辽宁省七校协作体2025届高三下学期3月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1辽宁省七校协作体2025届高三下学期3月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.则.故选：B2.已知i为虚数单位，若，则（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因为，所以.故选：A3.已知两个变量x和y之间具有较强的线性相关关系，且y关于x的经验回归方程为，由它计算出成对样本数据对应的残差为0.12（残差=观测值-预测值），则（）A.0.28 B.0.56 C.0.34 D.0.48【答案】B【解析】因为y关于x的经验回归方程为，所以预测值为，又因为残差=观测值-预测值，所以，所以.故选：B.4.若直线：与直线：平行，则这两条直线间的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线：与直线：平行，所以，所以，所以直线：即，所以这两条直线间的距离为.故选：B.5.已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论公比（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，若，则，而，则，所以不符合题意.当且时，，即，即，则.故选：A6.记为的内角的对边，则“为直角三角形”是“”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】在中，由及正弦定理，得，则，而，则，两边平方整理得，而，于是，，因此为直角三角形；反之，为直角三角形，或或，所以“为直角三角形”是“”的必要不充分条件，B正确.故选：B7.2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合以获胜的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意“莎头”组合以获胜，即前四局胜三局，负一局，第五局获胜，所以获胜概率为：，故选：D8.已知过点的直线l与抛物线交于点A，B两点.若A，B的横坐标分别为.则（）A. B. C.0 D.2【答案】D【解析】由题意可知直线的斜率存在，设直线方程为，联立可得，消去可得，由，则，，所以.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】ABD【解析】对于A，根据线面垂直的性质可得若，则，即A正确；对于B，易知若可得或，又可知，即B正确；对于C，若，则或，因此C错误；对于D，如果直线平行于平面和，且和的交线为，那么直线必须平行于；假设不平行于，它必将与其中一个平面相交，这与平行于两个平面的条件相互矛盾，所以若，则，故D正确。故选：ABD10.设正实数m，n满足，则（）A.的最小值为B.的最大值为2C.的最大值为D.的最小值为【答案】AB【解析】由，，则，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为，故A正确；由，当且仅当时等号成立，则的最大值为2，故B正确；由，当且仅当时等号成立，则的最大值为1，故C错误；由，当且仅当时等号成立，则的最小值为2，故D错误.故选：AB.11.已知函数，则（）A.是的一个周期B.是非奇非偶函数C.的最小值为D.关于x的方程有无数个实数解【答案】BD【解析】对于A，由，则不是函数的一个周期，故A错误；对于B，由，则其定义域为，因为，所以函数是非奇非偶函数，故B正确；对于C，，当且仅当，，等号成立；，当且仅当，，等号成立，由，则，故C错误；对于D，由，则，可得，整理可得，解得或，，化简可得或，，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量与服从正态分布，则______.【答案】【解析】设，则，所以，又因为，所以，解得.故答案为：13.若非零向量与单位向量共线，且，则__________.【答案】【解析】因为非零向量与单位向量共线，则，且，因为，则，即，整理得，解得（舍）或，所以.故答案为：.14.如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则______，的最小值为______.【答案】①.②.【解析】因为，则，记，因为，即。又因为，当且仅当，即时，取等号.所以a的最小值为.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数（1）若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值；（2）若在处有极值，求a与b的值.解：（1）因为，所以，所以，，因为切线方程为，所以，解得，所以.（2）函数在处有极值且或恒成立，此时函数无极值点，此时1是极值点，满足题意，所以.16.如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，M为棱PC的中点.（1）证明：平面PAD；（2）若，求二面角的正弦值.（1）证明：取的中点，连接，如图所示：为棱的中点，，，四边形是平行四边形，，又平面平面，平面.（2）解：，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面，，又，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：则，为棱中点，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，,平面的一个法向量为，，则二面角的正弦值为.17.随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融人我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大.为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种AI大模型的情况统计如下：使用AI大模型的种数性别01234男427231610女648272415在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下：AI大模型种类ABCD人次32303028用频率估计概率.（1）从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）的概率；（2）从该地区使用3种AI大模型（A、B、C、D中）的教师中，随机选出3人，记使用B的有人，求的分布列及其数学期望；（3）从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用AI大模型（A、B、C、D中）的种数分别为，比较的数学期望的大小．（结论不要求证明）解：（1）记事件M为“从该地区教师中随机选取一人，至少使用两种AI大模型”，则估计.（2）记事件为“从该地区使用3种AI大模型的40名教师中随机选1人，该人使用模型B”，根据题中数据，.的可能取值为，，，．.的分布列为0123.（3）由题意可得该地区男，女教师人数分别为：80和120，则易求，，故.18.已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求C的方程；（2）若斜率为1的直线与C相交于E，F两点，且，求l的方程；（3）椭圆C与x轴相交于A，B两点，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB与直线交于M，N两点，设与的外接圆的半径分别为，，求的最小值.解：（1）由题意得，将代入椭圆方程得，又，解得，故椭圆的方程为（2）设l的方程为，则.联立方程组，整理得，则，即，所以，则，解得，满足题设，所以l方程为.（3）设直线PA的方程为，则直线PB的方程为.令，得，同理得，则.在中，由正弦定理知，同理可得.因为，所以，从而，当且仅当时等号成立，故的最小值为.19.若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中