2.6.3电路图解：(1)

应用三要素法求电感电流822.6三要素法求一阶电路响应(