2023-2024学年北京十一学校高一（下）期中数学试卷和答案

高中PAGE1试题2023-2024学年北京市十一学校高一（下）期中数学试卷一、选择题（共12道小题，每题5分，共60分），请将答案填写到答题卡规定的位置1．（5分）已知tanθ=13，则A．9+10217 B．12 2．（5分）在△ABC中，A＝45°，C＝60°，a＝10，则c＝（）A．56 B．5 C．52 3．（5分）在△ABC中，cosA=35，则A．55 B．255 C．−4．（5分）已知tanα＝2，则sin2α+sin2α＝（）A．25 B．45 C．655．（5分）在△ABC中，已知B＝120°，AC＝23，AB＝2，则BC＝（）A．1 B．3 C．4 D．26．（5分）函数①f（x）＝sinx+cosx，②f（x）＝sinxcosx，③f(x)=2cos2(x+A．①② B．② C．③ D．②③7．（5分）函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜πA．y=2sin(2x+5π6) C．y=2sin(2x+π6)8．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为c2−aA．π6 B．π4 C．π29．（5分）设函数f(x)=cos(ωx−π6)(ω＞0)．若f(A．13 B．12 C．2310．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点．则EB→A．34AB→−14AC→ 11．（5分）在△ABC中，A=π4，则“sinB＜2A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件12．（5分）已知f（x）＝3sin（2x+φ）（φ∈R）既不是奇函数也不是偶函数，若y＝f（x+m）为奇函数，y＝f（x+n）为偶函数，则|m|+|n|的最小值为（）A．π B．π2 C．π4 二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分），请将答案填写到答题卡规定的位置13．（5分）函数y＝tan（2x+π3）的递增区间是14．（5分）已知向量a→，b→共线，且|15．（5分）能使“cos（α+β）＝cosα+cosβ”成立的一组α，β的值可以为．16．（5分）已知函数y＝sin（2x+φ）(−π3＜φ＜π2)的图象关于直线x17．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若cosα=12，则cos（α﹣β）＝18．（5分）如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km．求B，D的距离．三、解答题（五个大题，一共60分），请将答案填写到答题卡规定的位置19．（10分）已知cosα=−4（1）sinα，cosβ的值；（2）sin（α+β）和tan2α的值．20．（12分）已知函数f(x)=sin(2x−π（1）求m的值；（2）求函数f（x）在[0，4π（3）下表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据．xπ35π62x−π0π2π3π22πsin(2x−π010﹣10y12121221．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝26，CD=6，cosA=63，cos∠（1）求cos∠ABD；（2）求BC的长．22．（14分）已知函数f(x)=cosx(23（1）求函数f（x）的单调递增区间和最小正周期；（2）填写由函数y＝2sinx的图像变换得到f（x）的图像的过程：先将y＝2sinx图像上的所有点_____，得到y=2sin(x+π再把y=2sin(x+π6)（3）若当x∈[0，π2]时，关于x的不等式f（x）≥m请选择①和②中的一个条件，补全问题（3），并求解．其中，①有解；②恒成立．23．（12分）在△ABC中，c＝2bcosB，∠C=2π（Ⅰ）求∠B；（Ⅱ）在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长．条件①c=2b条件②△ABC的周长为4+23；条件③△ABC的面积为33注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

2023-2024学年北京市十一学校高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析题号1234567891011答案CABDDDCDCAA题号12答案C一、选择题（共12道小题，每题5分，共60分），请将答案填写到答题卡规定的位置1．（5分）已知tanθ=13，则A．9+10217 B．12 【分析】由已知结合两角和的正切公式即可求解．【解答】解：因为tanθ=1则tan(θ+π故选：C．【点评】本题主要考查了两角和的正切公式的应用，属于基础题．2．（5分）在△ABC中，A＝45°，C＝60°，a＝10，则c＝（）A．56 B．5 C．52 【分析】直接利用正弦定理求解．【解答】解：由正弦定理可得，asinA所以10sin45°解得c＝56．故答案为：A．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．3．（5分）在△ABC中，cosA=35，则A．55 B．255 C．−【分析】由已知结合二倍角公式进行化简即可求解．【解答】解：△ABC中，cosA=35=2cos所以cosA故选：B．【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．4．（5分）已知tanα＝2，则sin2α+sin2α＝（）A．25 B．45 C．65【分析】利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．【解答】解：∵tanα＝2，∴sin2α+sin2α==ta故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．5．（5分）在△ABC中，已知B＝120°，AC＝23，AB＝2，则BC＝（）A．1 B．3 C．4 D．2【分析】根据题意利用余弦定理，可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，代入数据得到关于BC的方程，解之可得BC的长．【解答】解：根据余弦定理，可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，即12＝4+BC2+2BC，整理得BC2+2BC﹣8＝0，解得BC＝2（BC＝﹣4不符合题意，舍去）．故选：D．【点评】本题主要考查利用余弦定理解三角形，考查了计算能力，属于基础题．6．（5分）函数①f（x）＝sinx+cosx，②f（x）＝sinxcosx，③f(x)=2cos2(x+A．①② B．② C．③ D．②③【分析】由已知结合三角函数的周期性及奇偶性检验各选项即可判断．【解答】解：①f（x）＝sinx+cosx为非奇非偶函数，不符合题意；②f（x）＝sinxcosx=12sin2x为奇函数且周期为③f(x)=2cos2(x+π4)−1=cos（2x故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及奇偶性的判断，属于基础题．7．（5分）函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜πA．y=2sin(2x+5π6) C．y=2sin(2x+π6)【分析】由题意可知，A、T利用T求出ω，利用（π6，2）再求【解答】解：由图象可知，A＝2，T2=2π3−π6函数y＝Asin（ωx+φ）＝2sin（2x+φ），当x=π6时，因为2sin（π3+φ）＝2，|φ|＜π故选：C．【点评】本题考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定解析式，考查学生分析问题和解决问题的能力，是基础题．8．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为c2−aA．π6 B．π4 C．π2【分析】直接利用余弦定理和三角函数的值的应用求出结果．【解答】解：△ABC的面积为c2所以12整理得tanC＝﹣1；由于0＜C＜π；故C=3π故选：D．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理和三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9．（5分）设函数f(x)=cos(ωx−π6)(ω＞0)．若f(A．13 B．12 C．23【分析】根据余弦函数的图象以及性质可解．【解答】解：函数f(x)=cos(ωx−π6)(ω＞0)则π4ω−π6=2kπ则ω=23+8k，k则ω的最小值为23故选：C．【点评】本题考查余弦函数的图象以及性质，属于中档题．10．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点．则EB→A．34AB→−14AC→ 【分析】由已知结合向量的线性表示及向量的基本定理即可求解．【解答】解：因为△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，所以EB→故选：A．【点评】本题主要考查了平面向量基本定理及向量的线性表示，属于基础题．11．（5分）在△ABC中，A=π4，则“sinB＜2A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】先解三角不等式，再结合充分必要条件判断即可．【解答】解：在△ABC中，由sinB＜22，则0＜B＜π又A=π则0＜B＜π即C=π−A−B＞π即△ABC是钝角三角形，由△ABC是钝角三角形，当B=2π3时，sinB即“△ABC是钝角三角形”不能推出“sinB＜2即“sinB＜22”是“△故选：A．【点评】本题考查了三角不等式的解法，重点考查了充分必要条件，属基础题．12．（5分）已知f（x）＝3sin（2x+φ）（φ∈R）既不是奇函数也不是偶函数，若y＝f（x+m）为奇函数，y＝f（x+n）为偶函数，则|m|+|n|的最小值为（）A．π B．π2 C．π4 【分析】利用函数的奇偶性，结合诱导公式及正弦函数的性质分析计算得解．【解答】解：依题意，φ≠kπ且φ≠kπ+π2，k∈Z，函数f（x）的最小正周期T＝可设φ0满足φ0∈(0，π2)∪(π2，π)且φ＝2tπ则f（x）＝3sin（2x+φ0）．注意到五点法的最左段端点是(−φ02由y＝f（x+m）为奇函数，y＝f（x+n）为偶函数，可得|m|=min(|−φ当φ0∈(0，π此时|m|+|n|=π当φ0∈(π2，π)时．此时|m|=π−φ0故选：C．【点评】本题考查了y＝Asin（ωx+φ）的奇偶性以及对称性的综合应用，属中档题．二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分），请将答案填写到答题卡规定的位置13．（5分）函数y＝tan（2x+π3）的递增区间是（kπ2−5π12，kπ【分析】由条件利用正切函数的单调性求得函数y＝tan（2x+π【解答】解：对于函数y＝tan（2x+π3），令kπ−π2＜2x+π3＜求得kπ2−5π12＜x＜kπ2+π故答案为：（kπ2−5π12，kπ2【点评】本题主要考查正切函数的单调性，属于基础题．14．（5分）已知向量a→，b→共线，且|【分析】结合共线向量的运算求解．【解答】解：已知向量a→，b当向量a→则a→则|a当向量a→则a→则|a故答案为：3或1．【点评】本题考查了共线向量的运算，属基础题．15．（5分）能使“cos（α+β）＝cosα+cosβ”成立的一组α，β的值可以为α=−π3【分析】根据给定的等式，写出一组α，β的值并代入验证作答．【解答】解：取α=−π3，β=π3，则cos（α因此cos（α+β）＝cosα+cosβ成立．故答案为：α=−π【点评】本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题．16．（5分）已知函数y＝sin（2x+φ）(−π3＜φ＜π2)的图象关于直线x=π【分析】根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵函数y＝sin（2x+φ）(−π3＜φ＜π∴2×π3+φ＝kπ+π2，k∈Z，即φ∵−π3＜∴当k＝0时，φ=−π故答案为：−π【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键，属于基础题．17．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若cosα=12，则cos（α﹣β）＝1【分析】由已知结合三角函数的定义，诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解．【解答】解：因为角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若cosα=12，则β＝π﹣α+2kπ，k∈cosβ＝﹣cosα=−1cos（α﹣β）＝cos（2α﹣π﹣2kπ）＝﹣cos2α＝1﹣2cos2α＝1﹣2×1故答案为：12【点评】本题主要考查了三角函数定义的应用，属于基础题．18．（5分）如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km．求B，D的距离32+6【分析】在△ACD中，∠DAC＝30°推断出CD＝AC，同时根据CB是△CAD底边AD的中垂线，判断出BD＝BA，进而在△ABC中利用余弦定理求得AB答案可得．【解答】解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°﹣∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1．又∠BCD＝180﹣60°﹣60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA，在△ABC中，ABsin∠BCAsin215°=1−cos30°2，可得sin15°即AB=ACsin60°因此，BD=3故B、D的距离约为32+故答案为：32+【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是将实际问题转化为解三角形的问题解答；考查学生分析问题解决问题的能力．综合运用基础知识的能．三、解答题（五个大题，一共60分），请将答案填写到答题卡规定的位置19．（10分）已知cosα=−4（1）sinα，cosβ的值；（2）sin（α+β）和tan2α的值．【分析】（1）由已知结合同角平方关系即可求解；（2）由已知结合和差角公式及二倍角公式即可求解．【解答】解：（1）因为cosα=−4所以sinα=35，cosβ（2）sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα=35×(−1213由（1）得，tanα=sinα则tan2α=2tanα【点评】本题主要考查了同角基本关系，和差角公式，二倍角公式的应用，属于基础题．20．（12分）已知函数f(x)=sin(2x−π（1）求m的值；（2）求函数f（x）在[0，4π（3）下表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据．xπ35π62x−π0π2π3π22πsin(2x−π010﹣10y121212【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式，结合特殊角的三角函数值求解即可；（2）由（1）得函数的解析式，令f（x）＝0，结合x的取值范围求解即可；（3）根据“五点法”及特殊角的三角函数值填表即可．【解答】解：（1）因为函数f(x)=sin(2x−π所以f（0）＝sin（−π6）+m=−所以m=1（2）由（1）得f（x）＝sin（2x−π6）由f（x）＝sin（2x−π6）即sin（2x−π6）=−12，解得x＝kπ，k∈Z，或x=2π3+因为x∈[0，4π3]，所以x＝0，2π故f（x）在[0，4π3]上的零点为0，2π（3）根据“五点法”填表如下，xπ12π37π125π613π122x−π0π2π3π22πsin(2x−π010﹣10y123212−112【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值，考查三角函数的性质，属于基础题．21．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝26，CD=6，cosA=63，cos∠（1）求cos∠ABD；（2）求BC的长．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，sin∠ADB的值，由于∠ABD＝π﹣（A+∠ADB），利用诱导公式，两角和的余弦公式即可求解；（2）由已知及正弦定理可求出BD的值，在△BCD中，利用余弦定理即可求出BC的值．【解答】解：（1）因为AB∥CD，cosA=63，cos∠ADB所以sinA=1−cos2A=可得cos∠ABD＝cos[π﹣（A+∠ADB）]＝﹣cos（A+∠ADB）＝sinAsin∠ADB﹣cosAcos∠ADB=3（2）由已知及正弦定理BDsinA=ABsin∠ADB，可得由于cos∠BDC＝cos∠ABD=69，CD在△BCD中，由余弦定理可得BC=C【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，两角和的余弦公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．22．（14分）已知函数f(x)=cosx(23（1）求函数f（x）的单调递增区间和最小正周期；（2）填写由函数y＝2sinx的图像变换得到f（x）的图像的过程：先将y＝2sinx图像上的所有点_____，得到y=2sin(x+π再把y=2sin(x+π6)（3）若当x∈[0，π2]时，关于x的不等式f（x）≥m请选择①和②中的一个条件，补全问题（3），并求解．其中，①有解；②恒成立．【分析】（1）根据三角函数的性质即可求解；（2）结合正弦函数的平移变换及周期变换即可求解；（3）若选择①，则不等式f（x）≥m有解，即m≤f（x）max，求f（x）在[0，π2]上的最大值，即可求解；若选择②，则不等式f（x）≥m恒成立，即m≤f（x）min，求f（x【解答】解：（1）因为f(x)=cosx(23sinx+cosx)−sin2x=23sinxcosx+cos=3sin2x+cos2x＝2sin(2x+所以函数f（x）的最小正周期T＝π，因为函数y＝sinx的单调递增区间为[−π2+2kπ，π2+2kπ]令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k所以函数f（x）的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ]（2）由函数y＝2sinx的图像变换得到f（x）的图像的过程：先将y＝2sinx图像上的所有点向左平移π6个单位，得到y=2sin(x+再把y=2sin(x+π6)的图像上的所有点，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1（3）若选择①：由题意可知，不等式f（x）≥m有解，即m≤f（x）max，因为x∈[0，π2]故当2x+π6=π2，即x=π6所以m≤2，即m∈（﹣∞，2]；若选择②：由题意可知，不等式f（x）≥m恒成立，即m≤f（x）min，因为x