《计算不定积分的方法分析》2600字（论文）

计算不定积分的方法分析目录摘要 1关键词 11引言 12不定积分的定义 13不定积分公式 24线性运算法则 35第一换元积分法 56第二换元积分法 87分部积分法 108有理函数和可化为有理函数的不定积分 138.1有理函数的不定积分 138.2三角函数有理式的不定积分 138.3某些无理根式的不定积分 159总结 17参考文献 18摘要：首先给出不定积分的定义与性质，然后论述计算不定积分的主要方法，其中包括：直接积分法、第一换元法、第二换元法和分部积分法，最后介绍有理函数的积分.关键词：不定积分；换元积分法；分部积分法1引言不定积分的知识是大学理科课程中的一个核心内容，首先它是许多相关积分的起点，同时它也是求解方程的便捷工具.因此，学好不定积分的计算方法更加有利于后续知识点的学习.2不定积分的定义原函数的定义：设函数与在区间上都有定义，若，，则称为在区间上的一个原函数.不定积分的定义：函数在区间上的全体原函数称为在上的不定积分REF_Ref1966\r\h[1].例1求.解：由于，所以是的一个原函数.因此.例2求.解：当时，由于，所以是在内的一个原函数.因此，在内，当时，由于，所以是在内的一个原函数.因此，在内，根据在及内的结果，可写作.3.不定积分公式由于积分过程是微分过程的反过程，因此可以从导出的公式中获得相应的积分公式REF_Ref6592\r\h[2].下面是一些基本积分公式列成的一个表，叫做基本积分表.被积函数积分后0C1（）（）例3求.解：.例4求.解：.例5求.解：.4线性运算法则线性运算法则：若函数和在区间上都存在原函数，，为两个任意常数，则在上也存在原函数，且当和不同时为零时有成立REF_Ref3510\r\h[3].证：这是因为.线性法则的一般形式为.不定积分的运算性质：性质1：.性质2：,其中C为任意常量函数.性质3：.性质4：.例6求的不定积分.解：.例7求解：.例8求解：.例9求解：.例10求解：.例11求不定积分.解：设因为在上连续，所以不定积分在上存在.因此可以设的一个原函数为，且满足，.则当时，.所以存在常数，使得，.由于在上连续，因此在处连续，所以有，所以.因此.当遇到复杂的积分时，仅仅有这些基本公式是不够用的，像，，，，，，等一些基本的函数是没有直接积分的方法来获得它们的原始函数，那么直接积分法就无法计算了，所以我们也需要从一些演绎规则中推导一些不定积分规则，并不断利用这些导出的不定积分规则改进不定积分公式，接下来我们讨论别的方法.5第一换元积分法换元积分法的概念：设在区间上有定义，在区间上有定义,在区间上可导，且.第一换元积分法的概念：如果不定积分在上存在，则不定积分在上也存在,且.证：因为对于任何，有，所以以为其原函数，式成立.计算第一换元积分法的方法是把积分函数中的一部分送到的括号里凑成基本公式的形式再来积分，先找容易求出原函数的积分，将被积函数凑成，，其中，.我们常用的凑微分公式有：1.2.3.4.5.6.7.例12求.解：由==可令，，则得.例13求.解：（令）.例14求.解：.例15求.解：.例16求.解：【解法一】直接运用上述例题中的结论得：=【解法二】.注：和只是形式上的不同.由此可见，使用第一换元积分法的关键在于凑成，然后令，化为易于积分的.6第二换元积分法第二换元积分法的概念：如果在上存在,且在上也存在，则当在上存在时，在上有REF_Ref2541\r\h[4].证：设.对于任意的，有.所以存在常数，使得对于任何成立，从而对于任何成立.因此对于任何，有，即为的原函数，式成立.例17求.解：令，则：.例18求.解：令，（这是存在反函数的一个单调区间）.于是.例19求.解：令，，于是有由图可知，，，所以.例20求.解：令，，于是有.有些不定积分还可采用两种换元方法来计算.例21求.解：【解法一】：【解法二】：.7分部积分法分部积分法概念：若与可导，存在，则也存在，并有.常简写作REF_Ref2034\r\h[5].证：由或，对两边求不定积分，就得到式.应用分部积分法求不定积分时可以直接应用分部积分公式或者是被积表达式变形后的公式，而求不定积分的关键是确定定义或是，易求，所以易求REF_Ref3354\r\h[6].正确选定，通常有以下四个规律：被积函数是三角函数与多项式函数之积的话把三角函数凑到当中去,被积函数是指数函数与多项式函数之积的话把指数函数凑到当中去，被积函数是三角函数与指数函数之积的话把三角函数凑到当中去，不属于以上三种类型的不能凑的不要凑，能凑的凑到当中去REF_Ref7127\r\h[7].例22求.解：令，，则有，.由公式求得.例23求.解：令，，则，，由公式求得.例24求.解：令，，由公式则有.例25求.解：.例26求和.解：由此得到解此方程组，求得.例27求的递推公式.解：已知，.当时，所以.8有理函数和可化为有理函数的不定积分8.1有理函数的不定积分从多项式除法可以看出，假分数始终可以转换为多项式和实分数的总和.由于很容易找到多项式的不定积分，因此只需研究有理真分式的不定积分REF_Ref7330\r\h[8].例28求.解：.8.2三角函数有理式的不定积分对于这种形式的有理式求不定积分，可以令，然后再求不定积分REF_Ref7526\r\h[9].例29求.解：令，则.例30求.解：令，就有.通常被积的函数有，以及时，可令，往往会产生不错的效果.8.3某些无理根式的不定积分对于这种形式的不定积分，只需令，然后再求不定积分REF_Ref4382\r\h[10].例31求.解：让，则，，.例32求.解：,让，则，，.对于这种形式的不定积分（时，时）.因为，若令，，则必出现以下情况之一：，，.因此可以化为：，.然后分别令，，，就可以求不定积分了.例33求.解：【解法一】因为所以.【解法二】令，则，，所以注：，上述结果对同样成立.9总结不定积分的计算方法有许多，但在不同的情况下，要结合不同的问题的实际情况采取不同的问题和方法.需要强调一点,查找不定积分是指以原始函数形式表示的不定积分，但是没有质数函数的不定积分不能被“终止”.例如，，，等函数，尽管它们全部存在，但是它们不能用基本函数表示.参考文献：同济大学数学系.高等数学上册[M].第六版.北京:高等教育出版社,2007.赵振海.高等数学学习指导与习题全解[M].大连:大连理工大学出版社，2004.李德新.高等数学学习与解题指导[M].厦门:厦门大学出版社,2009.华东师范大学数学系.数学分析上册[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010.刘玉琏，傅沛仁，林玎，菀德馨，刘宁.数学分析讲义上册[M].第五版.北京:高等教育出版社，2008.张天德,韩振来.数学分析辅导及习题精解[M].延吉:延边大学出