第四单元分数·其四：最大公因数和最小公倍数篇【十四大考点】-2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版）人教版

篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但在面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份。于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样呢？那这份资料在满足自己教学需求的同时，还能为他人提供参考。本着这样的想法，在结合自己教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。《2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！101数学创作社2024年3月18日2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列第四单元分数·其四：最大公因数和最小公倍数篇【十四大考点】专题解读本专题是第四单元分数·其四：最大公因数和最小公倍数篇。本部分内容主要是最大公因数和最小公倍数及应用，建议作为本章核心内容进行讲解，其中考点划分较多，一共划分为十四个考点，欢迎使用。目录导航TOC\o"1-1"\h\u【考点一】最大公因数 3【考点二】最小公倍数 4【考点三】三个数的最大公因数和最小公倍数 5【考点四】特殊情况其一：质因数中的最大公因数和最小公倍数 6【考点五】特殊情况其二：互质数中的最大公因数和最小公倍数 7【考点六】特殊情况其三：倍数关系中的最大公因数和最小公倍数 7【考点七】最大公因数的应用其一：分线段问题 8【考点八】最大公因数的应用其二：分长方形问题 9【考点九】最小公倍数的应用其一：分东西问题 10【考点十】最小公倍数的应用其二：人数问题 11【考点十一】最小公倍数的应用其三：日期问题 12【考点十二】最小公倍数的应用其四：同余数问题 14【考点十三】最小公倍数的应用其五：同差问题 15【考点十四】最小公倍数的应用其六：综合型 16典型例题【考点一】最大公因数。【方法点拨】1.最大公因数的定义：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数2.求两个数的最大公因数的方法：（1）列举法；（2）短除法3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。注意：求两个数的最大公因数用小括号表示。【典型例题】求下面各组数的最大公因数。36和48

11和13

21，42和70【对应练习1】找出下列每组数的最大公因数。5和36

24和72

14、26和32【对应练习2】写出下面每组数的最大公因数。15和25

7和15

22和33

35和28【对应练习3】写出每组数的最大公因数。12和18

72和48

78和117

23和32【考点二】最小公倍数。【方法点拨】1.最小公倍数的定义：几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。2.求最小公倍数的方法：（1）列举法；（2）短除法。3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。注意：求两个数的最小公因数用中括号表示。【典型例题】求下面每组数的最小公倍数。27和72

36和60

76和80【对应练习1】求下面各组数的最小公倍数。10和60

8和14

11和34【对应练习2】求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。18和24

15和25

11和19【对应练习3】求下面各组数的最小公倍数。3和12

4和13

7和49

24和15【考点三】三个数的最大公因数和最小公倍数。【方法点拨】三个数的最大公因数和最小公倍数用短除法。【典型例题】求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。13、39和117

42、56和84

240、840和360【对应练习1】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。54，72和9060，90和120【对应练习2】用短除法求下列数的最大公因数和最小公倍数．286和429

384，192和64【考点四】特殊情况其一：质因数中的最大公因数和最小公倍数。【方法点拨】质因数求最大公因数和最小公倍数：求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积。【典型例题1】问题一。如果A＝2×3×5，B＝3×7，那么它们的最大公因数是()，最小公倍数是()。【对应练习1】M＝2×3×7，N＝3×7×11，M和N的最大公因数是()，最小公倍数是()。【对应练习2】，，A和B的最大公因数是()，最小公倍数是()。【对应练习3】A＝2×2×3，B＝2×3×7，A和B的最大公因数是()，A和B的最小公倍数是()。【典型例题2】问题二。把自然数A和B分解质因数得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果A和B的最大公因数是35，则A和B的最小公倍数是()。【对应练习1】把自然数X和Y分解质因数，分别是，，如果X和Y的最大公因数是6，那么n＝()，X和Y的最小公倍数是()。【对应练习2】已知a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然数且m不等于0），如果a与b的最大公因数是14，则m是()，a和b的最小公倍数是()。【对应练习3】如果A＝2m×5，B＝2×3m，已知A和B的最大公因数是8，那么m＝()，A和B的最小公倍数是()。【考点五】特殊情况其二：互质数中的最大公因数和最小公倍数。【方法点拨】1.公因数只有1的两个数，叫做互质数。2.当两个数是互质关系时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。【典型例题】b和t是互质数，它们的最大公因数是()，最小公倍数是()。【对应练习1】两个连续的自然数（均不为0），它们的最大公因数是()，最小公倍数是()。【对应练习2】如果a，b的公因数只有1，那它们的最大公因数是()，最小公倍数是()。【对应练习3】如果a－1＝b（a、b分别为非零的自然数），那么a、b的最大公因数是()，最小公倍数是()。【考点六】特殊情况其三：倍数关系中的最大公因数和最小公倍数。【方法点拨】当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。【典型例题】如果a＝3b，且a，b都是大于0的自然数，那么a和b的最大公因数是()；最小公倍数是()。【对应练习1】如果a＝2b（a、b均为大于9的整数），则a、b的最小公倍数是()，最大公因数是()。【对应练习2】如果自然数C是B的5倍，则B与C的最小公倍数是()，最大公因数是()。【对应练习3】如果A＝7B，那么A和B的最大公因数是()，最小公倍数是()。【考点七】最大公因数的应用其一：分线段问题。【方法点拨】分线段问题解题步骤：1.分析每小段的长度和每条线段长度的关系；2.短除法求最大公因数。注意：要看清题目问的是每个小段的长度还是求一共可以分成多少个小段。【典型例题】用下面的两种彩带包装礼品盒。现在要把它们剪成同样长的小段且没有剩余，每段最长是多少分米？一共能剪成几段？【对应练习1】有两根彩带，一根长45厘米，另一根长60厘米。现在要把它们剪成长度一样的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共可以剪成几根？【对应练习2】有两根绳子，一根长36米，另一根长42米，要把这两根绳子都剪成同样长的小段，不许有剩余，每小段最长多少米？一共可以剪成多少段？【对应练习3】有两根钢管，分别长45厘米、30厘米，把它们截成长度相等的小段，且没有剩余。每一小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？【考点八】最大公因数的应用其二：分长方形问题。【方法点拨】分长方形问题解题步骤：1.分析每个小正方形的边长和大长方形的长、宽之间的关系；2.短除法求最大公因数。注意：要看清题目问的是小正方形的边长还是求一共可以分成多少个小正方形。【典型例题】选修课上，老师要求同学们将一张长28厘米，宽12厘米的长方形彩纸。在无剩余的前提下，裁成大小相等且尽可能大的正方形，正方形的边长是多少？一共可以裁成多少张？【对应练习1】把一块长48厘米，宽36厘米的长方形硬纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸板没有剩余。至少可以裁成多少个正方形？每个正方形的边长是多少厘米？【对应练习2】爸爸打算给长72分米、宽48分米的客厅铺上地砖。从不浪费材料的角度考虑（使用的地砖都是整块），可以选择边长是多少分米的正方形地砖？（地砖的边长是整分米数且在5～10分米之间）【对应练习3】李伯伯家挖了一个长15分米，宽10分米，深8分米的长方体水池。（1）现在要用边长是整分米数的蓝色正方形地砖把这个水池的底面铺满（使用的地砖必须都是整块），蓝色地砖的边长最大是几分米？一共需要多少块这样的蓝色地砖？（2）如果把水池内壁的四周贴上白色瓷砖，每平方米需要10块同样大小的白色瓷砖，那么这个水池一共需要多少块这样的白色瓷砖？（蓝色地砖的厚度忽略不计）【考点九】最小公倍数的应用其一：分东西问题。【方法点拨】分东西问题：若平均分给m个小朋友可以恰好分完，那么总数是m的倍数，若平均分给n个小朋友可以恰好分完，那么总数也是n的倍数，所以总数是m和n的公倍数，根据题目要求求出符合题意的公倍数即可。【典型例题】篮子里的萝卜无论是分给12只小兔子，还是分给15只小兔子，都能正好分完。篮子里至少有多少根萝卜？【对应练习1】学校新买一批故事书，不论分给15个小朋友，还是20个小朋友，都正好分完。这批书至少有多少本？【对应练习2】妈妈买了一盒巧克力，无论平均分给5个人还是7个人，都刚好分完，那么这盒巧克力最少有多少颗？【对应练习3】为庆祝“五一”，张老师买来一些糖果，如果每位小朋友分4颗或6颗，都正好分完。这些糖果的颗数在30－40之间，张老师买来多少颗糖果？【考点十】最小公倍数的应用其二：人数问题。【方法点拨】分析已知条件，列出乘法算式。【典型例题】篮球队的同学们分组练习，分成6人一组或8人一组都多4人，已知篮球队的人数在50－60人之间，篮球队有多少人？【对应练习1】学校参加市运动会的开幕式体操表演，一排站12人或站16人，都能正好站成整排，参加体操表演的学生在90~100人之间，请问有多少人参加体操表演？【对应练习2】一次会餐有三种饮料，餐后统计，三种饮料共用65瓶。已知平均每2人用一瓶A饮料，每3人用一瓶B饮料，每4人用一瓶C饮料。有多少人参加会餐？【对应练习3】三（1）班参加跳绳比赛的人数在40－50人之间，如果把参赛的人数分成6人一组或分成8人一组，都正好分完。三（1）班参加跳绳比赛的有多少人？【考点十一】最小公倍数的应用其三：日期问题。【方法点拨】日期问题也是典型的公倍数问题，注意分析有没有到下个月，以及每个月最后一天是几号。【典型例题1】问题一。我市7路和10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共汽车同时发车后，过多少分钟两路车第二次同时发车？7路：每隔6分钟发一次车10路：每隔8分钟发一次车【对应练习1】那西公交8路车和3路车早上6：25同时从公交车站出发，若8路车每35分钟发一次，3路车每20分钟发一次，请问下一次同时发车至少是几时几分？【对应练习2】偃师802路和803路公交车早上7时同时从起始站发车，802路车每10分钟发一辆，803路车每15分钟发一辆。这两路车第二次同时发车是什么时间？【对应练习3】1路车每5分钟发一次车，2路车每8分钟发一次车，15路车每10分钟发一次车。6时，1路、2路、15路车第一次同时发车，它们第二次同时发车是几时几分？【典型例题2】问题二。甲、乙、两人到图书馆去借书，甲每12天去一次，乙每16天去一次，如果4月25日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？【对应练习1】暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。小林每6天去一次，小军每8天去一次。7月31日两人同时参加了游泳训练后，几月几日他们又再次相遇？【对应练习2】小明和小红都喜欢去图书馆看书，小明每5天去一次，小红每4天去一次，5月3日，他们一起到了图书馆，下次遇到是在几月几日?【对应练习3】爸爸和妈妈都不是按双休日休息，爸爸每工作3天轮休1天，妈妈每工作4天轮休1天，3月5日爸爸妈妈同时休息。按此计算，3，4两个月爸爸和妈妈同时休息的有几天？分别是哪几天？【考点十二】最小公倍数的应用其四：同余数问题。【方法点拨】同余数问题：余数相同时，减去余数得到整除。遇到有剩余且剩余的数量一样多时，先求最小公倍数，再把剩余的加上。【典型例题】现在有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给14个人，结果都剩下1个。这筐苹果至少有多少个？【对应练习1】庆祝“建党100周年”文艺汇演节目排练中，舞蹈队形排列不管是5人一队，还是6人一队，都多3人。这个舞蹈队至少有多少人？【对应练习2】把一箱苹果平均分给一些小朋友，不管是每人分4个苹果，还是每人分7个苹果，都多3个。这箱苹果至少有多少个？【对应练习3】五年级三班买来一批树苗，分给