江苏省淮安市七校联盟2024-2025学年高一下学期3月学情调查测试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1江苏省淮安市七校联盟2024-2025学年高一下学期3月学情调查测试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将两边平方可得，即，可得.故选：C.2.已知角的终边上一点P的坐标为，则（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】由题意，得，则.故选：C.3.已知是边长为2的等边三角形，则（）A.4 B. C.2 D.【答案】D【解析】依题意可知和的夹角为，所以.故选：D.4.若向量，向量在方向上的投影向量为，则m值可能为（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】向量在方向上的投影向量为，所以，解得或.故选：C.5.已知则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选：A.6.已知在中，M是BC中点，，，则（）A.3 B.4 C.6 D.12【答案】C【解析】因为M是BC中点，所以，，则，，则，因为，，则，解得，则，即故选：C.7.已知，则（）A.4 B.2 C. D.【答案】C【解析】.故选：C.8.已知，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，则，因为，则，可得，因，则，，所以，，，所以，，所以，.故选：A.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列等式正确的是（）A.B.C.D.若，则【答案】ACD【解析】，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故，故D正确.故选：ACD.10.已知,,其中，则以下结论正确的是（）A.若，则B.若，则或C.若，则D.若，则【答案】BCD【解析】对于A，若，则，则，因为，所以，则，或，或，故A不正确；对于B，若，则，则，因为，所以，所以或，所以或，故B正确；对于C，，则，故C正确；对于D，若，则，则，则，即，所以，故D正确.故选：BCD.11.下列命题正确的是（）A.若，则存在唯一实数使得B.已知非零向量、和实数k，则“”是“”的必要而不充分条件C.若且，则三角形为等腰直角三角形D.若平面向量，，两两夹角相等，且，，，则【答案】BC【解析】对于A、若，时，不存在实数使得，所以选项A错误；对于B、因为非零向量、，若，则与方向相反，则，若，取，则，而，故“”是“”的必要而不充分条件，故B正确；对于C、因为，对等式两边同时平方可得，化简整理可得，所以，即又因为，和分别是和方向上的单位向量，设，，则以，为邻边的平行四边形是菱形，是菱形的对角线，，说明的平分线垂直于BC，所以，综上，三角形为等腰直角三角形，选项C正确；对于D、平面向量，，两两夹角相等，则夹角可能为或，当夹角为时，，选项D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若向量，则与方向相反的单位向量为____________________.【答案】【解析】向量，则，故与方向相反的单位向量是13.长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小为，如图，设和所成的角为，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则等于____________________.【答案】【解析】设船的实际速度为，因为与所成的角为，北岸的点B在A的正北方向，所以游船正好到达B处，则，所以14.如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为已知在仿射坐标系下，，则__________.【答案】【解析】由题意，在仿射坐标系下，，可得，，所以，，.则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.设是不共线的两个非零向量.（1）若与共线，求实数k的值.（2）已知向量满足求.解：（1）由与共线，则存在实数，使得，即，又是不共线的两个非零向量，因此，解得，或，实数k的值是.（2）因为，所以，所以，所以.16.已知都是锐角，且，.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因为，所以，又因为，所以.利用同角三角函数的基本关系可得，且，解得.（2）由（1）可得，.因为为锐角，，所以.所以.17.如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点.（1）若，则的值；（2）若交于点，求线段的长.解：（1）以点为坐标原点，分别以，方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则，，，，，则，，，由可得：，所以，解得，因此.（2）设，因为三点共线，所以，则存在唯一实数，使得，则，可得，，即，又三点共线，且，，则，所以，解得，则，所以，所以，所以线段的长.18.已知直角坐标系中，，，.（1）若与平行，求的值；（2）设点P的坐标为且点P在单位圆上运动，若，求的最大值．解：（1），，若与平行，则，即，.（2）由得，，，，由点P在单位圆上运动可设，，，则，其中，所以当，取得最大值为.19.已知函数，在中，（1）若，①求的最大值②如图，，，，，为边上的中