2024浙江省杭州市锦绣育才教育集团九年级中考四模数学试题（含答案）

第第页2024浙江省杭州市锦绣育才教育集团九年级中考四模数学试题一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．-5的倒数是（）A．-5 B．5 C．15 D．2．月球与地球的平均距离约为384000000米，数据384000000用科学记数法表示为（）A．0.384×109 B．3.84×108 C．3．下列运算中正确的是（）A．(−a)4=−a4 B．a2⋅4．已知P1(a,−2)和P2A．−1 B．1 C．−5 D．55．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽，另有一竹竿，也不知竹竿的长短，竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长、若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（）A．(x+4)2=xC．(x+2)2=(x−4)6．一次考试后，数学老师对班级数学成绩进行了统计分析．甲同学因病缺考，计算其余同学的平均分为102分，方差s2A．平均分和方差都不变 B．平均分和方差都改变C．平均分不变，方差变小 D．平均分不变，方差变大7．某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 第7题图 第8题图8．某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为△ABC，已知tanB=13A．23 B．43 C．49．如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）A．2 B．74 C．3210．已知二次函数y=ax2−bx(a≠0)，经过点P(1,m)．当y≥−1时，x的取值范围为x≤t或x≥−2−tA．−2 B．−1 C．2 D．4二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：4x212．在一个不透明的盒子中装有10个大小相同的乒乓球，做了1000次摸球试验，摸到红球的频数是401，估计盒子中的红球的个数是．13．如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC=3，AC=3．则图中阴影部分的面积是． 第13题图 第15题图 第16题图14．一次生活常识竞赛，一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣1分，小明有2题没答，竞赛成绩要不低于83分，则小明至少要答对道题．15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为2,0，点B在y轴上，分别以A，B两点为圆心，AB长为半径作弧，在AB右侧交于点C，若点C的纵坐标为3，则点B的纵坐标为．16．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是边AB上的动点，连接CE，EF，CF．若tan∠FCE=23，则三、解答题（本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤）17．小王同学解分式方程x+13x−6解：去分母得：x+1−3(2x+1)=3①去括号得：x+1−6x+1=3②移项得：x−6x=3−1−1③合并同类项得：−5x=1④系数化为1得：x=−1∴x=−1518．在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E，交CB于点F，FH⊥AB于点H．（1）求证：△ACF≌△AHF；（2）求CE的长．19．如图，一次函数y1=kx+2(k≠0)的图象与反比例函数y2（1）求一次函数的表达式和B点坐标；（2）已知点Cx1,m在一次函数y1=kx+2上，点Dx220．图1为科研小组研制的智能机器，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，始终与平台l垂直，连杆BC长度为60cm，机械臂CD长度为40cm，点B，C是转动点，AB，BC与CD始终在同一平面内．图1 图2（1）转动连杆BC，机械臂CD，当张角∠ABC=120°且CD∥AB时（如图2），求机械臂臂端D到操作台l的距离．（2）转动连杆BC，机械臂CD，要使机械臂端D能碰到操作台l上的物体M，则物体M离底座A的最远距离是多少？21．为提高我市中学生的思维创新能力，市教育局举办了思维创新数学竞赛，竞赛设定满分100分，学生得分均为整数．在八年级初赛中，甲、乙两校各随机抽取40名学生，并对其成绩x（单位：分）进行整理、描述和分析．其部分信息如下．a．甲校学生成绩的扇形统计图如下（A组：0≤x≤60，B组：60<x≤70，C组：70<x≤80，D组：80<x≤90，E组：90<x≤100）．b．甲校学生成绩在70<x≤80这一组的成绩是（单位：分）：73，77，73，78，72，75，77，78．c．甲、乙两校抽取学生成绩的平均数、中位数（单位：分）如表：学校平均数中位数甲75.6n乙76.177.5（1）以上成绩统计图表中m=___________，n=___________．（2）在抽取的同学中，参加竞赛的甲校同学，成绩高于平均分的人数有p人，参加竞赛的乙校同学，成绩高于平均分的人数有q人，比较p，q的大小，并说明理由．（3）通过以上数据分析，你认为哪个学校学生的“思维创新能力”更强？请说明理由．22．如图，已知矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE于点F，连接AC交DF于点G．（1）若BE=2，求AE⋅AF的长；（2）若AGCG=223．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点B的坐标为−32,−10（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM=212，EN=272，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，点D是AC上一点，连接AD，CD，作BF∥AD交AC的延长线于点F．（1）求证：∠BCF=∠ADC；（2）若AD=2，AC⋅CF=16，求BF的长；（3）连接BD交AF于点E，若BD⊥AC，求CFAE

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】∵−5×(−∴-5的倒数是−1故答案为：D.【分析】乘积为”1”的两个数互为倒数.2．【答案】B【解析】【解答】解：384000000用科学记数法表示为3.84×10故答案为：B.

【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中3．【答案】D【解析】【解答】解：A、(−a)4=a4，故A错误

B、a2⋅a3=故答案为：D【分析】A、表示4个-a相乘，结果为a4；B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加；C、不是同类项

4．【答案】A【解析】【解答】解：∵点P1(a，−2)与点P∴a=−3，∴a+b=−3+2=−1．故答案为：A.【分析】根据关于原点对称的两个点的横、纵坐标互为相反数求出a、b的值，然后代入计算解题．5．【答案】B6．【答案】C【解析】【解答】解：∵甲同学补考的成绩是102分，其余同学的平均分为102分，∴该班测试成绩的平均分为102分，∴s∴平均分不变，方差变小，故答案为：C【分析】根据平均数和方差的定义结合题意进行计算即可求解。7．【答案】C【解析】【解答】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为y=kx，则令甲x1,y1、乙过甲点作y轴平行线交反比例函数于x1,y'1由图可知y'∴x1,y'1、乙x2根据题意可知xy=优秀人数，则①x2②x1③x3综上所述：甲学校优秀人数<乙学校优秀人数=丁学校优秀人数<丙学校优秀人数，∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，故选：C．

【分析】本题考查反比例函数图象与性质的实际应用题.设反比例函数表达式为y=kx，则令甲x1,y1、乙x2,y2、丙x3,y3、丁x4,y4，过甲点作y轴平行线交反比例函数于x1,y'1，过丙点作y8．【答案】D【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC，由简图可知，这个几何体是三棱柱，高为2,BC=4，设CD=m，∵∠C=45°,∴AD=CD=m，∵tanB=13∴解得m=1，∴AD=1，则1×2=2，∴左视图长方形的长为2，宽为1，所以左视图的面积是2．故答案为：D．

【分析】根据三视图可知图形为三棱柱，设CD=m然后根据正切求出m的值，即可得到AD长解答即可．9．【答案】A【解析】【解答】解：如图，延长CE，FG交于点N，过点N作l//AB，延长CB,DA交l于M,P，

∴∠CMN=∠DPN=90°，∴四边形CMPD是矩形，根据折叠，∠MCN=∠GCN，CD=CG，DF=FG，∵∠CMN=∠CGN=90°，CN=CN，∴RtΔMNC≅RtΔGNC，∴CM=CG=CD=6，MN=NG∴四边形CMPD为正方形，∵BE//MN∴△CBE∼△CMN，∴BEMN∵BE=2，∴MN=3，∴NP=3，设DF=x，则AF=4−x，在Rt△PNF中，由FP2解得x=2；故答案为：A．【分析】延长CE，FG交于点N，过点N作l//AB，延长CB,DA交l于M,P，则CMPD是矩形，再根据折叠证明RtΔMNC≅RtΔGNC，即可得到MN=NG，然后得到CMPD为正方形，即可证明△CBE∼△CMN，求出NP长，再在Rt△PNF中根据勾股定理解题即可．10．【答案】D【解析】【解答】解：当y≥−1时，ax2−bx≥−1，x的取值范围为x≤t∴(t，∴抛物线对称轴为直线x=t−2−t∴−−b∴b=−2a，∴y=ax将(1,m)代入解析式得a+2a=m，∴a=m∵当y≥−1时，x的取值范围为x≤t或x≥−2−t，∴a＞0．∴−a≤−1∴−a=−m∴m≥3．故答案为：D．

【分析】根据题意，由当y≥−1时，x的取值范围为x≤t或x≥−2−t，可得抛物线对称轴为直线x=−1，从而可得b与a的关系，将P(1,m)代入解析式，用含m代数式表示a，根据−a≤−1可得关于m的不等式，解不等式即可求解．11．【答案】4(x+1)(x−1)【解析】【解答】解：由题意知，4x故答案为：4(x+1)(x−1)．

【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．12．【答案】4【解析】【解答】解：∵做了1000次摸球试验，摸到红球的频数为401，∴摸到红球的频率是：4011000∴估计其中的红球个数为：10×0.4=4（个）.故答案为：4．

【分析】根据概率公式先求出摸到红球的概率，然后乘以总球的个数即可求解．13．【答案】π6【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC=3，AC=3∴AB=A∵BC⊥OC，∴BC是圆的切线，∵⊙O与斜边AB相切于点D，∴BD=BC，∴AD=AB−BD=23在Rt△ABC中，

∵sinA=∴∠A=30°，∵⊙O与斜边AB相切于点D，∴OD⊥AB，∴∠AOD=90°−∠A=60°，∵ODAD∴OD3∴OD=1，∴S阴影故答案是：π6．

【分析】在Rt△ABC中，用勾股定理求出AB的长，由切线长定理可得BD=BC，由线段的构成AD=AB−BD可求出AD的长度；在Rt△ABC中，用特殊角的锐角三角函数sin∠A=BCAB并结合特殊角的三角函数值可求出∠A的度数，根据圆周角定理可求出圆心角∠DOA的度数，在Rt△ODA中，由锐角三角函数tan∠A=ODAD14．【答案】22【解析】【解答】解：设小明答对x道，根据题意得：4x−1×解得：x≥21.2∴小明至少要答对22道题．故答案为：22．

【分析】设小明答对x道，根据题意列一元一次不等式求出最小整数解即可．15．【答案】6−2【解析】【解答】解：在x轴上分别取点M和N，使得∠BMO=∠CNA=60°，由题知，△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠BAM+∠CAN=∠CAN+∠ACN=120°，∴∠BAM=∠ACN．在△BAM和△ACN中，∠BMO=∠CNA∠BAM=∠ACN∴△BAM≌△ACNAAS∴AM=CN．过点C作x轴的垂线，垂足为D，在Rt△CDN中，sin∠CNA=∴CN=CD∴AM=CN=23又∵点A的坐标为2,0，∴OA=2，∴OM=23在Rt△BOM中，tan∠BMO=∴BO=tan∴点B的纵坐标为6−23故答案为：6−23．

【分析】在x轴上分别取点M和N，使得∠BMO=∠CNA=60°，由题意用角角边可证△BAM≌△ACN，由全等三角形的对应边相等可得AM=CN，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在Rt△CDN中，用锐角三角函数sin∠CNA=CDCN求出CN的值，在Rt△BOM中，用锐角三角函数tan∠BMO=16．【答案】317．【答案】解：错误的步骤是①、②，正确解答如下：

去分母得：x+1−3(2x+1)=3(3x−6)，

去括号得：x+1−6x−3=9x−18，

移项得：x−6x−9x=−18−1+3，

合并同类项得：−14x=−16，

解得：x=87，

检验：当x=87时，3x−6=−18【解析】【分析】观察阅读材料中的解方程过程并结合等式的性质和去括号法则可找出错误的步骤，根据等式的性质和去括号法则可求解．18．【答案】（1）证明：∵AC=6，BC=8，AB=10，

∴AC2+BC2=62+82=100，AB2=102=100，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC为直角三角形，即∠ACB=90°，

∵FH⊥AB，

（2）解：由（1）得：△ACF≌△AHF，

∴∠AFC=∠AFH，CF=FH，AC=AH=6，

∵CD⊥AB，FH⊥AB，

∴CD∥FH，

∴∠CEF=∠AFH，

∴∠AFC=∠CEF，

∴CE=CF，

设CF=x，则CE=CF=FH=x，

∵AC=AH=6，AB=10，BC=8，

∴BH=AB−AH=10−6=4，BF=BC−CF=8−x，

在Rt△BFH中，由勾股定理得：BF2=FH2+BH2，

即8−x2【解析】【分析】（1）由题意并根据勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，再根据垂线的性质得∠ACB=∠AHF=90°，由角平分线定义得∠CAF=∠HAF，结合已知用角角边可证△ACF和△AHF全等；

（2）由（1）得△ACF≌△AHF，则∠AFC=∠AFH，CF=FH，AC=AH=6，证CD∥FH得∠CEF=∠AFH，则∠AFC=∠CEF，从而得CE=CF，设CF=x，则CE=CF=FH=x,BH=4，BF=8−x，在Rt△BFH中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值即可求解．（1）证明：∵AC=6，BC=8，AB=10，∴AC∴AC∴△ABC为直角三角形，即∠ACB=90°，∵FH⊥AB，∴∠ACB=∠AHF=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠HAF，在△ACF和△AHF中，∠CAF=∠HAF∠ACB=∠AHF=90°∴△ACF≌△AHFAAS（2）解：由（1）得：△ACF≌△AHF，∴∠AFC=∠AFH，CF=FH，AC=AH=6，∵CD⊥AB，FH⊥AB，∴CD∥FH，∴∠CEF=∠AFH，∴∠AFC=∠CEF，∴CE=CF，设CF=x，则CE=CF=FH=x，∵AC=AH=6，AB=10，BC=8，∴BH=AB−AH=10−6=4，BF=BC−CF=8−x，在Rt△BFH中，由勾股定理得：BF即8−x2解得：x=3，∴CE=x=3．19．【答案】（1）解：∵点A的纵坐标为3，且A在反比例函数y2=3x的图象上，

∴3=3x，

解得，x=1，

∴A1,3，

∵点A1,3在一次函数y1=kx+2(k≠0)的图象上，

∴3=k+2，

解得k=1，

∴一次函数解析式为：y=x+2．

联立方程组y=x+2y=3x，（2）解：∵点Cx1,m在一次函数y1=kx+2上，点Dx2,m在反比例函数y2=3【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法求出一次函数解析式，再将一次函数和反比例函数的解析式联立解方程组即可求解；

（2）根据图象和题意即可求解．（1）解：∵点A的纵坐标为3，且A在反比例函数y2∴3=3解得，x=1，∴A1,3∵点A1,3在一次函数y∴3=k+2，解得k=1，∴一次函数解析式为：y=x+2．联立方程组y=x+2y=解得，x1=−3y∵A∴B−3,−1（2）解：∵点Cx1,m在一次函数y1=kx+2上，点D由两个函数图象m的取值范围为：m<−1或0<m<3．20．【答案】（1）解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，延长CD交l于点E，如图，

则AB=EF=50cm,∠ABF=∠BFC=90°，

∵∠ABC=120°，

∴∠CBF=∠ABC−∠ABF=120°−90°=30°，

在Rt△BCF中，BC=60cm，

∴CF=BC×sin30°=60×12=30cm，

∴CE=CF+CF=30+50=80cm，

∴DE=CE−CD=80−40=40cm，

∴（2）解：当B、C、D三点共线时，此时M点与底座距离最远，如图：

∵BC=60cm,CD=40cm，

∴BD=BC+CD=60+40=100cm，

在Rt△ABD中，AB=50cm，

∴AD=BD2−AB【解析】【分析】（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，根据题意可得AB=EF=50cm，∠ABF=∠BFC=90°，从而可得∠CBF=30°，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义sin∠CBF=CFBC求出CF的长，从而求出CE的长，然后根据线段的构成DE=CE-CD即可求解；（1）解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，延长CD交l于点E，如图，则AB=EF=50cm,∠ABF=∠BFC=90°，∵∠ABC=120°，∴∠CBF=∠ABC−∠ABF=120°−90°=30°，在Rt△BCF中，BC=60cm，∴CF=BC×sin30°=60×1∴CE=CF+CF=30+50=80cm∴DE=CE−CD=80−40=40cm∴机械臂臂端D到操作台l的距离为40cm；（2）解：当B、C、D三点共线时，此时M点与底座距离最远，如图：∵BC=60cm,CD=40cm，∴BD=BC+CD=60+40=100cm在Rt△ABD中，AB=50cm∴AD=B∴物体M离底座A的最远距离为5021．【答案】（1）22.5，74（2）解：抽取的甲校的学生中，成绩的平均分为75.6，

∴p=15%×40+22.5%×40+4=19．

∵乙校的学生中，成绩的平均分为76.1，中位数为77.5，且76.1＜77.5，

∴q≥20．

∴（3）解：乙校学生的“思维创新能力”更强，理由如下：

∵在抽取的竞赛学生的成绩中，乙校学生成绩的平均数和中位数均比甲校大．

建议：加强学生思维训练，鼓励学生进行创造性的活动；多引导学生自主学习，激发学生的学习兴趣和挑战欲望．【解析】【解答】（1）解：甲班C组人数所占的百分比为840∴m%∴m=22.5，甲校学生成绩排在第20，21位的是73，75，所以甲校学生成绩的中位数n=73+75故答案为：22.5，74；【分析】（1）根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”和百分比之和为1并结合题意即可求解；

（2）根据题意求出p、q的值，再比较大小即可；

（3）根据题中计算出的中位数、平均数的大小即可求解．（1）解：甲班C组人数所占的百分比为840∴m%∴m=22.5，甲校学生成绩排在第20，21位的是73，75，所以甲校学生成绩的中位数n=73+75故答案为：22.5，74；（2）解：抽取的甲校的学生中，成绩的平均分为75.6，∴p=15%∵乙校的学生中，成绩的平均分为76.1，中位数为77.5，且76.1＜77.5，∴q≥20．∴p<q故答案为：<；（3）解：乙校学生的“思维创新能力”更强，理由如下：∵在抽取的竞赛学生的成绩中，乙校学生成绩的平均数和中位数均比甲校大．建议：加强学生思维训练，鼓励学生进行创造性的活动；多引导学生自主学习，激发学生的学习兴趣和挑战欲望．22．【答案】（1）解：∵E是BC的中点，

∴BC=2BE=4，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=4，∠B=90°，AD∥BC，

∴∠AEB=∠DAF，

∵DF⊥AE，

∴∠AFD=90°=∠B，

∴△ABE∽△DFA，

∴AEAD=BEAF，（2）解：延长DF交CB的延长线于H，连接DE、AH，如图2所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，∠BCD=90°，

∴△ADG∽△CHG，

∴ADCH=AGCG=23，

∴BH=12BC，

∵E是BC的中点，

∴BE=CE=BH，

∴EH=BC=AD，

∴四边形ADEH是平行四边形，

∵DF⊥AE，

∴四边形ADEH是菱形，

∴DF=HF，∠AEH=∠AED，DE=AD=EH=BC，

∴CE=12DE，

在Rt△CDE中，sin∠CDE=CEDE=12，

∴∠CDE=30°，

∴∠CED=90°−30°=60°，

∴∠AEH=∠AED=60°，

23．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=a0x−12+54，

把0，0代入解析式得：a0=−54，

∴抛物线的解析式为y=−54x−12+54（2）解：该运动员此次跳水失误了，理由如下：

当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为5−32=72，将x=72代入解析式得y=−5（3）解：∵EM=212,EN=272，点E的坐标为−32,−10，

∴点M，N的坐标分别为9，−10，12，−10，

∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=ax−ℎ2+k，

且顶点C距水面4米，经过点B(4,−10)，

∴当抛物线过点M时，BM=9−4=5，

∴C4+52,−10−4即C132,−14

∴y=ax−1322−14，

把M(9，−10)代入，得a【解析】【分析】

（1）根据题意，用待定系数法求出抛物线解析式，把y=−10代入求得的解析式计算即可求解；

（2）当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为5−32=72，将x=72代入解析式得y=−10516，根据−（1）解：设抛物线的解析式为y=a把0，0代入解析式得：a0∴抛物线的解析式为y=−5令y=−10，则−5解得：x1=−2（舍去），∴入水处B点的坐标为4，−10；（2）解：当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为5−3将x=72代入解析式得∵−105∴该运动员此次跳水失误了；（3）解：∵EM=212,EN=∴点M，N的坐标分别为9，−10，∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=ax−ℎ且顶点C距水面4米，经过点B(4,−10)，∴当抛物线过点M时，BM=9−4=5，∴C4+5∴y=ax−把M(9，−10)代入，得a9−解得a=16同理，当抛物线过点N(12，−10)时，y=ax−8则a12−8解得，a=1由点D在MN之间得a的取值范围为14