第7章 一元一次不等式与不等式组（教师版）3

2023-2024学年沪科新版数学七年级下册章节培优复习知识讲练第7章一元一次不等式与不等式组（思维导图+知识梳理+十一大重点考向举一反三讲练）1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.知识点01：不等式【高频考点精讲】1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.【易错点剖析】（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2.不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．不等式的基本性质4：如果a＞b，那么b＜a.不等式的基本性质5：如果a＞b，b＞c，那么a＞c.知识点02：一元一次不等式【高频考点精讲】1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，【易错点剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.【易错点剖析】列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.知识点03：一元一次不等式组

【高频考点精讲】关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.

【易错点剖析】（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.

（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．重点考向01：不等式的性质重点考向02：不等式的解集重点考向03：在数轴上表示不等式的解集重点考向04：解一元一次不等式重点考向05：一元一次不等式的整数解重点考向06：由实际问题抽象出一元一次不等式重点考向07：一元一次不等式的应用重点考向08：解一元一次不等式组重点考向09：一元一次不等式组的整数解重点考向10：由实际问题抽象出一元一次不等式组重点考向11：一元一次不等式组的应用重点考向01：不等式的性质【典例精讲】（2023秋•镇海区校级期末）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（）A．a﹣2023＞b﹣2023 B．﹣2023a＜﹣2023b C． D．a+c＞b+c【思路点拨】根据不等式性质知直接判断即可得到答案．【规范解答】解：由题意可得，∵a＞b，∴a﹣2023＞b﹣2023，﹣2023a＜﹣2023b，a+c＞b+c，当c＜0时，，故选：C．【考点评析】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．【变式训练1-1】（2023春•番禺区校级月考）a，b都是实数，且a＜b，则下列不等式正确的是（）A．a+3＞b+3 B． C．5a＜5b D．1﹣a＜1﹣b【思路点拨】根据不等式的基本性质，逐项判断即可．【规范解答】解：A．∵a＜b，∴a+3＜b+3，故该选项不正确，不符合题意；B．∵a＜b，∴，故该选项不正确，不符合题意；C．∵a＜b，∴5a＜5b，故该选项正确，符合题意；D．∵a＜b，∴1﹣a＞1﹣b，故该选项不正确，不符合题意．故选：C．【考点评析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【变式训练1-2】（2023春•吉首市期末）阅读下列材料：问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围解：∵x﹣y＝2，∴x＝y+2，又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1，又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0①∴﹣1+2＜y+2＜0+2即1＜x＜2②①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．请按照上述方法，完成下列问题：（1）已知x﹣y＝5，且x＞﹣2，y＜0，①试确定y的取值范围；②试确定x+y的取值范围；（2）已知x﹣y＝a+1，且x＜﹣b，y＞2b，若根据上述做法得到3x﹣5y的取值范围是﹣10＜3x﹣5y＜26，请直接写出a、b的值．【思路点拨】（1）①根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可求得y的取值；②由①得﹣7＜y＜0，进而求得﹣2＜y+5＜5，即﹣2＜x＜5，即可求得x+y的取值范围；（2）根据题意求得a+b+1＜﹣y＜﹣2b，2b+a+1＜x＜﹣b，然后利用不等式的性质求解3x﹣5y的取值范围，从而得到关于a，b的方程求解．【规范解答】解：（1）①∵x﹣y＝5，∴x＝y+5，∵x＞﹣2，∴y+5＞﹣2，∴y＞﹣7，∵y＜0，∴﹣7＜y＜0，②由①得﹣7＜y＜0，∴﹣2＜y+5＜5，即﹣2＜x＜5②，∴﹣7﹣2＜y+x＜0+5，∴x+y的取值范围是﹣9＜x+y＜5；（2）∵x﹣y＝a+1，∴x＝y+a+1，∵x＜﹣b，∴y+a+1＜﹣b，∴y＜﹣a﹣b﹣1，∴﹣y＞a+b+1，∵y＞2b，∴﹣y＜﹣2b，∴a+b+1＜﹣y＜﹣2b①，∴10b＜5y＜﹣5a﹣5b﹣5，∵2b+a+1＜y+a+1＜﹣b，∴2b+a+1＜x＜﹣b，∴6b+3a+3＜3x＜﹣3b②，∴11b+8a+8＜3x﹣5y＜﹣13b，∴①+②得：5b+5a+5+6b+3a+3＜3x﹣y＜﹣10b﹣3b，∵3x﹣y的取值范围是﹣10＜3x﹣5y＜26，∴，解得：．【考点评析】本题考查了一元一次不等式的性质，仔细阅读材料，理解解题过程是解答本题的关键．重点考向02：不等式的解集【典例精讲】（2023春•凤凰县期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，两个不等式的解集相同，则称A与B为同解不等式．（1）若关于x的不等式A：1﹣3x＞0，不等式B：＜1是同解不等式，求a的值；（2）若关于x的不等式C：x+1＞mn，不等式D：x﹣3＞m是同解不等式，其中m，n是正整数，求m，n的值；（3）若关于x的不等式P：（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0，不等式Q：﹣2x是同解不等式，试求关于x的不等式（a﹣4b）x+2a﹣3b＜0的解集．【思路点拨】（1）利用题干中的同解不等式的定义求解；（2）利用题干中的同解不等式的定义及整除定义求解；（3）利用题干中的同解不等式的定义求出字母的取值，再解字母系数的不等式．【规范解答】解：（1）解关于x的不等式A：1﹣3x＞0，得x＜，解不等式B：＜1，得x＜，由题意得：＝，解得：a＝1．（2）解不等式C：x+1＞mn得：x＞mn﹣1，不等式D：x﹣3＞m得：x＞m+3，∴mn﹣1＝m+3，∴m＝，∵m，n是正整数，∴n﹣1为1或4或2，∴m＝4，n＝2或；m＝1，n＝5或m＝2，n＝3．（3）解不等式P：（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0得：x＞（2a﹣b＜0），解不等式Q：﹣2x得：x＞，∴＝，∴7a＝8b，∵2a﹣b＜0，∴4b＝3.5a，且a＜0，∴a﹣4b＝a﹣3.5a＝﹣2.5a＞0，∴（a﹣4b）x+2a﹣3b＜0的解为：x＜﹣．【考点评析】本题考查了不等式的性质及解不等式，理解新定义时解题的关键．【变式训练2-1】（2023春•岳麓区校级期末）若不等式组无解，则m的取值范围为（）A．m≤2 B．m＜2 C．m≥2 D．m＞2【思路点拨】根据大大小小无解集得到4m≤8，即可得出答案．【规范解答】解：根据题意得：4m≤8，∴m≤2．故选：A．【考点评析】本题考查了不等式的解集，不要忘记可以取等号是解题的关键．【变式训练2-2】（2020春•自贡期末）请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集过程．对于绝对值不等式|x|＜3，从图1的数轴上看：大于﹣3而小于3的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3；对于绝对值不等式|x|＞3，从图2的数轴上看：小于﹣3而大于3的绝对值是大于3的，所以|x|＞3的解集为x＜﹣3或x＞3．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足|x+y|≤3，其中m是负整数，求m的值．【思路点拨】根据题意由|x+y|≤3得出﹣3≤x+y≤3，解二元一次方程组，得出x+y＝﹣m﹣1，得到不等式组﹣3≤﹣m﹣1≤3，求出m值，结合m为负整数即可得出结果．【规范解答】解：∵|x+y|≤3，∴﹣3≤x+y≤3，解，①+②得：3x+3y＝﹣3m﹣3，∴x+y＝﹣m﹣1，则﹣3≤﹣m﹣1≤3，解得：﹣4≤m≤2，又m是负整数，∴m的值为﹣4或﹣3或﹣2或﹣1．【考点评析】本题考查了解一元一次不等式组和绝对值的意义，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键．重点考向03：在数轴上表示不等式的解集【典例精讲】（2023秋•隆回县期末）如图，小雨把不等式3x+1＞2（x﹣1）的解集表示在数轴上，则阴影部分盖住的数字是﹣3．【思路点拨】根据去括号、移项、合并同类项，可得不等式的解集，根据不等式解集的表示方法，可得答案．【规范解答】解：去括号，得3x+1＞2x﹣2，移项、合并同类项，得x＞﹣3，故答案为：﹣3．【考点评析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来＞或≥，向右画；＜或≤，向左画，注意在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．【变式训练3-1】（2023春•宝应县期末）整式的值为P．（1）当m＝2时，求P的值；（2）若P的取值范围如图所示，求m的非正整数值．【思路点拨】（1）把m＝2代入代数式中进行计算便可；（2）根据数轴列出m的不等式进行解答便可．【规范解答】解：（1）P＝3（﹣2）＝3×（﹣）＝﹣5，∴P的值为﹣5；（2）由数轴知：P≤7，即3（﹣m）≤7，解得m≥﹣2，m为非正整数，∴m＝0，﹣1或﹣2．【考点评析】本题考查了求代数式的值，解一元一次不等式的解集，不等式的解集的应用，第（2）题关键是根据数轴列出m的不等式．【变式训练3-2】（2022春•丛台区期末）整式5（m﹣）的值为P．（1）当m＝3时，求P的值；（2）若P的取值范围如图所示，求m的正整数值．【思路点拨】（1）把m＝3代入代数式中进行计算便可；（2）根据数轴列出m的不等式进行解答便可．【规范解答】解：（1）根据题意得：P＝5（3﹣）＝5×＝14．（2）由图可知：P≤9，即5（m﹣）≤9，解得m≤2．∵m为正整数，∴m＝1，2．【考点评析】本题考查了求代数式的值，解一元一次不等式的解集，不等式的解集的应用，第（2）题关键是根据数轴列出m的不等式．重点考向04：解一元一次不等式【典例精讲】（2023•东莞市三模）不等式x＜1﹣的解集为（）A．x＜2 B．x＜1 C．x＜ D．x＜﹣【思路点拨】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【规范解答】解：去分母，得：3x＜6﹣（x﹣2），去括号，得：3x＜6﹣x+2，移项，得：3x+x＜6+2，合并同类项，得：4x＜8，系数化为1，得：x＜2，故选：A．【考点评析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式训练4-1】（（2023•邢台二模）若不等式组的解集是x＞1，则不等式②可以是（）A．﹣2x＜4 B．﹣2x＞4 C．﹣2x≥4 D．﹣2x≤﹣4【思路点拨】根据不等式的解集同大取大的确定方法，就可以得出．【规范解答】解：由①得，x＞1，∵不等式组的解集是x＞1，∴不等式②可以是x＞a（a≤1），A、不等式﹣2x＜4解得x＞﹣2，﹣2＜1，故A符合题意；B、不等式﹣2x＞4解得x＜﹣2，故B不符合题意；C、不等式﹣2x≥4解得x≤﹣2，故C不符合题意；D、不等式﹣2x≤﹣4解得x≥2，2＞1，故D不符合题意；故选：A．【考点评析】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．【变式训练4-2】（2023春•邓州市期中）如图，在数轴上，点A、B分别表示数﹣2、﹣2x+6．（1）若x＝﹣1，则点A、B间的距离是多少？（2）若点B在点A右侧：①求x的取值范围；②判断：表示数﹣x+2的点应落在C（填序号）．A．点A左边B．点B右边C．线段AB上【思路点拨】（1）把x＝﹣1代入﹣2x+6计算出B表示的数，求出A，B之间的距离即可；（2）①由B在A的右侧，列出不等式，求出不等式的解集即可确定出x的范围；②根据x的范围判断出﹣x+2的范围，即可作出判断．【规范解答】解：（1）把x＝﹣1代入﹣2x+6得：原式＝2+6＝8，则AB＝8﹣（﹣2）＝8+2＝10；（2）①∵在数轴上，点A、B分别表示数﹣2、﹣2x+6，且点B在点A右侧，∴﹣2x+6＞﹣2，移项、合并同类项得：﹣2x＞﹣8，x系数化为1得：x＜4；②∵x＜4，∴﹣x+2＞﹣2，若﹣x+2＞﹣2x+6，则有x＞4，矛盾；∴﹣x+2＜﹣2x+6，则表示数﹣x+2的点应落在线段AB上．故答案为：C．【考点评析】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．重点考向05：一元一次不等式的整数解【典例精讲】（2023秋•义乌市期末）若关于x的不等式3x+2≤a的正整数解是1，2，3，4，则整数a的最小值是14．【思路点拨】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【规范解答】解：不等式的解集是：x≤，∵不等式的正整数解恰是1，2，3，4，∴4≤＜5，∴a的取值范围是14≤a＜17．∴整数a的最小值是14．故答案为：14．【考点评析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解出不等式的解集，正确确定的范围是解决本题的关键．解不等式时要用到不等式的基本性质．【变式训练5-1】（2023春•玄武区期末）已知关于x的不等式2x﹣m+1＜0的正整数解有且只有2个，则m的取值范围为5＜m≤7．【思路点拨】先解不等式，再根据题意列出不等式组求解．【规范解答】解：解关于x的不等式2x﹣m+1＜0得：x＜，由题意得：不等式的正整数解为：1，2，∴2＜≤3，解得：5＜m≤7，故答案为：5＜m≤7．【考点评析】本题考查了一元一次不等式的整数解，掌握解不等式的方法是截图的关键．【变式训练5-2】2023春•琼海校级期末）计算：（1）；（2）解不等式，并写出其非负整数解．【思路点拨】（1）根据含有乘方的有理数的运算法则，求一个数的立方根的运算，二次根运算法则即可求解；（2）根据不等式的性质求解，并找出其非负整数解即可．【规范解答】解：（1）＝﹣1+4﹣（﹣2）×3＝3+6＝9．（2）去分母得，4（2x﹣1）≥3（3x+2）﹣12，去括号得，8x﹣4≥9x+6﹣12，移项得，8x﹣9x≥﹣6+4，合并同类项得，﹣x≥﹣2，系数化为1得，x≤2，∴非负整数解为：0，1，2．【考点评析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，二次根式的运算，三次根式的运算，解一元一次不等式的综合，掌握以上知识是解题的关键．【变式训练5-3】（2023春•邗江区校级期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“友好不等式”，（1）不等式x≥2是x≤2的“友好不等式”；（填“是”或“不是”）；（2）若a≠﹣1，关于x的不等式x+3＞a与不等式ax﹣1≤a﹣x互为“友好不等式”，求a的取值范围；（3）若关于x的不等式x﹣m≥0不是2x﹣1＜x+2的“友好不等式”，则m的取值范围是m＜﹣1．【思路点拨】（1）根据友好不等式的定义即可求解；（2）分两种情况讨论根据友好不等式的定义得到含a的不等式，解得即可；（3）解不等式x+2m≥0可得x≥﹣2m，解不等式2x﹣1＜x+2得x＜3，再根据友好不等式的定义可得﹣2m＞2，解不等式即可求解．【规范解答】解：（1）∵不等式x≥2和不等式x≤2有公共解2，∴不等式x≥2是x≤2的“友好不等式”，故答案为：是；（2）①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，依题意有a﹣3＜1，即a＜4，故﹣1＜a＜4；②当a+1＜0时，即a＜﹣1时，始终符合题意，故a＜﹣1；综上，a的取值范围为a＜﹣1或﹣1＜a＜4；（3）解不等式x+2m≥0可得x≥﹣2m，解不等式2x﹣1＜x+2得x＜3，∵关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣1＜x+2的“友好不等式”，∴﹣2m＞2，解得m＜﹣1．故m的取值范围m＜﹣1．【考点评析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．重点考向06：由实际问题抽象出一元一次不等式【典例精讲】（2023春•灵丘县校级期末）某次知识竞赛共有25道题，每答对一题得5分，答错或不答都扣2分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，那么他答错或不答的题数为（25﹣x）根据题意，下列不等式正确的是（）A．5x﹣2（25﹣x）≥90 B．5x﹣2（25﹣x）≤90 C．5x﹣2（25﹣x）＞90 D．5x﹣2（25﹣x）＜90【思路点拨】根据每答对一题得5分，答错或不答都扣2分，小明得分要超过90分可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．【规范解答】解：设小明答对x道题，由题意可得：5x﹣2（25﹣x）＞90．故选：C．【考点评析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．【变式训练6-1】（2021春•海阳市期末）一次环保知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明的得分为优秀（85分或85分以上）．若设小明答对了x道题，则根据题意，得不等式为4x﹣（20﹣x）≥85．【思路点拨】将答对题数所得的分数减去答错或不答所扣的分数，在由题意知小明答题所得的分数大于等于85分，列出不等式即可．【规范解答】解：设小明答对了x道题，则他答错或不答的共有（25﹣x）道题，由题意得：4x﹣（20﹣x）≥85，故答案为：4x﹣（20﹣x）≥85．【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．本题尤其要注意所得的分数是答对题数所得的分数减去打错或不答所扣的分数．【变式训练6-2】（2022春•安阳期末）请根据小明同学解不等式的过程，完成下面各项任务：解不等式≥+1解：去分母，得2（x+1）≥3（2x﹣5）+1…………第一步去括号，得2x+2≥6x﹣5+1…………第二步移项，得2x﹣6x≥﹣5+1+2…………第三步合并同类项，得﹣4x≥﹣2…………第四步系数化为1，得x≥…………第五步所以不等式的解集为：x≥任务一：以上解题过程中，从第一步开始出现错误，错误的原因是去分母时两边都乘12时右边1漏乘12；任务二：请从出现错误的步骤开始，把正确的解答过程完整的写出来；任务三：请你根据平时的学习经验，写出一条解不等式时需要注意的事项．【思路点拨】任务一：去分母时两边都乘12时右边1漏乘12，据此可得答案；任务二：根据解一元一次不等式的步骤依次计算即可；任务三：去括号、移项、系数化为1均有错误，逐一解答即可．【规范解答】解：任务一：以上解题过程中，从第一步开始出现错误，错误的原因是两边都乘以12时右边1漏乘12，故答案为：一，两边都乘以12时右边1漏乘12；任务二：正确过程如下：去分母，得2（x+1）≥3（2x﹣5）+12，去括号，得2x+2≥6x﹣15+12，移项，得2x﹣6x≥﹣15+12﹣2，合并同类项，得﹣4x≥﹣5，系数化为1，得x≤；任务三：去括号时括号内每项都要乘括号前的常数，移项要变号，系数化为1时两边都乘或除以负数时不等号的方向要改变．【考点评析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．重点考向07：一元一次不等式的应用【典例精讲】（2023春•岚山区期末）某药品说明书中对用法用量有如图所示的表述，若一日每次服用相同剂量的药品，设每次服用药品的剂量为xmg，则x的取值范围是（）A．300≤x≤400 B．200≤x≤600 C．200≤x≤300 D．300≤x≤600【思路点拨】分别计算当一日服用2次和3次时x的取值范围，再将它们合并起来即可．【规范解答】解：当一日服用2次时，≤x≤，即300≤x≤600；当一日服用3次时，≤x≤，即200≤x≤400．∴300≤x≤600或200≤x≤400，在数轴上表示为∴200≤x≤600．故选：B．【考点评析】本题考查一元一次不等式的应用，这部分知识非常重要，一定要深刻理解、灵活运用．【变式训练7-1】（2023秋•遂川县期末）五一节前，某商店拟用2000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风共需费用800元．（1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？（2）该商店将A种品牌电风扇定价为280元/台，B种品牌电风扇定价为350元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？【思路点拨】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以计算出A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元；（2）根据题意和（1）中的结果，可以写出利润与购进A和B两种品牌的电风扇数量的函数关系式，再根据某商店拟用1000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，可以写出相应的方案，再分别计算出各种方案下的利润，即可得到获得最大利润的方案．【规范解答】解：（1）设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元，，解得，答：A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是200元、300元；（2）设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台，利润为w元，w＝（280﹣200）a+（350﹣300）b＝80a+50b，∵某商店拟用2000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，∴200a+300b＝2000且a≥1，b≥1，∴2a+3b＝20（a≥1，b≥1），∴或或，∴当a＝1，b＝6时，w＝80×1+50×6＝380，当a＝4，b＝4时，w＝80×4+50×4＝520，当a＝7，b＝2时，w＝80×7+50×2＝660，由上可得，当a＝7，b＝2时，w取得最大值，答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风2台．【考点评析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的知识解答．【变式训练7-2】（2023•河源一模）某加工厂用52500元购进A、B两种原料共40吨，其中原料A每吨1500元，原料B每吨1000元．由于原料容易变质，该加工厂需尽快将这批原料运往有保质条件的仓库储存．经市场调查获得以下信息：①将原料运往仓库有公路运输与铁路运输两种方式可供选择，其中公路全程120千米，铁路全程150千米；②两种运输方式的运输单价不同（单价：每吨每千米所收的运输费）；③公路运输时，每吨每千米还需加收1元的燃油附加费；④运输还需支付原料装卸费：公路运输时，每吨装卸费100元；铁路运输时，每吨装卸费220元．（1）加工厂购进A、B两种原料各多少吨？（2）由于每种运输方式的运输能力有限，都无法单独承担这批原料的运输任务．加工厂为了尽快将这批原料运往仓库，决定将A原料选一种方式运输，B原料用另一种方式运输，哪种方案运输总花费较少？请说明理由．【思路点拨】（1）设加工厂购进A种原料x吨，B种原料y吨，由题意：某加工厂用52500元购进A、B两种原料共40吨，其中原料A每吨1500元，原料B每吨1000元．列方程组，解方程组即可；（2）设公路运输的单价为a元/（t•km），铁路运输的单价为b元/（t•km），有两种方案，方案一：原料A公路运输，原料B铁路运输；方案二：原料A铁路运输，原料B公路运输；设方案一的运输总花费为m元，方案二的运输总花费为n元，分别求出m、n，再分情况讨论即可．【规范解答】解：（1）设加工厂购进A种原料x吨，B种原料y吨，由题意得：，解得：，答：加工厂购进A种原料25吨，B种原料15吨；（2）设公路运输的单价为a元/（t•km），铁路运输的单价为b元/（t•km），根据题意，有两种方案，方案一：原料A公路运输，原料B铁路运输；方案二：原料A铁路运输，原料B公路运输；设方案一的运输总花费为m元，方案二的运输总花费为n元，则m＝25×120×（a+1）+25×100+15×150×b+15×220＝3000a+2250b+8800，n＝15×120×（a+1）+15×100+25×150×b+25×220＝1800a+3750b+8800，∴m﹣n＝3000a+2250b+8800﹣（1800a+3750b+8800）＝1200a﹣1500b，当m﹣n＜0，即a＜b时，方案一运输总花费少，即原料A公路运输，原料B铁路运输，总花费少；当m﹣n＝0，即a＝b时，两种运输总花费相等；当m﹣n＞0，即a＞b时，方案二运输总花费少，即原料A铁路运输，原料B公路运输，总花费少；【考点评析】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用等知识；解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式或一元一次方程．重点考向08：解一元一次不等式组【典例精讲】（2023秋•岳阳期末）已知关于x的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是1＜x≤3，则a＝7；②当a＝3，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是11≤a＜13；④若它有解，则a＞3．其中正确的结论个数（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】本题主要首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而求出a的范围．【规范解答】解：，解不等式①，得x＞1．解不等式②，得x≤，所以不等式组的解集为1＜x≤，①∵它的解集是1＜x≤3，∴＝3，解得a＝7，故原结论正确；②∵a＝3，∴＝＝1，故不等式组无解，故原结论错误；③∵它的整数解仅有3个，∴4≤＜5，解得9≤a＜11．则a的取值范围是9≤a＜11，故原结论错误；④∵不等式组有解，∴＞1，∴a＞3，故本小题正确．所以正确的结论个数是2个．故选：B．【考点评析】本题考查的是解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式训练8-1】2024•肇源县开学）解不等式组：．【思路点拨】分别解两个不等式，然后按照“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定答案即可．【规范解答】解：解不等式①，得x＞﹣3，解不等式②，得x≤2，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2．【考点评析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤是解题关键．【变式训练8-2】（2024•金水区校级开学）解不等式是，在数轴上表示出其解集，并求出它的所有整数解的和．【思路点拨】先求出不等式组的解集，然后在数轴上表示出解集，求出所有整数解的和即可．【规范解答】解：．解得不等式①得：x＜3．解得不等式②得：x≥﹣1．所以不等式的解集为﹣1≤x＜3．在数轴上表示如下：所有整数解的和为：﹣1+0+1+2＝2．【考点评析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟悉解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键【变式训练8-3】（2023春•大竹县校级期末）我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞＝3，＜3＞＝4，＜﹣2.5＞＝﹣2．根据上述规定，解决下列问题：（1）[﹣4.5]＝﹣5，＜3.01＞＝4；（2）若x为整数，且[x]+＜x＞＝2017，求x的值；（3）若x、y满足方程组，求x、y的取值范围．【思路点拨】（1）根据[a]表示不大于a的最大整数，＜a＞表示大于a的最小整数，进行计算即可；（2）根据[x]+＜x＞＝2017，可得x+（x+1）＝2017，进而得到x＝1008；（3）解方程组可得，再根据[a]表示不大于a的最大整数，＜a＞表示大于a的最小整数，即可得到x、y的取值范围．【规范解答】解：（1）由题可得[﹣4.5]＝﹣5，＜3.01＞＝4，故答案为：﹣5，4；（2）∵[x]≤x，且x为整数，∴[x]＝x，∵＜x＞＞x，且x为整数，∴＜x＞＝x+1，∵[x]+＜x＞＝2017，∴x+（x+1）＝2017，解得x＝1008；（3）解原方程组，得，又∵[x]表示不大于x的最大整数，＜x＞表示大于x的最小整数，∴﹣1≤x＜0，2≤y＜3．【考点评析】本题主要考查了解一元一次不等式组以及二元一次方程组，解题时注意：[a]表示不大于a的最大整数，＜a＞表示大于a的最小整数．重点考向09：一元一次不等式组的整数解【典例精讲】（2023春•开福区校级月考）若关于x的一元一次方程有正整数解，且使关于x的不等式组最少有4个整数解，则满足所有条件的整数a的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【思路点拨】解含参的一元一次方程及一元一次不等式组，根据已知条件确定a的取值，然后将它们相加即可．【规范解答】解：，解得：x＝，∵原方程有整数解，∴为整数，，由①可得x≤4a，②可得x＞12，∵原不等式组最多有3个整数解，∴它的三个整数解为：13，14，15，16，∴13≤4a＜17，解得：3.75≤a＜4.25，∵为整数，∴a＝4，故选：B．【考点评析】本题主要考查解含参的一元一次方程及不等式组确定参数的取值，结合已知条件确定m的取值范围并且确定为整数是解题的关键．【变式训练9-1】（2024•金水区校级开学）已知关于x的不等式组只有3个整数解，则实数a的取值范围是﹣2≤a＜﹣1．【思路点拨】先解不等式组，然后根据不等式组解的情况确定a的取值范围即可．【规范解答】解：，有②得：﹣2x≥﹣2，x≤1，∵关于x的不等式组只有3个整数解，∴a＜x≤1，∵关于x的不等式组只有3个整数解，∴x＝1或0或﹣1，∴﹣2≤a＜﹣1，故答案为：﹣2≤a＜﹣1．【考点评析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是根据解的情况确定a的取值范围．【变式训练9-2】（2023春•海州区期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“关联方程”．（1）在方程①3（x+1）﹣x＝9；②4x﹣7＝0；③中，不等式组的“关联方程”是①②；（填序号）（2）若关于x的方程2x﹣k＝6是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围；（3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围．【思路点拨】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；（2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出x＝，最后根据“关联方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可；（3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出1≤m＜，然后求出方程的解为x＝6m﹣7，根据“关联方程”的定义得出＜m≤，即可得出＜m＜．【规范解答】解：（1）①3（x+1）﹣x＝9，解得：x＝3，②4x﹣7＝0，解得：x＝，③，解得：x＝1，，解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x≤5，∴原不等式组的解集为：1＜x≤5，∴不等式组的“关联方程”是：①②，故答案为：①②；（2），解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x≤7，∴原不等式组的解集为：﹣1≤x≤7，2x﹣k＝6，解得：x＝，∵关于x的方程2x﹣k＝6是不等式组的“关联方程”，∴﹣1≤≤7，解得：﹣8≤k≤8；（3）关于x的方程，解得：x＝6m﹣7，，解不等式①得：x＞0，解不等式②得：x≤3m+1，∴原不等式组的解集为：0＜x≤3m+1，∵不等式组有4个整数解，∴整数的值为1，2，3，4，∴4≤3m+1＜5，∴1≤m＜，∵关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，∴，解得：＜m≤．∴m的取值范围是＜m＜．【考点评析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“关联方程”是解题的关键．【变式训练9-3】（2021春•凤凰县期末）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（mx+ny）（x+2y）（其中m，n均为非零常数）．例如：T（1，1）＝3m+3n．（1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8．①求m，n的值；②若关于p的不等式组恰好有3个整数解，求a的取值范围；（2）当x2≠y2时，T（x，y）＝T（y，x）对任意有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式．【思路点拨】（1）①构建方程组即可解决问题；②根据不等式即可解决问题；（2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题；【规范解答】解：（1）①由题意，得，∴，②由题意，得解不等式①，得p＞﹣1．解不等式②，得．∴．∵恰好有3个整数解，∴．∴42≤a＜54．（2）由题意：（mx+ny）（x+2y）＝（my+nx）（y+2x），∴mx2+（2m+n）xy+2ny2＝2nx2+（2m+n）xy+my2，∵对任意有理数x，y都成立，∴m＝2n．【考点评析】本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．重点考向10：由实际问题抽象出一元一次不等式组【典例精讲】（2023春•交城县期末）在学校读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们．如果每人分5本，那么剩余6本；如果每人分7本，那么最后一人虽分到书但不足7本，问这些图书最多有多少本？设这些图书有x本，则可列不等式组为1≤x﹣7（）＜7．【思路点拨】设这些图书有x本，则最后一人分到[x﹣7（）]本，根据最后一人虽分到书但不足7本，可得出不等式．【规范解答】解：设这些图书有x本，则最后一人分到[x﹣7（）]本，根据题意得：1≤x﹣7（）＜7．故答案为：1≤x﹣7（）＜7．【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，解答时根据题意中的不相等关系建立不等式组是关键．【变式训练10-1】（2023春•丹徒区期末）【阅读材料】我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离．例如|x|＝|x﹣0|表示数轴上表示x这个数的点到原点的距离，那么式子|x﹣1|可理解为：数轴上表示x这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式|x﹣1|≤2则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在﹣1和3之间（包含﹣1和3两个点），这样我们就可以得到不等式|x﹣1|≤2的解集为：﹣1≤x≤3；【解决问题】参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题：（1）不等式|x|≤5的解集为﹣5≤x≤5；（2）不等式|x﹣2|≥2的解集为x≤0或x≥4；（3）不等式2|x+1|﹣3＜5的解集为﹣5≤x≤3；（4）不等式|x﹣3|+|x+4|＜8的解集为﹣4.5＜x＜3.5；（5）对于任意数x，若不等式|x+3|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围．【思路点拨】（1）根据绝对值的意义及数轴求解；（2）根据绝对值的意义及数轴求解；（3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解；（4）结合数轴，再根据绝对值的意义及数轴求解；（5）根据绝对值的意义及数轴求解．【规范解答】解：（1）不等式|x|≤5的解集为：﹣5≤x≤5；故答案为：﹣5≤x≤5；（2）不等式|x﹣2|≥2的解集为：x≤0或x≥4；故答案为：x≤0或x≥4；（3）不等式2|x+1|﹣3＜5的解集为：﹣5＜x＜3；故答案为：﹣5＜x＜3；（4）不等式|x﹣3|+|x+4|＜8的解集为：﹣4.5＜x＜3.5；故答案为：﹣4.5＜x＜3.5；（5）当x≤﹣3时，|x+3|+|x﹣2|＝﹣x﹣3﹣x+2＝﹣2x﹣1≥5，当﹣3＜x≤2时，|x+3|+|x﹣2|＝x+3+2﹣x＝5，当x＞2时，|x+3|+|x﹣2|＝x+3+x﹣2＝2x+1＞5，∴|x+3|+|x﹣2|≥5，∴a≤5．【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解绝对值的意义是解题的关键．【变式训练10-2】（2023春•武都区期末）为丰富学生课余生活，学校准备购买象棋和围棋共120副，已知象棋的单价为每副25元，围棋的单价为每副30元，其中购买围棋的数量不少于象棋数量的2倍，且总费用不超过3500元．设购买围棋的数量为m，列出关于m的不等式组并求出m的取值范围．【思路点拨】设购买围棋的数量为m，则设购买象棋的数量为120﹣m，根据题意列出不等式组，解不等式组即可得到结论．【规范解答】解：设购买围棋的数量为m，则设购买象棋的数量为120﹣m，根据题意得，，解得80≤m≤100，答：m的取值范围为80≤m≤100．【考点评析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．重点考向11：一元一次不等式组的应用【典例精讲】（2023春•武汉期末）“武汉是座英雄的城市”．在抗击“新冠肺炎”这场没有硝烟的战斗中，广大医务工作者奋战在抗疫的一线前沿是生命中“最美的逆行者”．某方舟医院安排若干名护士负责护理一批新冠病人，若每位护士护理4名病患，有20名患者没有人护理；若安排每位护士护理8名患者，就有一位护士护理的病人多于1人且不足8人．这个方舟医院安排了（）名护士护理新冠病人．A．8 B．7 C．6 D．5【思路点拨】设医院安排了x名护士护理新冠病人，由题意得1＜4x+20﹣8（x﹣1）＜8，解不等式即可．【规范解答】解：设医院安排了x名护士护理新冠病人，由题意得1＜4x+20﹣8（x﹣1）＜8，解得5＜x＜6，∵x为整数，所以x＝6．故选：C．【考点评析】本题考查一元一次不等式组的应用，由题意列出不等式是解题的关键．【变式训练11-1】（2023秋•齐河县期末）为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我州北部某市向南部某贫困县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套．（1）求书籍和实验器材各有多少套？（2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县．已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套．运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来．（3）在（2）的条件下，如果甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元．假设你是决策者，应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？【思路点拨】（1）设书籍和实验器材分别为x、y套，根据题意书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套，列方程解答即可；（2）设安排甲型号的货车a辆，则安排乙型号的货车（8﹣a）辆，根据题意列不等式求a的取值范围，根据a取整数，可得a的取值为0，1，2，3，4，故有4种方案；（3）根据（2）中的5种方案和甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元，分别求得运费，求出最少运费即可；【规范解答】解：（1）设书籍和实验器材分别为x、y套．