山西省吕梁市部分学校2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含详解）

山西省吕梁市部分学校2024−2025学年高二下学期3月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．若是正整数，则（

）A． B． C． D．3．的展开式中项的系数为（

）A．10 B．24 C．35 D．454．现有5个编号不同的小球和3个不同的盒子，若将小球全部放入盒子中，不同的方法有（

）A．243种 B．125种 C．60种 D．20种5．由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（

）A．360 B．280 C．156 D．1506．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．7．展开式中项的系数为（

）A．40 B．60 C．80 D．1208．已知直线的斜率为正，且a，b，，则符合上述条件的不同的直线条数为（

）A．40 B．20 C．17 D．15二、多选题（本大题共3小题）9．已知复数，，则下列命题正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．已知，则（

）A．曲线关于点对称 B．1是函数的极大值点C．当时， D．不等式的解集为11．如图，在棱长为2的正方体中，点为棱AB的中点，动点满足，则下列命题正确的有（

）

A．存在唯一有序实数对，使得B．存在唯一有序实数对，使得C．若，则点到平面的距离的最大值为2D．若，则点的轨迹长度为三、填空题（本大题共3小题）12．已知为正整数，若，则．13．若，则的值被4除的余数为．14．某环保局派遣包括张三，李四，王五在内的12名工作人员到A，B，C三个镇开展环境保护的宣传工作，每个镇至少派遣3人，因工作需要，张三，李四，王五3人要派遣到同一个镇，则不同的派遣方案共有种．（结果用数字表示）四、解答题（本大题共5小题）15．已知在展开式中第二､三､四项的二项式系数成等差数列，且(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．16．已知数列满足，且．(1)求的通项公式；(2)若，且为递增数列，求实数的取值范围．17．现从一副扑克牌中抽取红桃A、红桃2、红桃3到红桃10、小王和大王共12张牌(1)从这12张牌中随机抽取3张，求红桃A被抽到，且小王和大王只有一个被抽到的抽取方法共有多少种？(2)从这12张牌中随机抽取3张，求小王和大王2张中至少有1张被抽到，且红桃A没有被抽到的不同抽取方法共有多少种？(3)将红桃5到红桃10这6张扑克牌摆成一排，使得红桃9和红桃10相邻，且红桃5、红桃6、红桃7恰有两张相邻，求不同的摆放方法共有多少种？18．在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线的左，右焦点均为，，且的离心率为，直线与交于A，B两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线过点，且点为线段BC的中点，求直线的方程；(3)若直线OA与直线OB的斜率之积为，证明：的面积为定值．19．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．（1）已知函数，求曲线在处的曲率的值；（2）已知函数，求曲线在点处的曲率的最大值；（3）对（2）中的，记，证明：在区间上有且仅有2个零点．

参考答案1．【答案】D【详解】由，得，则，所以．故选D.2．【答案】B【详解】由，且都为正整数，故．故选B.3．【答案】C【详解】，则展开式中项为，即项的系数为35．故选C．4．【答案】A【详解】由题知，每个小球有3种放法，所以5个小球的放置方式共有种．故选A.5．【答案】C【详解】若个位上的数字为0，可以组成个无重复数字的4位数的偶数，若个位上的数字为2或4，可以组成，故可以组成个符合条件的数．故选C6．【答案】B【详解】因为在上单调递增，且在上单调递减，可知在上单调递减，且在上恒成立，可得，解得，所以实数的取值范围为．故选B．7．【答案】D【详解】展开式中的项可以看成在5个因式中，有1个因式中取，剩下的4个因式中2个取个取相乘而得，即,所以展开式中项的系数为120．故选D．8．【答案】C【详解】因为直线的斜率为正，则，当时，的取值有2种取法，的取值有2种取法，的取值有5种取法，共有种取法，其中和和和表示同一条直线，故符合条件的直线共有条．当时，此时所得直线与时所得直线相同．故选C．9．【答案】BC【详解】对于A，取，显然满足，但，故A错误；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，取，满足，但，所以，故D错误．故选BC.10．【答案】ACD【详解】由题意得曲线是由奇函数的图象向下平移1个单位长度而得，故曲线的对称中心为，故A正确；，易得在和上单调递增，在上单调递减，所以为的极大值点，1为的极小值点，故B错误；因为在上单调递减，当时，，所以，故C正确；由上知，易求，所以，所以，故D正确．故选ACD．11．【答案】ACD【详解】以为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，因为，则动点在侧面内（含边界）．设，则，，若存在，使得，

则，所以，即存在唯一点满足条件，故A正确；

易知与均垂直于平面，连接，则，若，则，所以点在以为圆心，2为半径的圆上，同理可得，则点在以为圆心，1为半径的圆上（均为侧面内部分），两圆的圆心距，故两圆弧相交（如图所示），故符合条件的点有两个，对应的有两组，故B错误；若，则点与三点共线，即在线段上，故当点在处时，到平面的距离最远，可求平面的法向量，故到平面的距离，故C正确；易求，所以，所以，故点在线段上（如图所示，其中分别为上靠近的四等分点），所以，故D正确．故选ACD．

12．【答案】3或7【详解】因为，则，解得，由组合数性质可知：或，解得或．13．【答案】3【详解】令，得，因为，所以当为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即，当为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即，所以，又，故被4除余3．14．【答案】【详解】先分类讨论人员分组情况：当张三､李四､王五所在组恰有3人时，余下9人分成2组，有210种方法；当张三､李四､王五所在组恰有4人时，先从其他9人中选1人到这组，再将余下8人分成2组，有种方法；当张三､李四､王五所在组恰有5人时，先从其他9人中选2人到这组，余下7人分成2组，有种方法；当张三､李四､王五所在组恰有6人时，先从其他9人中选3人到这组，余下6人分成2组，有种方法．再将三组人员分配到三个镇：因为这三组分配到三个地区有种方法，所以安排方法总数为．15．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）因为展开式中第二､三､四项二项式系数成等差数列，所以，解得．（2）由（1）知，令，可得．（3）由题意知，为的系数，所以．16．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由，得，所以，所以，所以是以3为公比的等比数列，又，所以．（2）由（1）知，所以，因为为递增数列，所以恒成立，所以，即对任意正整数恒成立，即，因为为递增数列，所以，所以，即实数的取值范围为．17．【答案】(1)种(2)种(3)种【详解】（1）若小王和大王有且只有一个被抽到，其抽取方法有2种，又红桃被抽到，则在剩余的9张牌中随机抽取1张，其抽取方法有9种，则不同的抽取方法共有种．（2）根据题意，分2种情况讨论：①小王和大王2张都被抽到，且红桃A没有被抽到，不同的抽取方法有种，②小王和大王2张中有且只有1张被抽到，且红桃A没有被抽到，不同的抽取方法有种．则共有种不同的抽取方法．（3）第一步：将红桃9和红桃10捆绑在一起有种方法，第二步：将红桃5，红桃6，红桃7抽出2张捆绑在一起有种方法，第三步：将红桃9，10组成的整体与红桃8排，共有中排法，第四步：将红桃种组成的两部分插空到第三步排列形成的三个空中，有种，故共有种．18．【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.【详解】（1）设，因为双曲线的方程为，即，所以，所以．又，所以，所以椭圆的方程为．（2）设，由点为线段的中点，所以．联立，解得或，所以或，因为，代入的坐标得，所以直线的方程为，即．（3）当轴时，，由，得，所以，又，则，所以的面积为．当与轴不垂直时，设直线，由，得，即①，联立，消去并整理，得所以，即，代入①，得，所以又点到直线的距离，所以的面积为，综上，的面积为定