第17讲 角的概念与表示 角的大小比较（六大题型）（原卷版）

第17讲角的概念与表示角的大小比较（六大题型）1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2.借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；知识点一、角的概念角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图2图1图2图1（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．知识点二、角的比较与运算1.角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位．2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．题型1：角的概念与表示、分类【典例1】．下列说法中，正确的是（

）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角的边越长，角越大【典例2】．如图，下列说法正确的是（

）A．与表示同一个角 B．C．与表示同一个角 D．图中只有两个角，即和【典例3】．下列各角中，是钝角的是（

）A．周角 B．平角 C．2锐角 D．直角【典例4】．下列说法正确的是（

）．A．大于且小于的角是锐角 B．大于的角是钝角C．大于且小于的角是锐角或钝角 D．直角既是锐角也是钝角【典例5】．如图所示,小于平角的角有()A．9个 B．8个 C．7个 D．6个题型2：钟面角、方位角及其应用【典例6】．一节课45分钟，分针所转过的角度是（

）A． B． C． D．【典例7】．12点15分，钟表上时针与分针所成的夹角的度数为（

）A． B． C． D．【典例8】．如图，钟表上显示的时间是，此时，时针与分针的夹角是（

）A． B． C． D．【典例9】．【真实问题情境】如图，有一个灯塔，测得灯塔在海岛的南偏西方向上，在海岛的南偏西方向上，则灯塔的位置可能是（

）

A．点 B．点 C．点 D．点【典例10】．如图，下列说法中正确的是（

）

A．方向是北偏东 B．方向是北偏西 C．方向是南偏西 D．方向是南偏东【典例11】．一艘运输船在处遇险后，向位于处的救生船报警，处的救生船相对于处的位置是（

）

A．北偏东，50nmile B．南偏西，50nmileC．南偏西，50nmile D．北偏东，50nmile【典例12】．如图，甲从O地出发向北偏东方向走到A处，乙从O地出发向南偏东方向走到B处，则的度数是（

）A．90° B．100° C．105° D．110°【典例13】．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，甲船沿北偏西方向，以每小时12海里的速度航行；乙船沿北偏东方向，以每小时16海里的速度航行．1小时后两船分别位于点A与B处，此时两船相距（）A．12海里 B．16海里 C．20海里 D．24海里题型3：角的单位与角度制【典例14】．（角的换算）把用度、分、秒表示，正确的是（

）A． B． C． D．【典例15】．若，则用度、分、秒表示为（

）A． B． C． D．【典例16】．等于'，等于''，等于°【典例17】．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．题型4：角的大小比较【典例18】．若，则（

）A．B． C． D．【典例19】．若，，，则（

）A． B． C． D．【典例20】．如图，利用一副三角板比较与的大小，两角顶点均与三角板某一顶点重合．已知图1中射线经过角的一边，图2中射线经过角的一边，则下列判断正确的是（

）

A． B． C． D．无法判断【典例21】．如图，与之间的关系是（

）A． B． C． D．与的大小无法比较【典例22】．如图，，则与的大小关系是（

）

A． B．C． D．与无法比较大小题型5：与三角板有关的计算题【典例23】．只利用一副（两块）三角尺不能直接拼出的角度是（

）A． B． C． D．【典例24】．将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中与相等的是（

）A． B．C． D．题型6：角的四则运算、几何图形中的角度计算【典例25】．把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（）A．70° B．90° C．105° D．120°【典例26】．如图，点为直线上一点，，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【典例27】．如图，点在直线上，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．【典例28】．计算：的值为（

）A． B． C． D．【典例29】．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【典例30】．已知，都是钝角，甲，乙，丙，丁四位同学计算的结果依次是50°，26°，72°，90°，其中计算结果正确的同学是：．一、单选题1．下列说法：（1）两条射线组成的图形叫做角；（2）角的两边是两条线段；（3）平角的两边组成一条直线；（4）周角就是一条射线．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列4个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（

）A．B．C．D．3．已知，如果用10倍的放大镜看，这个角的度数将（

）A．缩小10倍 B．不变 C．扩大10倍 D．扩大100倍4．从6时到9时，钟表的时针旋转的度数是（

）．A．30 B．60° C．90° D．120°5．如图，能用∠1、∠EOF、∠O三种方法表示同一个角的图形是（

）A． B． C． D．6．如图下列说法错误的是（

）．A．OA方向是北偏东 B．OB方向是北偏西C．OC方向是西南方向 D．OD方向是南偏东7．若∠A=45°18′，∠B=45°15′30″，∠C=45.15°，则（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B8．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是（

）A． B． C． D．9．已知与都小于平角，在平面内把这两个角的一条边重合，若的另一条边恰好落在的内部，则（）．A． B． C． D．不能比较与的大小10．已知O是直线AB上一点（点O在点A、B之间），OC是一条射线，则∠AOC与∠BOC的大小关系是（

）A．∠AOC一定大于∠BOC B．∠AOC一定小于∠BOCC．∠AOC一定等于∠BOC D．∠AOC可能大于、等于或小于∠BOC二、填空题11．的两条组成的图形叫做角，这个叫做角的顶点，这两条叫做角的边．12．早上从7：00到7：20，时钟的分针转过了度．13．计算：（1）；（2）；（3）．14．，，，；；．15．如果，则；如果，则．16．如图所示，图中共有个小于180°的角，其中最大的角是．17．如图，点O在直线上，射线平分，若，则．18．如图，用“＞”或“＜”填空：（1）在图①中，；（2）在图②中，．三、解答题19．计算：(1)180°－(48°39′40″＋67°41′35″)；(2)(30°－23°15′40″)×3；(3)36°24′36″×3(结果用度表示)；(4)22.38°÷4(结果用度分秒表示)．20．观察常用时钟，回答下列问题：（1）下午2时整，时针和分针构成多少度的角？（2）时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？（3）从到，分针转动了多少度？21．如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它北偏东方向．试在图中确定这艘船的位置．22．如图，在同一平面内有任意四个点、、、．(1)按要求补充图形：画出直线、射线、，连接；(2)若小明在（1）的基础上测量，，求的度数；(3)若（1）（2）基础上，小亮又测量，比较与的大小关系．23．如图，按要求写出符合条件的角．（1）能用一个字母表示的角；（2）以B为顶点的角；（3）图中共有几个小于平角的角？24．读句画图，并回答问题：任意画一个角∠AOB，在∠AOB内部任意画射线OC，在射线OC上任意取一点D，过点D任意作一直线EF分别交OA，OB边于点E，F．（1）图中一共有多少个小于平角的角？（2）用大写字母表示以点D为顶点的角；（3）∠AOB还可以怎样表示？25．如图所示，求解下列问题：（1）比较和的大小；（2）借助三角尺，比较和的大小；（3）利