江苏省多校2024-2025学年高一下学期第一次阶段联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1江苏省多校2024-2025学年高一下学期第一次阶段联考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】由题意得.故选：A.2.若，则下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知得：，即，所以.故选：A.3.已知，且三点共线，则（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】因为三点共线，所以，因为，所以，解得.故选：A.4.已知向量满足，则（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知，移项可得，因为，所以，对两边同时平方可得，根据完全平方公式则，又因为，，所以可化为，由，移项可得，则，根据向量的数量积公式，将，，代入可得：，则.故选：D.5.已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，所以又，，所以，所以，所以在上的投影向量为.故选：C.6.如图，在中，点在线段上，且．若，则的值为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】在中，点在线段上，且，则，，而，因此，即，所以.故选：A.7.已知，则，，的大小顺序为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故选：B.8.已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，，且，当且仅当时等号成立，又的最小值为，所以，又，则，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设点，其中，且、，，，所以，当且仅当时，取最小值.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各式的值正确的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】，A不正确；，B正确；，C不正确；，D正确．故选：BD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数在区间上单调递增C.函数的图象的一条对称轴方程为D.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到【答案】AD【解析】对于A，，函数的最小正周期，故A正确；对于B，因为，∴，而函数在上不单调，故在区间上不单调，故B错误；对于C，由（），得（），不可能取到，故C错误；对于D，由的图象向左平移个单位长度，得，故D正确.故选：AD.11.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，为中点，且，，则下列各式正确的有（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】由是的重心可得，所以，故A项错误；过的外心分别作，的垂线，垂足为，，如图(1)，易知，分别是，的中点，则，故B项正确；因为是的重心，所以有，故，由欧拉线定理可得，故C项正确：如图(2)，由于，所以，故D错误．故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则________.【答案】【解析】因为，即，所以.13.如图，P，Q分别是四边形的对角线与的中点，设，，且，不是共线向量，向量____________.（试用基底，表示）【答案】【解析】如图，因为，Q分别是四边形的对角线与的中点，，，取的中点G，连接，，所以，，，∴.14.已知，则______，______.【答案】【解析】由可得，即，由可得，即，两式相加可得，即，解得；因为，，所以，所以．15.已知向量.（1）若向量与共线，求实数的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.解：（1）由题意可得，，若向量与共线，可得，解得.（2）若向量与夹角为锐角可得且与不共线，即可得，解得且，即实数的取值范围为且.16（1）求值：.（2）在中，已知，求角C的大小.解：（1），∵，∴原式=.（2）中，已知，若，则，不合题意；∴，，由已知，，∴，，∴，∴.17.如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线.（1）用、表示；（2）求的值.解：（1）因为，则，所以，因为为的中点，故.（2）因为、、三点共线，则，，，所以存在，使得，即，所以，又因为，且、不共线，所以，则，所以，故.18.长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向．（1）当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由．（2）当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算）（3）当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？解：（1）由题设，在反方向上的分速度为，∴游船航行到达北岸的位置是在的左侧.（2）要使能到达处，则在反方向上的分速度为，∴，故，又，此时，∴垂直方向上的速度，∴.（3）由（1）知：垂直方向航行时间为，∴水平方向航行距离为，∴游船航行到达北岸的实际航程.19.已知函数，且恒成立.（1）求a值；（2）设，若，，使得，求实数b的取值范围.解：（1），其中为锐角且，由于，，故，所以