吉林省吉林市普通高中2025届高三第三次模拟测试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1吉林省吉林市普通高中2025届高三第三次模拟测试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则（）A. B. C. D.，或【答案】A【解析】∵，∴，∴.故选：A2.如图，在圆中，已知弦的长度为2，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】过点作，则，所以，所以，故选：B.3.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】已知点在抛物线上，可得，解得.在抛物线中，焦点的坐标为，准线方程为.由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.所以点到准线的距离为，即.故选：B.4.若是两条直线，是两个平面，且．设，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若，由线面平行性质定理可得，充分性成立；若，，由线面平行的判定定理可得，必要性成立.所以是的充要条件.故选：C5.若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】是由，复合而成，由题意知：，在区间上单调递增，若函数（其中且）在区间上单调递减，所以单调递减，可得：,又对于恒成立，所以，解得：，综上所述：.故选：A6.棱长为2的正方体中，棱的中点为，棱的中点为，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设的外心，由外心的定义可知，为线段的四等分点（靠近），则球心在过且与平面垂直的直线上．以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设球心，由，求出，从而求出，所以三棱锥的外接球的表面积为.故选：C.7.已知正实数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，则，当时，，当时，，故在上递增，在上递减，故，所以，故，故，故的图像在的下方.∵∴，如图，为函数与函数图象交点的横坐标，为函数与函数图象交点的横坐标，为函数与函数图象交点的横坐标，由图知，，而，由为增函数得，故，故A，B选项错误.由得，．∵与的图象关于直线对称，∴点和关于对称，且，，∴且，∴，故C选项错误.∵，∴，故D选项正确．故选：D.8.以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于2025年2月7日在哈尔滨盛大开幕，场馆上方悬挂的120万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：如图，画一个边长为1的正三角形，第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，形成雪花曲线，记雪花曲线的周长为，则数列的最大项为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于初始的正三角形，边长，周长,由构造规则可知，从到，每一条边都变为原来的倍.因为有3条边，的边数是条，且每条边长度为，所以.从到，同样每一条边变为原来的倍，的边数是条，每条边长度为，所以.以此类推，可得,代入可得：,令,则,则,令，解得,令，解得.所以，.故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在的展开式中，则（）A.各二项式系数的和是32 B.各项系数的和是1C.二项式系数最大的项是第3项 D.的系数是40【答案】AB【解析】关于的展开式，其通项为：对于选项A：展开式中二项式系数之和，故A正确；对于选项B：利用赋值法的应用，当时，各项的系数的和为，故B正确；对于选项C：展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第3和第4项，故C错误；对于选项D：由通项：，令，可得，所以展开式中的系数为.故D错误.故选：AB.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的周期为B.的图象关于对称C.在上恰有3个零点D.若在上单调递增，则的最大值为【答案】ABD【解析】①当时，，②当时，，③当时，，④当时，，因此，，.所以函数的图象，如图所示：A选项：因为，所以的周期为，故A正确；B选项：因，所以的图象关于对称，故B正确；C选项：由的函数解析式以及函数图像可知：当时，，当时，，当时，，所以在上有无数个零点，故C错误；D选项：由，，得，因为在上单调递增，所以由的图象可知，解得，则的最大值为，故D正确；故选：ABD.11.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法——牛顿法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作的切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，使得当很大时，很小，我们可以把的值作为的近似值．已知函数是函数的一个零点，取，则下列说法正确的是（）A.切线的方程为 B.C. D.若，则【答案】ACD【解析】，，，所以切线的方程为，故A正确；令，得，，，所以，令，有，故B错误；在横坐标为的点处的切线斜率为，所以在横坐标为的点处的切线方程为，令，则，故C正确；因为在上恒成立，所以在上单调递增．，则．由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点，且．，则．．要证，只需证，只需证，即证，，成立．，故D正确．故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.12.已知，则_____．【答案】【解析】根据题意，，可得.将其代入中，得到.进行通分，即.则，所以.则.故答案为：.13.已知复数满足，复数满足，则的最小值为_____．【答案】【解析】设，由得，∴，整理得，∴复数在复平面内对应的点的轨迹为直线.设，则，由得，，即，∴复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，∵表示复平面内与所对应的点之间的距离，圆心到直线的距离为，∴的最小值为.故答案为：.14.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线与轴交于点，设为的内心，且，则_____，_____．【答案】①.②.【解析】由双曲线的光学性质有：是角的角平分线，由角平分线定理可知，，由双曲线定义可知，在中，由余弦定理可得，，，连接为内心，是的角平分线，在中，由角平分线定理可知．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的公差，且满足，，记是数列的前项和，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．解：（1）由题意得，解得或（舍），，即数列的通项公式是；（2）①，当时，，得，当时，②，由①②得，，化简得，，即，数列是以为首项，为公比的等比数列，，，．16.DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．（1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．解：（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．的分布列为012的数学期望．（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，．即每位员工经过培训合格的概率为．（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，，则（万元）即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．17.已知椭圆离心率为，且过点．（1）求椭圆的标准方程：（2）已知，为椭圆上异于点两点，且，，点为垂足，求证：直线过定点；并判断是否存在定点，使得为定值．若存在，求出定值；若不存在，请说明理由．解：（1），即椭圆的标准方程为．（2）（法一）由题可知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，由消去，得．，，，，化简得，或（舍），即直线过定点．（注：此处亦可按如下方法求）设为的中点，即．若与不重合，则是的斜边，；若与重合，则．综上所述，存在定点，使得为定值．（法二）1.当直线斜率不存在时，设，，，解得，不符题意（舍），或，符合题意．直线过点．2.当直线斜率存在时，设直线的方程为，设，由消去，得．．，．，．化简得：，或．当时，，此时直线过点，不符题意，舍去：当时，，此时直线过定点．综上所述，直线过定点．设为的中点，即．若与不重合，则是的斜边，；若与重合，则．综上所述，存在定点，使得为定值．18.如图，直四棱柱中，是边长为的等边三角形，，棱的中点为．（1）求证：平面；（2）矩形以边所在直线为旋转轴，逆时针旋转．至矩形，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．（1）证明：中，由正弦定理得，即，故，又．又为正三角形，．又平面平面．又平面平面．（2）解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，．，．设平面的法向量为，则取．设直线与平面所成角为，则．令，则，当且仅当时取等号．故直线与平面所成角的正弦值的最大值为．19.函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足（其中）．已知函数在处的阶帕德逼近．（1）求；（2）比较与