浙江省绍兴市诸暨市2024年中考数学模拟试题（含答案）

第第页浙江省绍兴市诸暨市2024年中考数学模拟试题一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）1．2024的相反数是（）A．2024 B．−12024 C．−2024 2．据报道，浙江省举全省之力筹办杭州亚运会，共有37600名志愿者参加.其中37600用科学记数法可表示为（）A．3.76×105 B．3.76×13．青溪龙砚起源于宋代，已有一千余年的历史，是浙江一项传统的石雕工艺，被列入浙江省级非物质文化遗产项目.如图是一款龙砚的示意图，其俯视图是（）A． B． C． D．4．下列计算正确的是（）A．(x2)3=x6 B．5．将一副直角三角板按图中所示的位置摆放，∠C=30°，∠F=45°，若两条斜边DF//AC，则∠1=（）A．75° B．70° C．65° D．60° 第5题图 第7题图6．某珍珠直播间介绍了一批珍珠，从中随机抽取7颗珍珠，测得珍珠直径（单位：mm）分别是：13，14，13，15，16，13，15.则这组数据的众数和中位数分别是（）A．14，15 B．14，14 C．13，13 D．13，147．如图，AB为⊙O的直径，AD交⊙O于点F，点C是BF的中点，连接AC.若∠CAB=30°，AB=2，则阴影部分的面积是（）A．π3 B．π6 C．2π38．根据图象，可得关于x的不等式k2A．x<2 B．x>2 C．x<1 D．x>1 第8题图 第9题图9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE⊥CD于E，F是边BC的中点，连接EF，若AC=16，菱形ABCD的面积96，则EFBDA．12 B．13 C．71210．已知y关于x的函数y=x2+2ax+(a−1)的顶点为A．2 B．1.5 C．1 D．0.5二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：x212．一个不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出红球的概率是.13．如图，水暖管横截面是圆，当半径r=5mm的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为8mm，则积水的最大深度CD(CD<r)是 第13题图 第15题图14．已知实数x，y满足x+y=1，当x=时，代数式(x+115．如图，一次函数y=−x+b与反比例函数y=kx(x>0)的图象相交于A，B16．已知点Pn为线段AB上一点.如果APn:AB的比值为关于x的方程x2+已知n阶黄金分割点作法如下：步骤一：如图，过点B作AB的垂线BC，在垂线BC上取BD=kAB，连接AD；步骤二：以点D为圆心，DB为半径作弧交AD于点E；步骤三：以点A为圆心，AE为半径作弧交AB于点Pn结论：点Pn为线段AB的n⑴作法步骤一中，当k=12时，点Pn为线段AB⑵作法步骤一中，当k=（结果用n的代数式表示）时，点Pn为线段AB的n三、解答题（本大题有8小题，第17、18小题每小题6分，第19、20每小题8分，第21、22每小题每小题10分，第23、24每小题12分，共72分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（1）计算：2（2）解不等式组4−x<−318．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系.（1）过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为；（2）请通过计算判断点D(−3,19．2024年，中国空间站工程将陆续实施天舟七号货运飞船、神舟十八号载人飞船、天舟八号货运飞船、神舟十九号载人飞船等4次飞行任务，为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，某中学随机抽取学生进行测试，并对测试结果进行整理和分析，将成绩划分为A(90≤x≤100)，B(75≤x<90某中学学生对“航空航天知识”的掌握情况某中学学生对“航空航天知识”的掌握情况根据以上信息，回答下列问题.（1）求出本次调查抽取的总人数，并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，求等级为D的学生人数所对应的扇形圆心角的度数；（3）若该中学共有3000名学生，且全部参加这次测试，利用题中信息，估计学生的测试成绩A等的总人数.20．某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行0.5小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上.（1）求AC长度（单位：海里）；（2）若继续向东航行，该船与岛C的最近距离是多少海里？21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，CE=BC.（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CD=1，BD=3，求⊙O的半径长.22．某水果店购进甲，乙两种苹果，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：千克）(0≤x≤120（1）求乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：千克）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）若不计损耗等因素，甲，乙两种苹果的销售总量为100千克，销售总额为2100元，求乙苹果的销售量.23．如图，已知，在一边长固定的正方形ABCD中，点O为AB中点，E为线段AO上一动点，连接DE，作CF⊥DE于点F，G为CF中点，作GM⊥CF于点G，交AB于点M，作AH⊥MG于点H，交DE于点N.（1）求证：DE//MG；（2）若点E从点A移动到点O，随着AE长度的增大，EM的长度将如何变化？判断并说明理由；（3）若AE=kME，四边形EMHN的面积为S1，△CDF的面积为S2，求S124．已知y关于x的两个函数y=ax+a（a为常数，a≠0，x≤0）与y=ax2−2ax+a（a为常数，a≠0，x>0）的图象组成一个新图形N.图形N与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），交y（1）求点A，B坐标；（2）若△ABC为直角三角形；①求实数a的值；②若直线y=kx+b(k≠0)与图形N有且只有两个交点(x1,y

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：有理数2024的相反数是−2024，故答案为：B．【分析】本题考查求一个数的相反数.根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此可求出2024的相反数．2．【答案】B【解析】【解答】解：37600=3.故答案为：B．【分析】本题考查科学记数法的定义．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成3．【答案】C【解析】【解答】解：从上面往下看青溪龙砚是一个圆环形状，故答案为：C．【分析】本题考查简单几何体的三视图．根据俯视图的定义：从上面往下看，可找出俯视图，再观察图形可选出答案．4．【答案】A【解析】【解答】解：A．(xB．x2C．x2D．x8故答案为：A．【分析】本题考查同底数幂的乘除法则，幂的乘方，合并同类项法则．利用幂的乘方运算可得：(x2)3=x65．【答案】A【解析】【解答】解：

∵DF∥AC，∴∠AGE=∠F=45°，∵∠AGE=∠GEC+∠C，∠C=30°，∴∠GEC=15°，∴∠1=180°−∠DEF−∠GEC=180°−90°−15°=75°，故答案为：A．【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的定义以及性质.根据DF∥AC，利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等可得：∠AGE=∠F=45°，根据三角形外角的定义以及性质可得∠AGE=∠GEC+∠C，进而可求出∠GEC=15°，再利用平角的性质可得：∠1=180°−∠DEF−∠GEC，再代入数据进行计算可求出∠1．6．【答案】D【解析】【解答】解：这组数据中，出现次数最多的是13，共出现3次，因此众数是13，将这组数据从小到大排列为：13，13，13，14，15，15，16，处在中间位置的一个数是14，因此中位数是14，即：众数是13，中位数是14，故答案为：D．【分析】本题考查众数、中位数的定义.众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，观察数据可得出现次数最多的是13，共出现3次，进而可找出众数；先将这组数据从小到大排列为：13，13，13，14，15，15，16，利用中位数的定义：按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，进而可找出中位数．7．【答案】B【解析】【解答】解：连接CF，OC，OF交AC于E，

∵点C为劣弧BF的中点，∴CF∵∠BAC=30°，∴∠BAC=∠CAF=30°，∴∠COF=2∠CAF=60°=∠OAF，∵OA=OF=OC=1∴△AOF和△COF均为等边三角形∴∠AOF=∠CFO=60°，∴AB∥CF，∴S则阴影部分的面积=S故答案为：B．【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定及性质．连接OC，OF，交AC于E，根据点C为劣弧BF的中点，可得：CF=BC，再利用圆周角定理可得：∠BAC=∠CAF=30°，∠COF=60°=∠OAF，利用全等三角形的判定定理可证明△AOF和△COF均为等边三角形，利用等边三角形的性质可得：∠AOF=∠CFO=60°，利用平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行，据此可证明AB∥CF，进而可得S△ACF8．【答案】C【解析】【解答】解：不等式k2x+kb>−kx+3k两边同除以k(k<0)

得到kx+b<−x+3

从图像上看，即kx+b的图像在-x+3的图像下方

所以x<1

故答案为：C.9．【答案】D【解析】【解答】解：.AC=16，菱形ABCD的面积96，

所以AC⊥BD，BD=2×9616=12

所以OB=6，0C=8，

所以BC=OB2+OC2=62+10．【答案】D11．【答案】（x+2)(x−2)【解析】【解答】x2−4=(x+2)(x−2)．

故答案为：【分析】本题考查了用平方差公式法进行因式分解的能力，应用公式的前提是准确认清公式的结构.12．【答案】2【解析】【解答】解：共有球3+2=5个，红球有2个，因此摸出的球是红球的概率为25故答案为：25【分析】本题考查概率的计算公式.根据题意可得所有可能出现的结果数为：3+2=5个，红球共有2个，再利用概率公式进行计算可求出答案.13．【答案】2【解析】【解答】解：∵OD⊥AB，AB=8mm，

∴AC=BC=12AB=4mm，

∴OC=OA2−AC2=5214．【答案】1【解析】【解答】解：因为x+y=1，

所以y=1-x，

所以(x+1)(y+2)=(x+1)(1-x+2)

=-x2+2x+3

=-(x-1)2+4，

∵(x-1)2≥0，

：.-(x-1)≤0，

..当x=1时，-x−12+4有最大值4，

即当x=1时，(x+1)(y+2)有最大值4.

故答案为：115．【答案】18【解析】【解答】解：∵点A，B的横坐标分别为3和6，

∴A(3，-3+b)，B(6，-6+b).

∵点A(3，-3+b)，B(6，-6+b)在反比例函数图象上，

∴.3×(-3+b)=6×(-6+b)，

解得b=9，

∴A(3，6)，B(6，3)，

∴k=3×6=18.

故答案为：18.

【分析】将A、B的坐标设出来，根据一次函数，然后讲A、B代入反比例函数即可求出k16．【答案】一；1【解析】【解答】解：（1）当k=12时，根据勾股定理得：AD=A∴AP∴AP∵APn:AB的比值为关于∴(5解得：21−n∴1−n=0，解得：n=1，∴当k=12时，点Pn故答案为：1；（2）∵BD=kAB，根据勾股定理得：AD=A∴AP∴AP解方程x2+2∵1+2∴−1+1+22n∵APn:AB的比值为关于x的方程∴1+k∴1+k令12则1+===m∴m2∴k=m=1故答案为：12【分析】本题考查勾股定理，解一元二次方程，根式的化简．（1）先利用勾股定理可求出AD=AB2+BD2=52AB，可据此题意可得：AP（2）先利用勾股定理可得：AD=AB2+BD2=AB2+(kAB)2=1+k2AB，求出17．【答案】（1）解：2=2×=（2）解：4−x<−3解①得x<1；解②得x≥−2；∴−2≤x<1【解析】【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂的计算，负数指数幂的计算，一元一次不等式组的解集.

(1)先计算特殊角的三角函数值，零次幂的计算，负数指数幂可得：原式=2×22−1−2，再进行计算可求出答案.

(2)先计算出两个一元一次不等式可得：x<118．【答案】（1）(（2）解：计算得DM=4，r=10，∵DM>r，∴点D在圆M【解析】【解答】解：（1）解：如图，连接AB，AC，分别作AB，AC的垂直平分线，两直线交于点M，∴M是过A，B，C三点的圆的圆心，∴M(1,（2）∵M(1,−2)，D(−3,∴MD=1−(−3)∴MD>MB，∴点D在⊙M的外部．【分析】本题考查垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系．（1）连接AB，AC，分别作AB，AC的垂直平分线，两直线交于点M，就是过A，B，C三点的圆的圆心，观察图形可求出点M的坐标；（2）利用两点间的距离公式可求出MD，利用勾股定理可求出MB的长度，再进行比较两个长度可得：MD>MB，利用点与圆的位置关系可作出判断．19．【答案】（1）解：由图得：B等级有10人，占20%∴10÷20%=50（人等级C的人数：50−20−10−5=15（人)，条形图如图所示：（2）解：等级为D的学生人数所对应的扇形圆心角的度数360°×5（3）解：2050答：估计学生的测试成绩A等的总人数有1200人．【解析】【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用．（1）由图得B等级有10人，占20%，据此可求出抽取的总人数，用总人数减去其它几组的人数可求出C（2）用360度乘以D级所占的比例可求出扇形统计图中等级为D的学生人数所对应的扇形圆心角的度数；（3）用总人数乘A等级所占的比例，再进行计算可求出估计学生的测试成绩A等的总人数.．20．【答案】（1）解：作CD⊥AB于D点，

设AC为x海里，

在Rt△ACD中，∠CAD=90°−∠CAE=30°，

∴CD=AC⋅sin∠CAD=12x，AD=AC⋅cos∠CAD=32x，

在Rt△BCD中，∠CBD=90°−∠CBF=60°，

∴BD=CD÷tan∠CBD=12x÷tan60°=36x，

由题意可知，AB=36×0（2）解：由（1）得，CD=AC⋅sin∠CAD=12×183=93（海里），

∵CD⊥AB【解析】【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合和准确掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．（1）作CD⊥AB于D点，设AC为x海里，在Rt△ACD中，利用正弦的定义可求出CD=12x，利用余弦的定义可求出AD=32x，在Rt△BCD中，利用角的运算可得：∠CBD=90°−∠CBF=60°，进而可利用正切的定义求出BD=36x，根据AB+BD=AD可列出方程18+3621．【答案】（1）证明：连接OE，

∵CE=BC，∴∠CEB=∠CBE∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED∵∠BDC=∠ODE，∴∠OED=∠BDC∵∠ACB=90°，∴∠OED+∠DEC=∠BDC+∠CBE=90°，∴∠CEO=90°，∴CE是⊙O的切线；（2）解：∵CD=1，BD=3，∴利用勾股定理求得BC=B∴CE=BC=22设⊙O半径为r，在Rt△CEO中，由勾股定理得：OE即r解得：r=7∴⊙O的半径为72【解析】【分析】本题考查切线的判定，勾股定理．（1）连接OE，根据CE=BC，利用等边对等角可得：∠CEB=∠CBE，再根据半径相等可得：∠ODE=∠OED，进而可推出∠ODE=∠OED=∠BDC，再根据∠ACB=90°，可得∠BDC+∠CBE=90°，进而可求出∠CEO=90°，利用切线的判定定理可证明结论；

（2）由CD=1，BD=3，利用勾股定理可得BC=22，设⊙O半径为r，在Rt△CEO中，利用勾股定理可得：OE222．【答案】（1）解：设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：千克）之间的函数解析式为：y=mx，利用待定系数法得：30m=750，解得：m=25，

∴y=25x；

当30<x≤120时，函数图象过(60,1200)，(30,750)，

设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：千克）之间的函数解析式为：y=ax+c，利用待定系数法得：30a+c=75060a+c=1200，解得：a=15c=300，

∴（2）设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：千克）之间的函数解析式为：y=kx+b，函数图象过(0,0)，(60,1200)，

∴60k+b=1200b=0，解得：k=20b=0，

∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为：y=20x(0≤x≤120)；

设乙苹果a千克，则甲苹果为(100−a)千克，

情况一：当0≤a≤30时，

可列方程：25a+20(100−a)=2100，

求得a=20，

情况二：当【解析】【分析】本题考查一次函数图象的实际应用，待定系数法求解析式．（1）设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：千克）之间的函数解析式为：y=mx，根据图像可列出方程30m=750，解方程可求出m的值，据此可求出函数解析式；设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：千克）之间的函数解析式为：y=ax+c，根据图像可列出方程组30a+c=75060a+c=1200，解方程组可求出a和c的值，进而可求出解析式，综合上述两种情况可求出答案；

（2）设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：千克）之间的函数解析式为：y=kx+b，根据函数图象过(0,0)，(60,1200)，据此可列出方程组60k+b=1200b=0，解方程组可求出k和b的值，进而可求出甲种苹果销售额y与销售量x的函数解析式y=20x(0≤x≤120)，再根据“甲，乙两种苹果的销售总量为100千克，销售总额为2100元”，设乙苹果a千克，则甲苹果为(100−a)千克，分两种情况：情况一：当23．【答案】（1）证明：∵GM⊥CF，CF⊥DE，∴∠EFC=∠MGC=90°，∴DE∥MG；（2）解：如图1，EM的长度不变，理由如下，作EQ⊥MG于Q，设MG的延长线交CD于W，

∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，由（1）得，DE∥MG，∴四边形DEMW是平行四边形，∴∠EMQ=∠CDF，∵∠CFD=∠EQM=90°，∴△CDF∽△EMQ，∴EM∵DE∥MG，EQ⊥MG，CF⊥MG，∴EQ=FG，∵G是CF的中点，∴EQ=FG=1∴EM∴EM=1∵正方形ABCD的边长固定，∴EM的长度不变；（3）解：如图2，作EQ⊥MG于Q，连接EH，由（2）知：△CDF∽△EMQ，∴S∴S∵EQ∥AH，∴△EQM∽△AHM，∴MQ∴MQ∴S∵S∴1∴S【解析】【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定定理．（1）根据CF⊥DE，GM⊥CF可得：∠EFC=∠MGC=90°，利用平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行可证明DE∥MG；（2）作EQ⊥MG于Q，设MG的延长线交CD于W，利用正方形的性质可得：AB∥CD，再根据DE∥MG，利用平行四边形的判定定理可证明四边形DEMW是平行四边形，利用平行四边形的性质可得：∠EMQ=∠CDF，再根据∠CFD=∠EQM=90°，利用相似三角形的判定定理可证明△CDF∽△EMQ，利用相似三角形的性质可得：EMCD=EQCF，利用中点的性质可得：EQ=FG=12CF（3）作EQ⊥MG于Q，连接EH，根据△CDF∽△EMQ，