第12讲 平面向量及其加减运算（教师版）

第12讲平面向量及其加减运算【学习目标】1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义.2.理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义.3.理解两个向量共线的含义.【要点梳理】要点一、平面向量1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段.有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向.要点诠释：（1）“有向线段AB”符号标记为，且表示点B相对于点A的位置差别.（2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面.2.平面向量的定义及表示（1）向量:既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）.要点诠释：①向量的两要素：向量的大小、向量的方向.②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小.③向量与有向线段的区别：（a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量；（b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.（2）向量的表示方法:①小写英文字母表示法:如等.②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如等. （3）向量的分类：固定向量：有大小、方向、作用点的向量；自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量.要点诠释：我们学习的主要是自由向量.3.特殊的向量零向量:长度为零的向量叫零向量.单位向量:长度等于1个单位的向量.相等向量:长度相等且方向相同的向量.互为相反向量:长度相等且方向相反的向量.平行向量:方向相同或相反的非零向量，叫平行向量(平行向量又称为共线向量).规定:与任一向量共线.要点诠释：（1）零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写的不同.（2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.(3)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.要点二、平面向量的加法运算1.定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法.2.运算法则：（1）三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量.这样的规定叫做向量的加法的三角形法则.如图：ＡＡＢＣ（2）多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则.ＡＢＣＤ（3）平行四边形法则：如果是两个不平行的向量，那么求它们和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点，作两个向量分别与相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是和的向量.如图：ＡＢＣＤ要点诠释：1.两个向量的和是一个向量，规定.2.可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.3.“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加，即得到几个向量相加的多边形法则.4..探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.3.运算律：（1）交换律：；（2）结合律：要点三、向量的减法运算1.定义：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.2.运算法则：在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量，这样求两个向量的差向量的规定叫做向量减法的三角形的法则.要点诠释：（1）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：，从而用加法法则来解决减法问题.（2）向量的加法、减法的结果仍然是向量，规定.（3）与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，即.【典型例题】（基础）类型一、向量的基本概念1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.（1）向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上.（2）单位向量都相等.（3）任一向量与它的相反向量不相等.【思路点拨】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，并且要注意这两方面的结合.【答案与解析】解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.【总结升华】本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.举一反三：【变式】下列命题正确的是（）A.与共线，与共线，则与也共线.B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行【答案】C.类型二、向量的加法运算2.已知互不平行的向量（如图），求作.【思路点拨】一般地,几个向量相加,可把这几个向量顺次首尾相接,那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点,最后一个向量的终点为终点的向量.【答案与解析】解：如图，在平面内任取一点O，顺次作向量，，，；再以O为起点，D终点作向量，则：.【总解升华】举一反三：【变式】如图,已知梯形ABCD中,AB∥DC,点E在AB上,EC∥AD.在图中指出下列几个向量的和向量:(1).(2).【答案】(1)(2)类型三、向量的减法运算3.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，设，.（1）填空：向量.（用向量的式子表示）（2）在图中作出向量在向量，方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．【答案与解析】解：（1）∵在△ABC中，，∴又∵E是边AC的中点，∴故答案是：；（2）如图，过点E作EM∥AB交BC于点M.、即为向量在向量，方向上的分向量.【总结升华】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用．类型四、向量加减综合运算4.如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示【思路点拨】利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是，由它可以“生”成.【答案与解析】解：在中【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.举一反三：【变式】如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【答案】解：=+3﹣﹣=﹣+2．如图：=2，=﹣，则=﹣+2，即即为所求．【典型例题】（提高）类型一、向量的基本概念1.判断下列各命题是否正确：(1)若，则；(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；(3)若，则(4)两向量相等的充要条件是且.【思路点拨】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要注意这两方面的结合.【答案与解析】解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由推不出.(2)正确，且.又A、B、C、D是不共线的四点，四边形是平行四边形，则且与方向相同.因此.(3)正确，的长度相等且方向相同；又的长度相等且方向相同，的长度相等且方向相同.故.(4)不正确，当但方向相反时，即使，也不能得到，故不是的充要条件.【总结升华】我们应该清醒的认识到，两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相同，向量相等是可传递的.复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实数运算区别开来.举一反三：【变式】下列说法正确的个数是()①向量，则直线直线②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；③向量既是有向线段；④在平行四边形中，一定有.A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C类型二、向量的加法运算2.如图，已知四边形ABCD，点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，设=，=．（1）试用，的线性组合表示向量；（需写出必要的说理过程）（2）画出向量分别在，方向上的分向量．【思路点拨】（1）由点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，直接利用三角形中位线的性质，即可求得==﹣，==，再利用三角形法则求解即可求得答案；（2）利用平行线四边形法则求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，∴==﹣，==，∴=+=﹣+；（2）如图：与即为所求．【总结升华】此题考查了平行向量的加法运算．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用．举一反三：ＡＢＣＤＡＢＣＤＯ已知：四边形中，，，求证：是平行四边形.【答案】证明：由向量的加法法则：，，∵，，∴，即线段与平行且相等，∴是平行四边形.类型三、向量的减法运算ADEBC3.三角形两边中点的连线平行于ADEBC【答案与解析】已知：如图，中，D，E分别是边AB，AC的中点.求证：且.证明：∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴，.∴，∵D，B不共点，∴且.【总结升华】两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同；差向量的终点指向被减向量的终点.类型四、向量加减综合运算4.如图，已知向量，，∠DAB＝120°，且，求和.【思路点拨】利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是，由它可以“生”成.【答案与解析】【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.举一反三：【变式1】如图，已知点分别是三边的中点，求证：.【答案】证明：连结.因为分别是三边的中点，所以四边形为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则，得(1)，同理在平行四边形中，(2)，在平行四边形在中，(3)将(1)(2)(3)相加，得.【变式2】如图，已知向量、、，那么下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】D.解：A、+=﹣，故本选项错误；B、+=﹣，故本选项错误；C、+=﹣，故本选项错误D、+=﹣，故本选项正确．故选D．【巩固练习】一、选择题1.已知向量，且则一定共线的三点是()A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D2.在四边形ABCD中，，，，其中与不共线，则四边形ABCD是()A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形3.已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD的中点，如果=，=，那么向量关于、的分解式是（）A．﹣ B．﹣+ C．+ D．﹣﹣4.下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④方向相同 A.0 B.1 C.2 D.35.在中，已知是边上一点，，则()A. B. C. D.6.若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( )A.｜2｜＞｜-2｜B.｜2｜＜｜-2｜C.｜2｜＞｜2-｜D.｜2｜＜｜2-｜二、填空题7．若则(用表示8.如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量为，则=_______________.9.设是两个不共线向量，则向量与向量共线的充要条件是_______________.10.在四边形ABCD中，==(1，1)，，则四边形ABCD的面积是_______.11.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E、F分别是OA、OD的中点，如果=，=，那么=．12.已知正方形ABCD边长为1，，则的模等于.三、解答题13.如图，已知向量、，求作向量2+．14.如图，D、E是△ABC中AB、AC的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知，试用分别表示.15.已知在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，求证：(1)；(2)；(3).【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】A、B、D三点共线.2.【答案】C；【解析】由已知可得：，，所以，所以，且.3.【答案】B；【解析】解：如图，连接BD，∵在平行四边形ABCD中，=，=，∴=﹣=﹣，∵点M、N分别是边BC、CD的中点，∴MN∥BD，MN=BD，∴==（﹣）=﹣+．故选B．4.【答案】C；【解析】①②对③④错.5.【答案】A；【解析】在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，，则，∴，选A.6.【答案】A【解析】解：若两向量共线，则由于是非零向量，且，则必有；代入可知只有A、C满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形，使其满足OB=AB=BC；令，，则，∴且；又BA+BC>AC∴∴，选A.二、填空题7.【答案】

【解析】，整理得.8.【答案】【解析】∵.9.【答案】【解析】由不共线，必有故.10.【答案】11.【答案】+；【解析】解：由向量的平行四边形法则得，+=2，所以，=2﹣，∵=，∴=﹣，∴=2+，∵点E、F分别是OA、OD的中点，∴EF∥AD且EF=AD，∴EF∥BC且EF=BC，∴=，∴=+．故答案为：+．12.【答案】【解析】正方形ABCD边长为1∴.三、解答题13.【解析】解：如图，=，=2，则=+=2+．则即为所求．14.【解析】解：由三角形中位线定理知：DE//BC且DE=BC故.15.【解析】解：(1)(2)略(3)两式相加得：同理，.【课后作业】【巩固练习】一、选择题1.下面的几个命题：①若；②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量；③若满足且与同向，则；④由于方向不定，故不能与任何向量平行；⑤对于任意向量必有.其中正确命题的序号是：()A.①②③B.⑤C.③⑤D.①⑤2.在正六边形ABCDEF中，O为其中心，则A.B.C.D.3.如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=( A. B. C. D.FEFEDABC4.对于非零向量，下列条件中，不能判定是平行向量的是()A. B. C. D.5.设P是△ABC所在平面内的一点，，则()A.B.C.D.6.如图，在△ABC中，D是边BC上一点，BD=2DC，，，那么等于（）A． B． C． D．二、填空题ADMCNB7．如图，在平行四边形ABCD中，M、NADMCNB已知，用表示= ， .8.在平行四边形ABCD中，.9.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量=10.平面内三点A(0，-3)，B(3，3)，C(x，-1)，若∥，则x的值为11.已知，若A、B、C三点构成三角形，则12.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量，，如果用向量表示向量，那么=．三、解答题13.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：①，②，③.14.如图，已知平面内两个不平行的向量，，求作：+2．（不要求写作法，但