第四模块 比和比例【二十二大考点】-2024年小升初数学典型例题系列（解析版）2

休对故人思故国，且将新火试新茶。诗酒趁年华。休对故人思故国，且将新火试新茶。诗酒趁年华。—北宋·苏轼《望江南·超然台作》2024年小升初数学典型例题系列第四模块比和比例【二十二大考点】【第一篇】专题解读篇本专题是第四模块比和比例。本部分内容是对“比和比例”模块的综合预测，根据考察频率、考题难度、重点难点，按到划分区间，内容覆盖广泛，又具有极强的针对性，建议作为小升初复习基础内容进行讲解与训练，一共划分为二十二个考点，欢迎使用。【第二篇】目录导航篇TOC\o"1-1"\h\u【考点一】比的意义、读写与组成。 3【考点二】比的基本性质。 4【考点三】化简比与求比值。 4【考点四】整、小、分、百、比、除法、成数、折数互化。 5【考点五】求比问题其一。 6【考点六】求比问题其二。 8【考点七】按比例分配问题其一。 12【考点八】按比例分配问题其二。 14【考点九】按比例分配问题其三。 16【考点十】比例的意义。 19【考点十一】比例的基本性质。 19【考点十二】解比例。 20【考点十三】判断比例关系。 22【考点十四】正比例与反比例基本意义与实际应用。 24【考点十五】比例尺的意义与改写。 26【考点十六】比例尺与图形的放大缩小综合作图。 27【考点十七】比例尺与行程问题。 30【考点十八】比例尺与图形问题。 31【考点十九】比例尺与分段计费问题。 32【考点二十】正比例与实际应用。 34【考点二十一】反比例与实际应用。 35【考点二十二】不变量问题。 36【第三篇】典型例题篇【考点一】比的意义、读写与组成。1．a除以b的商是，a与b的比是()。【答案】3∶5【分析】根据比的意义可知：a÷b＝a∶b。a除以b的商是，也就是a∶b的比值是，即a∶b＝。根据分数与比的关系可知：＝3∶5，所以a∶b＝3∶5。【详解】a∶b＝a÷b＝＝3∶5所以，a与b的比是3∶5。2．东汉名医张仲景在《金匮要略》中曾写道“茯苓四两，桂枝三两，白术三两，甘草二两”。这就是著名的苓桂术甘汤方。根据这个药方，请你写出两个比：()、()。【答案】4∶33∶2【分析】根据药方的数值来写比，把其中一种药材的重量作比的前项，另一种药材的重量作比的后项，中间加上“∶”即可。【详解】茯苓与桂枝的质量比是4∶3白术与甘草的质量比是3∶2因此根据这个药方，可写出两个比是4∶3、3∶2。【考点二】比的基本性质。1．7∶12的前项增加14，要使比值保持不变，后项应增加()。【答案】24【分析】比的前项加上前项的几倍，后项就加上后项的几倍，比值不变，据此分析。【详解】14÷7×12＝247∶12的前项增加14，要使比值保持不变，后项应增加24。2．将7∶12的前项乘4，要使比值不变，后项应增加()；比例5∶3＝10∶6的外项均加上10，如果内项3不变，要使比例仍然成立，内项10应增加()。【答案】3670【分析】第一空，比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变；求出变化后的后项，再求变化前后的后项之差。第二空，根据在比例中，两内项之积等于两外项之积进行解答。【详解】12×4－12＝36将7∶12的前项乘4，要使比值不变，后项应增加36。5＋10＝15，6＋10＝1615×16÷3＝80新的比例是：15∶3＝80∶1680－10＝70比例5∶3＝10∶6的外项均加上10，如果内项3不变，要使比例仍然成立，内项10应增加70。【考点三】化简比与求比值。1．∶0.35化成最简单的整数比是()，比值是()。【答案】2∶12【分析】化简比根据比的基本性质，即比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，化简比的结果还是一个比；求比值直接用最简比的前项÷后项即可，求比值的结果是一个数。【详解】∶0.35＝0.7∶0.35＝70∶35＝（70÷35）∶（35÷35）＝2∶1＝2÷1＝2∶0.35化成最简单的整数比是2∶1，比值是2。2．把平方千米∶5公顷化成最简整数比是()，∶1.25的比值是()。【答案】3∶1/0.1【分析】根据1平方千米＝100公顷，统一单位后，第一空根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变。第二空用比的前项除以后项即可求出比值。【详解】平方千米∶5公顷＝15公顷∶5公顷＝（15÷5）∶（5÷5）＝3∶1∶1.25＝÷＝×＝把平方千米∶5公顷化成最简整数比是3∶1，∶1.25的比值是。【考点四】整、小、分、百、比、除法、成数、折数互化。1．＝0.25＝()∶40＝4÷()＝()%＝()（折扣）＝()（成数）。【答案】4；10；16；25；二五折；二成五【分析】从0.25入手，先将小数化成分数，然后根据分数与除法和比的关系，分数中的分子相当于除法中的被除数（比的前项），分数中的分母相当于除法中的除数（比的后项），结合它们通用的基本性质进行转化；小数化百分数，小数点向右移动两位，添上百分号即可；几折就是百分之几十，据此确定折数；几成就是百分之几十，据此确定成数。【详解】＝二五折＝二成五综上所述：＝二五折＝二成五。2．()40%()＝()成＝()（填小数）。【答案】2；6；45；四；0.4【分析】从40%入手，百分数是40%＝四成，把40%化成小数是0.4，化成分数是，根据比与分数的关系＝2∶5；根据比的基本性质比的前、后项都乘3就是6∶15；根据分数与除法的关系，根据分数的基本性质的分子、分母都乘9就是＝，根据分数与除法的关系，＝18÷45，据此解答。【详解】640%45＝四成＝0.4（填小数）。【考点五】求比问题其一。1．实验小学男教师的人数占女教师的，男教师的人数与女教师人数的比是()，男教师的人数占全校教师总人数的()%。【答案】2∶340【分析】第一个空，将女教师人数看作单位“1”，两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出男教师与女教师对应分率的比，化简即可；第二个空，总人数是女教师人数的（1＋），男教师对应分率÷总人数对应分率＝男教师是总人数的百分之几，据此列式计算。【详解】∶1＝（×3）∶（1×3）＝2∶3÷（1＋）＝÷＝×＝＝0.4＝40%男教师的人数与女教师人数的比是2∶3，男教师的人数占全校教师总人数的40%。2．明明家十月份用电量比九月份节约了30%，九月份与十月份的用电量之比是()。【答案】10∶7【分析】将九月份用电量看作单位“1”，那么十月份用电量是九月份的（1－30%）。据此，再求出九月份和十月份的用电量之比。【详解】1∶（1－30%）＝1∶70%＝（1×10）∶（70%×10）＝10∶7所以，九月份与十月份的用电量之比是10∶7。3．小明卡牌数量的40%等于小亮卡牌数量的75%，那么小明卡牌数量与小亮卡牌数量的最简整数比是()。【答案】15∶8【分析】根据小明卡牌数量的40%等于小亮卡牌数量的75%，写成等式的形式为小明卡牌数量×40%＝小亮卡牌数量×75%，再根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，把等式改写成比例的形式，据此解答。【详解】因为小明卡牌数量×40%＝小亮卡牌数量×75%所以小明卡牌数量∶小亮卡牌数量＝75%∶40%75%∶40%＝0.75∶0.4＝（0.75×100）∶（0.4×100）＝75∶40＝（75÷5）∶（40÷5）＝15∶8因此小明卡牌数量与小亮卡牌数量的最简整数比是15∶8。4．从书架的上层取出放到下层，这时两层的本数相等。原来上层和下层的本数比是()。【答案】3∶2【详解】把上层原来的书本本数看作单位“1”，如果上层取出放到下层，两层的本数相等，则现在下层的本数是上层原来的（1－），原来下层的本数是上层原来的（1－－），据此可知原来上层和下层的本数比是1∶（1－－），再化简即可，化简比根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变；【分析】1∶（1－－）＝1∶＝（1×3）∶（×3）＝3∶2【点睛】此题主要考查了分数和比的关系以及化简比的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数。【考点六】求比问题其二。1．配置一种盐水，在75克水中加入3克盐，盐与盐水的比是()。()克水中加入18克盐才能配置成相同浓度的盐水。【答案】1∶26450【分析】根据比的意义，用盐的质量∶盐水的质量，用3∶（3＋75），化简，求出盐与盐水的比；根据比的应用可知，盐的质量∶盐水的质量＝，用盐的质量÷，求出盐水的质量，再减去盐的质量，即可解答。【详解】3∶（75＋3）＝3∶78＝（3÷3）∶（78÷3）＝1∶2618÷－18＝18×26÷18＝468－18＝450（克）配置一种盐水，在75克水中加入3克盐，盐与盐水的比是1∶26；450克水中加入18克盐才能配置成相同浓度的盐水。【点睛】熟练掌握比的意义以及比的应用是解答本题的关键。2．六（1）班有男生30人，女生25人。男生人数是女生的()倍，女生人数与男生人数的最简单的整数比是()，女生人数占总人数的，男生人数占总人数的。【答案】1.2；5∶6；；【分析】用男生人数除以女生人数，就是男生人数是女生人数的多少倍；用女生人数比男生人数，再化简解答；用女生人数除以全班人数，就是女生人数占总人数的几分之几；用男生人数除以全班人数，就是男生人数占总人数的几分之几。据此解答即可。【详解】30÷25＝1.225∶30＝（25÷5）∶（30÷5）＝5∶625÷（30＋25）＝25÷55＝＝30÷（30＋25）＝30÷55＝＝所以，男生人数是女生人数的1.2倍，女生人数与男生人数的最简单的整数比是5∶6，女生人数占总人数的，男生人数占总人数的。【点睛】本题考查比的意义、化简比，求一个数是另一个数的几分之几，关键是看把谁看成了单位“1”，单位“1”的量为除数。3．从甲地到乙地，小李用了4小时，小张用了5小时。小李和小张所用的时间比是()，小李和小张的速度比是()。【答案】4∶55∶4【分析】根据比的意义，用小李用的时间比小张用的时间即可；根据路程不变，把路程看作“1”，速度＝路程÷时间，求出两人的速度，再求出两人的速度之比，据此解答即可。【详解】小李和小张所用的时间比是：；小李的速度：1÷4＝小张的速度：1÷5＝小李和小张的速度比是：。【点睛】本题考查比的化简，解答本题的关键是掌握比的概念。4．加工同一种零件，李师傅15分钟可以完成，张师傅20分钟可以完成。李师傅和张师傅加工这种零件所用时间的比是()，李师傅和张师傅工作效率的比是()。【答案】3∶44∶3【分析】把这种零件看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，先分别求出李师傅的工作效率和张师傅的工作效率，然后写出李师傅和张师傅的时间比以及工作效率比，再化简即可。【详解】1÷15＝1÷20＝15∶20＝（15÷5）∶（20÷5）＝3∶4∶＝（×60）∶（×60）＝4∶3李师傅和张师傅加工这种零件所用时间的比是3∶4，李师傅和张师傅工作效率的比是4∶3。【点睛】本题主要考查了比的意义和化简，熟记工作总量、工作时间和工作效率三者之间的关系是解题的关键。5．芳芳画了两个大小不同的正方形（如图），正方形甲与正方形乙周长的比是()，面积的比是()。

【答案】5∶325∶9【分析】根据正方形的周长公式：C＝4a，正方形的面积公式：S＝a2，据此分别求出两个正方形的周长和面积，进而求出它们的周长之比和面积之比。【详解】（10×4）∶（6×4）＝40∶24＝（40÷8）∶（24÷8）＝5∶3（10×10）∶（6×6）＝100∶36＝（100÷4）∶（36÷4）＝25∶9则正方形甲与正方形乙周长的比是5∶3，面积的比是25∶9。【点睛】本题考查比的意义，结合正方形的周长和面积的计算方法是解题的关键。6．小铁环直径6分米，大铁环半径4分米。大铁环和小铁环半径的比是()；周长的比是()；面积的比是()。【答案】4∶34∶316∶9【分析】比的意义：两个数相除又叫做两个数的比，比表示两个数之间的相除关系；已知小铁环直径6分米，大铁环半径4分米，根据圆的周长＝2πr＝πd，圆的面积＝πr2，分别求两个圆的周长和面积，即可求得其周长比和面积比。【详解】大铁环和小铁环半径比：4∶（6÷2）＝4∶3大铁环和小铁环的周长比是（2π×4）∶（π×6）＝8π∶6π＝（8π÷2π）∶（6π÷2π）＝4∶36÷2＝3（分米）面积比是：（π×42）∶（π×32）＝16π∶9π＝（16π÷π）∶（9π÷π）＝16∶9小铁环直径6分米，大铁环半径4分米。大铁环和小铁环半径的比是4∶3；周长的比是4∶3；面积的比是16∶9。【点睛】此题主要考查圆的周长和面积的计算方法的灵活应用、比的意义以及化简，要熟练掌握每个知识点。【考点七】按比例分配问题其一。1．星期天，乐乐帮妈妈包韭菜猪肉馅饺子，韭菜与猪肉的质量比是。现在要准备450克这样的馅料，需要韭菜、猪肉各多少克？【答案】韭菜300克，猪肉150克【分析】根据韭菜与猪肉的质量比是，可把韭菜看作2份，猪肉看作1份，总份数为2＋1＝3份。先用总重量除以总份数求出一份是多少克，即为猪肉的重量，再用一份的重量×2即为韭菜的重量。【详解】450÷（2＋1）＝450÷3＝150（克）150×2＝300（克）答：需要韭菜300克，猪肉150克。2．学校合唱图男、女生人数的比是3∶5，已知男生比女生少18人。（1）画图表示数量关系。（2）女生有多少人？【答案】（1）见详解（2）45人【分析】（1）将比的前后项看成份数，画一条线段表示男生人数，将男生人数平均分成3份，女生有这样的5份，男生比女生少（5－3）份，少18人，据此画图标注数据（2）人数差÷份数差，求出一份数，一份数×女生对应分率＝女生人数，据此列式解答。【详解】（1）（2）18÷（5－3）＝18÷2＝9（人）9×5＝45（人）答：女生有45人。3．实验小学扎染社团有28人，篆刻社团与扎染社团人数的比是5∶4，篆刻社团有多少人？【答案】28÷4×5【分析】篆刻社团与扎染社团人数的比是5∶4，也就是扎染社团人数有4份，则篆刻社团人数有5份，用28除以4求得1份的数量，再乘5即是篆刻社团的人数。据此解答。【详解】28÷4×5＝7×5＝35（人）答：篆刻社团有35人。【考点八】按比例分配问题其二。1．学校开辟了700平方米的科学实验田，准备分给六年级，其余的按5∶3分给五年级和四年级。三个年级实验田的面积分别是多少平方米？【答案】六年级300平方米；五年级250平方米；四年级150平方米【分析】将总面积看作单位“1”，将总面积乘，求出分给六年级的面积。利用减法求出分给五年级、四年级的面积。将四年级、五年级的面积和除以（5＋3）份，求出一份的面积，从而利用乘法分别求出四年级、五年级的面积。【详解】六年级：700×＝300（平方米）700－300＝400（平方米）400÷（5＋3）＝400÷8＝50（平方米）五年级：50×5＝250（平方米）四年级：50×3＝150（平方米）答：六年级实验田的面积是300平方米，五年级是250平方米，四年级是150平方米。2．用一条长108厘米的铁丝做成一个长方体模型，要求长、宽、高的比为2∶3∶4，如果每个面都用铁皮做成铁盒，那么这个铁盒的体积是多少？【答案】648立方厘米【分析】先用“”求出长方体的一条长、宽、高的和，再根据按比例分配知识分别求出长方体的长、宽、高；进而根据“长方体的体积长宽高”解答即可。【详解】（厘米）（厘米）（厘米）（厘米）（厘米）（立方厘米）答：这个铁盒的体积是648立方厘米。【点睛】考查了长方体有关棱长的应用、按比例分配及长方体体积，综合题，牢记公式是关键。3．客车和货车同时从相距480千米的两地出发，相向而行，经过3小时相遇。已知客车和货车的速度比是5∶3，客车每小时行多少千米？（用方程解）【答案】100千米【分析】根据客车和货车的速度比是5∶3，可知货车速度是客车速度的，设客车每小时行x千米，则货车每小时行x千米，根据客车速度×相遇时间＋货车速度×相遇时间＝总路程，列出方程解答即可。【详解】解：设客车每小时行x千米。3x＋x×3＝4803x＋x＝480x＝480x÷＝480÷x＝480×x＝100答：客车每小时行100千米。4．一个等腰三角形底角和顶角的度数比是1∶3，这个三角形最大的角是多少度？【答案】108度【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，又因为等腰三角形底角和顶角的度数比是1∶3，所以三角形的三个内角的比为1∶1∶3，即这个三角形最大的角的度数占三角形内角和的，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算即可。【详解】180×＝180×＝108（度）答：这个三角形最大的角是108度。5．用48厘米长的铁丝恰好围成一个长方形，这个长方形的长与宽的比是2∶1。这个长方形的面积是多少平方厘米？【答案】128平方厘米【分析】根据题意，48厘米是长方形的周长。长方形的周长＝（长＋宽）×2，则这个长方形的长＋宽＝周长÷2＝48÷2＝24（厘米）。这个长方形的长与宽的比是2∶1，则长占长、宽之和的，宽占长、宽之和的，分别用24乘这两个分数，即可求出长方形的长和宽。最后根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。【详解】（厘米）长：（厘米）宽：（厘米）面积：（平方厘米）答：这个长方形的面积是128平方厘米。【考点九】按比例分配问题其三。1．为了促进学生发展，我校开展了“我为青春添光彩，争做‘三杏（星）’好少年”的积“杏”兑奖活动（三杏即文明之杏、生活之杏、学习之杏）。同学们积攒到一定数量的“杏”就可以兑换自己喜欢的学习用品，紫萱同学的积杏卡上共有200个杏，其中文明之杏、生活之杏、学习之杏的数量之比刚好是2∶3∶5，那么紫萱同学获得文明之杏、生活之杏、学习之杏的数量分别是多少个？【答案】40个；60个；100个【分析】把200个平均分成（2＋3＋5）份，先用除法求出1份的个数，再用乘法分别求出2份（文明之杏）、3份（生活之杏）、5份（学习之杏）的个数。【详解】200÷（2＋3＋5）＝200÷10＝20（个）20×2＝40（个）20×3＝60（个）20×5＝100（个）答：紫萱同学获得文明之杏40个，生活之杏60个，学习之杏100个。【点睛】此题考查了比的应用。除按上述解答方法外，也可分别求出“三杏”所占的分率，再根据分数乘法的意义解答。2．六（1）班的劳动基地是一个半环形花坛，内圆靠墙（如图），花坛的最外围围了一圈栅栏，栅栏的长度是13.42米，同学们把花坛的面积按照1∶3∶4分别种植了月季、野菊和兰草三种花。这三种花的种植面积各是多少平方米？

【答案】1.57平方米，4.71平方米，6.28平方米【分析】如图所示，外围的圆弧长度是栅栏的长度减去2个环宽，是13.42－2×2＝9.42米，利用长度以及圆的周长公式求出外环的大半径，用大半径的长度减去环宽求出小半径，再代入圆环的面积公式，再除以2就是花坛的面积；将花坛的面积利用设份数的方法进行按比例分配，先求出1份的面积，再分别乘各种花所占的份数即可求出最终三种花的种植面积是多少。【详解】13.42－2×2＝13.42－4＝9.42（米）9.42÷3.14＝3（米）3－2＝1（米）（3.14×32－3.14×12）÷2＝（3.14×9－3.14×1）÷2＝（28.26－3.14）÷2＝25.12÷2＝12.56（平方米）月季：12.56÷（1＋3＋4）＝12.56÷8＝1.57（平方米）野菊：1.57×3＝4.71（平方米）兰草：1.57×4＝6.28（平方米）答：三种花的种植面积分别是月季1.57平方米、野菊4.71平方米、兰草6.28平方米。3．某工厂一车间有65人，二车间有70人，在总人数不变的情况下，因工作需要把一、二车间的人数比调整为4∶5，应该从一车间调动几人到二车间？【答案】5人【分析】把一、二车间的人数比调整为4∶5，此时一车间的人数占总人数的，根据分数乘法的意义，计算得出一车间的人数，再用一车间原来的人数减去变化后一车间的人数即可得解。【详解】（65＋70）×＝135×＝60（人）65－60＝5（人）答：应该从一车间调动5人到二车间。【考点十】比例的意义。1．在比例3∶7＝6∶14中，()和()是内项，()和()是外项。【答案】76314【分析】组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。【详解】在比例3∶7＝6∶14中，7和6是内项，3和14是外项。2．有些比例只用到三个不同的数，如果让你在1～9中选择，选择的数可以是()，一共有()种不同的选择。【答案】1、2、4或1、3、92【分析】根据比例的基本性质，在数字1～9中的三个不同的数，有1×9＝3×3和1×4＝2×2两个等式，据此写出比例式即可。【详解】1×9＝3×3组成的比例式为：1∶3＝3∶9；1×4＝2×2组成的比例式为：1∶2＝2∶4；选择的数可以是1、2、4或1、3、9，一共有2种不同的选择。【考点十一】比例的基本性质。1．在一个比例中两个内项的积是，一个外项是，另一个外项是()。【答案】【分析】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，直接用两个内项的积÷其中一个外项＝另一个外项，据此分析。【详解】÷＝×＝在一个比例中两个内项的积是，一个外项是，另一个外项是。2．在一个比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项为6，另一个内项是()。【答案】【分析】已知一个比例里的两个外项互为倒数，根据“乘积是1的两个数互为倒数”可知，这两个外项的积等于1；根据比例的基本性质“两个外项的积等于两个内项的积”可知，这个比例的两个内项的积也等于1，用1除以已知的一个内项，即可求出另一个内项。【详解】1÷6＝另一个内项是。3．在比例4∶12＝6∶18中，如果将前一个比的前项加上8，那么后一个比的后项应减去()，比例才仍然成立。【答案】12【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。根据题意可知，比例4∶12＝6∶18中的两个外项发生变化，两个内项不变；运用比例的基本性质，用两个内项的积除以其中一个变化的外项，即可求出另一个变化的外项，再用原来的外项减去变化后的外项，即可求出它应减去的数。【详解】12×6÷（4＋8）＝12×6÷12＝618－6＝12后一个比的后项应减去12，比例才仍然成立。【考点十二】解比例。1．解方程或比例。

【答案】；；【分析】（1）先把方程左边化简为，两边再同时乘3；（2）根据比例的基本性质，先把比例化为方程。两边再同时除以4；（3）根据比例的基本性质，先把比例化为方程。两边再同时乘10。【详解】解：解：解：2．解方程或解比例。

【答案】；；【分析】（1）先算，然后方程的两边同时加上的积，最后两边同时除以3；（2）利用比例的基本性质，将比例式化成方程后两边同时除以25；（3）利用比例的基本性质，将比例式化成方程后两边同时除以。【详解】解：解：解：【考点十三】判断比例关系。1．下面每题中的两种量是否有比例关系，若有，写出成什么比例关系。(1)某校三月份平均每天的用水量和三月份用水的总量()。(2)正方形的周长和它的边长()。(3)差一定，被减数和减数()。(4)小麦的总产量一定，小麦每公顷产量和公顷数()。(5)若，那么x与y()。【答案】(1)成正比例(2)成正比例(3)不成比例(4)成反比例(5)成反比例【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。【详解】（1）三月份是31天，三月份用水的总量÷平均每天的用水量＝三月份的天数（一定），平均每天的用水量和三月份用水的总量成正比例。（2）正方形周长公式；周长＝边长×4，周长÷边长＝4（一定），正方形周长和边长成正比例。（3）被减数－减数＝差（一定），被减数与减数不成比例。（4）小麦每公顷产量×公顷数＝小麦的总产量（一定），小麦每公顷产量和公顷数反比例。（5）＝，xy＝3×5；xy＝15（一定），x与y成反比例。2．如图是用荞麦做作原料缝制的圆柱形状的枕头。

(1)当圆柱枕的长度不变时，所需要的荞麦总量和底面积成()比例关系。(2)如果缝制一个圆柱枕所用的荞麦总量保持不变，圆柱枕的长度和底面积成()比例关系。【答案】(1)正(2)反【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。【详解】（1）所需要的荞麦总量÷圆柱枕的底面积＝圆柱枕的长（一定），商一定，那么所需要的荞麦总量和底面积成正比例关系。（2）圆柱枕的长×底面积＝需要的荞麦总量（一定），积一定，那么圆柱枕的长度和底面积成反比例关系。【点睛】掌握正、反比例的意义及辨识方法是解题的关键。3．和均不为0，当时，与成()比例关系；当时，与成()比例关系。【答案】反正【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是乘积一定；如果是比值（商）一定，则成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此解答。【详解】如果，则（一定），那么与成反比例关系；如果，则（一定），那么与成正比例关系。【点睛】此题属于辨识正反比例关系，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是乘积一定，再做判断。【考点十四】正比例与反比例基本意义与实际应用。1．磁悬浮列车匀速行驶，时间和路程的关系如下表。时间/分123456789路程/千米714212835（1）补充表格，然后在如图中描点，再顺次连接。（2）时间和路程成什么比例？为什么？（3）列车行驶4分半时，所行路程是多少千米？【答案】（1）见解析（2）正比例关系，理由见详解（3）31.5千米【分析】（1）横轴代表时间，纵轴代表人数，根据统计表，在统计图中找到对应的点，按顺序将各点连接。（2）如果时间和路程的的比值一定，则二者成正比例关系；如果时间和路程的的乘积一定，则二者成反比例关系；（3）根据路程÷时间＝速度，求出列车行驶速度，行驶速度×4分半的时间，求出所行驶的路程。【详解】（1）填表如下：时间/分123456789路程/千米71421283542495663统计图如下：（2）因为路程÷时间＝速度（一定），可知速度没有变，路程与时间之间成正比例关系。（3）4分半＝4.5分7×4.5＝31.5（千米）答：列车行驶4分半时，所行路程是31.5千米。2．某林场计划组织志愿者完成一批栽种任务，每人栽种的棵数与栽种的人数的关系如下表所示。每人栽种的棵数（棵）510152030人数（人）6030201510（1）如果每人栽种的棵数用m表示，需要的人数用t表示。用式子表示出m、t和栽种总棵数之间的关系是()，m和t成()比例关系，判断的理由是()。（2）如果这批栽种任务需要25人完成，每人需要栽种多少棵？【答案】（1）栽种总棵数＝mt；反；栽种总棵数一定，即m和t的积一定（2）12棵【分析】（1）每人栽种的棵数×人数＝栽种总棵数，据此用字母表示出m、t和栽种总棵数之间的关系。根据xy＝k（一定），x和y成反比例关系，确定比例关系。（2）设每人需要栽种x棵，根据每人栽种的棵数×人数＝栽种总棵数（一定），列出反比例算式解答即可。【详解】（1）5×60＝300（棵）、10×30＝300（棵）、15×20＝300（棵）…用式子表示出m、t和栽种总棵数之间的关系是栽种总棵数＝mt，m和t成反比例关系，判断的理由是栽种总棵数一定，即m和t的积一定。（2）解：设每人需要栽种x棵。25x＝5×6025x＝30025x÷25＝300÷25x＝12答：每人需要栽种12棵。【考点十五】比例尺的意义与改写。1．在地图上，6厘米代表实际距离()千米，420千米画在该地图上是()厘米，把它改写成数值比例尺是()。【答案】180141∶3000000【分析】观察线段比例尺可知，图上1厘米表示实际30千米，图上厘米数×1厘米表示的实际距离＝实际距离；实际距离÷1厘米表示的实际距离＝图上厘米数；根据图上距离∶实际距离＝比例尺，写出图上距离与实际距离的比，化简即可得到数值比例尺。【详解】6×30＝180（千米）420÷30＝14（厘米）1厘米∶30千米＝1厘米∶3000000厘米＝1∶30000006厘米代表实际距离180千米，420千米画在该地图上是14厘米，把它改写成数值比例尺是1∶3000000。【点睛】比例尺没有单位名称。为了方便，通常把比例尺的前项化作1（图上距离大于实际距离的，常把后项化为1）。2．这是线段比例尺，表示图上距离1cm相当于实际距离()m，将这个比例尺改成数值比例尺是()。【答案】501∶5000【分析】线段比例尺的意思是，表示图上距离1cm相当于实际距离50m；然后根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”以及进率：1m＝100cm，把这个线段比例尺改写成数值比例尺。【详解】1cm∶50m＝1cm∶（50×100）cm＝1∶5000这是线段比例尺，表示图上距离1cm相当于实际距离50m，将这个比例尺改成数值比例尺是1∶5000。【点睛】本题考查比例尺的意义，掌握线段比例尺、数值比例尺的互化以及长度单位的换算是解题的关键。【考点十六】比例尺与图形的放大缩小综合作图。1．绿佳广场要建一个长60米、宽40米的长方形健身区，请在下图中画出健身区的平面图（比例尺1∶2000）。【答案】见详解【分析】已知平面图的比例尺和长、宽的实际尺寸，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，分别求出长、宽的图上尺寸，据此画出这个长方形健身区的平面图。注意单位的换算：1米＝100厘米。【详解】60米＝6000厘米40米＝4000厘米6000×＝3（厘米）4000×＝2（厘米）画一个长为3厘米、宽为2厘米的长方形。如图：（以实际测量为准）2．根据下面的条件在图中标出各场所的位置。（1）公园在学校北偏东40°的1500米处。（2）超市在学校北偏西50°的1000米处。（3）广场在学校南偏东30°的500米处。（4）火车站在学校南偏西60°的2000米处。【答案】见详解【分析】以学校为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1个单位长度相当于实际距离500米。（1）在学校北偏东40°方向上画1500÷500＝3个长度单位的线段，即是公园；（2）在学校北偏西50°方向上画1000÷500＝2个长度单位的线段，即是超市；（3）在学校南偏东30°方向上画500÷500＝1个长度单位的线段，即是广场；（4）在学校南偏西60°方向上画2000÷500＝4个长度单位的线段，即是火车站。【详解】如图：3．操作。（1）画出图形A关于直线MN对称的图形。（2）画出图形A绕点O顺时针旋转90°后的图形。（3）将图形A放大，使新图形与原图形对应线段长的比为2∶1。【答案】见详解【分析】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，找到图形A的各顶点关于对称轴MN的对称点后，依次连接各点即可。（2）根据旋转的特征，将图形A绕点0顺时针旋转90°，点O位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。（3）将图形A按2∶1放大，图形A的每条线段长度都乘2，据此画出放大后的图形。【详解】如图：【考点十七】比例尺与行程问题。1．2022年冬奥会在北京和张家口举行，京张高铁为冬奥会提供交通运营服务保障。在一幅比例尺是1∶300000的宣传画上，量得两地的距离是58厘米。一列火车从北京开往张家口，已经行了全程的，还剩多少千米？【答案】29千米【分析】已知宣传画的比例尺为1∶300000，且量得两地距离为58厘米，则根据实际距离＝图上距离÷比例尺，可求得两地的实际距离为174千米；又知一列火车从北京开往张家口，已经行了全程的，可以把全程距离看作单位“1”，则还剩全程的1－＝，要求得还剩多少千米，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，列式为：174×（1－）。【详解】58÷＝58×300000＝17400000（厘米）＝174千米174×（1－）＝174×＝29（千米）答：还剩29千米。【点睛】需要熟悉图上距离、实际距离、比例尺三者间的关系，还要明确数量关系：全程距离×未行驶的分率＝剩下的距离。2．比例尺是1∶4000000的地图上，量得甲、乙两地相距25cm，两列火车同时从甲、乙两地相对开出，甲车每小时行45km，比乙车每小时慢10km，几小时后相遇？【答案】10小时【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，已知图上距离，则实际距离＝图上距离÷比例尺，再根据两列火车行驶的路程总和＝甲、乙两地距离，据此可得出答案。【详解】甲乙两地相距：25÷＝100000000（厘米）＝1000km则：1000÷（45＋10＋45）＝1000÷100＝10（小时）答：10小时后相遇。【点睛】本题主要考查的是比例尺的应用及相遇问题，解题的关键是熟练掌握比例尺的灵活应用，进而得出答案。3．在比例尺是1∶4000000的地图上量得A、B两个城市间的公路长9cm。一辆汽车从A城到B城用了7.2小时，这辆汽车平均每小时行驶多少千米？【答案】50千米【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出A、B两地间的实际距离，再根据路程÷时间＝速度，求出这辆货车的速度即可。【详解】9＝9×4000000＝36000000（厘米）36000000厘米＝360千米360÷7.2＝50（千米/时）答：这辆汽车平均每小时行驶50千米。【点睛】本题主要考查比例尺的应用，求出实际距离是解题的关键。【考点十八】比例尺与图形问题。1．在比例尺是的地图上，量得一块长方形土地的长是3.2厘米，宽是1.2厘米。这块土地的实际面积是多少平方米？【答案】9600【分析】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离＝图上距离∶比例尺”即可求出长方形菜地的长和宽的实际长度，进而利用长方形的面积，即可求出菜地的实际面积。【详解】3.2÷＝16000（厘米）＝160（米）1.2÷＝6000（厘米）＝60（米）160×60＝9600（平方米）答：这块土地的实际面积是9600平方米。【点睛】此题主要考查长方形的面积的计算方法以及图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算。2．学校要修建一个占地面积420平方米的长方形篮球场地。在比例尺是1∶500的篮球场平面图上，量得该篮球场地的长是5.6厘米，该篮球场地的实际宽是多少米？【答案】15米【分析】依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出篮球场的实际长是多少米，再根据“长方形的面积＝长×宽”，求出篮球场地的实际宽是多少米即可。【详解】5.6÷＝2800（厘米）2800厘米＝28米420÷28＝15（米）答：该篮球场地的实际宽是15米。【点睛】此题考查了图上距离、实际距离和比例尺之间的关系以及长方形的面积公式的灵活运用。【考点十九】比例尺与分段计费问题。1．下面是小明坐出租车从家去图书馆的路线图。已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价9元计算，以后每增加1千米车费就增加2元（不足1千米按1千米计算）。请你按图中提供的信息算一算，小明一共要花多少元出租车费？【答案】15元【分析】小明要坐出租车从家去图书馆，先算出小明家到百货商场、百货商场到农业银行和农业银行到图书馆的图上距离，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，即可求出小明到图书馆的实际距离，用小明到图书馆的实际距离减3千米，乘2就是起步价后的车费，再加上9元就是小明一共要花多少元出租费。【详解】（5＋3＋3）÷＝11×50000＝550000（厘米）550000厘米＝5.5千米5.5－3＝2.5（千米），按3千米计算，3×2＋9＝6＋9＝15（元）答：小明一共要花15元出租车费。【点睛】这道题重点考查用方向和距离解决实际问题的方法，要求小明一共要花多少元，出租车费必须先利用比例尺求出实际的路程再分阶段求出需要的钱数。2．下图是小明坐出租车从家去展览馆的路线图。已知出租车在以内（含）按起步价6元计算，超出以后，每增加，车费就增加1.4元。小明从家出发，坐出租车去展览馆，一共要花费多少钱？【答案】22.8元【分析】根据图上距离和比例尺，先求出实际距离，然后再分段计算所需的费用。【详解】（cm）（元）答：一共要花费22.8元。【点睛】比例尺指的是图上距离与实际距离的比，再计算的时候注意单位换算。【考点二十】正比例与实际应用。1．妈妈调制一杯蜂蜜水，400克水中放了20克蜂蜜。涛涛和妹妹想配制同样口味的蜂蜜水，如果有600克水，那么需要放多少克蜂蜜？（列比例解决问题）【答案】30克【分析】要配制同样口味的蜂蜜水，则蜂蜜和水的质量比的比值一定。设需要放x克蜂蜜，根据题意可得：x∶600＝20∶400，再根据比例的基本性质解出比例即可解答。【详解】解：设需要放x克蜂蜜。x∶600＝20∶400400x＝600×20400x＝12000x＝12000÷400x＝30答：需要放30克蜂蜜。2．为了做好安保工作，某武警部队派人乘坐汽车到某地执行任务。5月15日10时出发，到12时汽车共行驶了200千米，照这样的速度，当天16时可到达目的地。到达目的地时汽车共行驶了多少千米？（用比例解）【答案】600千米【分析】在行驶过程中，速度是不变的，根据速度＝路程∶时间，列出比例方程，再根据比例的基本性质以及等式的性质解方程。【详解】解：设到达目的地时汽车共行驶了x千米。12时－10时＝2（小时），16时－10时＝6（小时）2∶200＝6∶x

2x＝6×200x＝1200÷2x＝600答：到达目的地时汽车共行驶了600千米。3．学校操场上的旗杆高4.5米，下午某一时刻量得它的影长