内蒙古呼和浩特市2025届高三第一次模拟考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1内蒙古呼和浩特市2025届高三第一次模拟考试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，所以，又，所以.故选：C2.已知复数满足：，则复数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由复数的模长公式可得，所以，，则.故选：B.3.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，.故选：D.4.设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5【答案】C【解析】函数的定义域为R，求导得，依题意，有两个不相等的实数根，则，解得，由随机变量服从正态分布，且，得，所以函数有极值点的概率为0.4.故选：C5.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.命题是偶函数，命题，则（）A.是的充分不必要条件B.是的必要不充分条件C.是的充要条件D.是的既不充分也不必要条件【答案】B【解析】依题意，，当时，是偶函数，即，若是偶函数，则，解得，显然不能推出，所以是的必要不充分条件.故选：B6.已知为单位向量，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为为单位向量，由，所以，即，设与夹角为，则，又，所以.故选：C.7.设函数，则使得成立的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函数的定义域为R，，函数是奇函数，求导得，函数在R上单调递增，由，得，即，则，因此，解得，所以所求的取值范围是.故选：C8.已知为双曲线上的一点，由向两渐近线作垂线，垂足分别为、，则的值为（）A. B. C. D.不确定【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为，即，设点，则，设点在直线、的射影点分别为、，则，，所以，，设直线的倾斜角为，则为锐角，且，则，所以，，因为，故，所以，，由平面向量数量积定义可得.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分.9.2024年4月30日国家统计局发布了制造业采购经理指数（PMI）（）（与上月比较无变化），如图所示.下列说法正确的是（）A.从2023年4月到2024年4月制造业采购经理指数（PMI）呈下降趋势B.从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的极差为C.从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的平均数为D.从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的分位数为【答案】BD【解析】对于A，制造业采购经理指数（PMI）有升有降，A错误；对于B，从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的极差，B正确；对于C，从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的平均数为，C错误；对于D，从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）,从小到大的顺序为，由，得第80百分位数为第6个数，为，D正确.故选：BD10.在正方体中，棱长为1，已知点，分别是线段上的动点（不含端点）.下列说法正确的有（）A.存在无数条直线与直线平行B.与不可能垂直C.二面角不可能为定值D.点到任意直线的距离都不可能小于【答案】AD【解析】对于A，由，平面，平面，得平面，则过的平面与平面相交，交直线分别于点，必有，因此有无数条直线与直线平行，A正确；对于B，在正方体中，，由平面，平面，得，而平面，则平面，又平面，因此，B错误；对于C，由，得平面即为平面，平面即为平面，因此二面角即为二面角，而二面角为定值，则二面角为定值，C错误；对于D，由选项B知，平面，点到平面的距离为，而平面，因此点到任意直线的距离都不可能小于，D正确.故选：AD11.琴生（Jensen，1859-1925）是丹麦的一位电讯工程师，他利用业余时间研究数学，其中流传至今的研究成果是以凹凸函数为基础的“琴生不等式”，表述如下：若函数的导函数存在导函数，记的导函数为，如果对，都有，则称在是“凸函数”，满足；如果对，都有，则称在是“凹函数”，满足，则下列说法正确的是（）A若，有B.若，有C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】对于A，，，则在是“凸函数”，，，A正确；对于B，，，则在是“凹函数”，，有，B错误；对于C，令函数，，函数在是“凹函数”，，因此，C正确；对于D，令函数，，在是“凸函数”，，，因此，D正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆，斜率为且与圆相切的一条直线方程为__________.【答案】（答案不唯一，）【解析】圆的圆心，半径，设切线方程为，即，则，解得或，所以所求切线方程为或.故答案为：（或）13.边长为的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可以围成一个正四棱锥，若内部小正方形的边长为，则此正四棱锥的体积为__________.【答案】【解析】设底面的中心为，设线段的中点为，连接、，因为，则，因为为的中点，则，，且，所以，，翻折前，则、、三点共线，则，可得，翻折后，在正四棱锥中，如下图所示：由正四棱锥的几何性质可得平面，因平面，所以，，由勾股定理可得，正方形的面积为，因此，正四棱锥的体积为.故答案为：.14.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的最大值为___________.【答案】【解析】因为，所以，因为，所以两式相减得，即，由正弦定理，得，即，化简可得，因为，所以，则，所以为锐角，，当且仅当时，取得最大值.故答案为：.四､解答题：本大题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明.15.已知为等差数列的前项和，满足，数列满足.（1）求的通项公式；（2）将和的项由小到大进行排列组成数列，设的前项和为，求.解：（1）在等差数列中，，解得，而，则数列的公差，，由，得，所以数列的通项公式分别为，.（2）由（1）知，，而数列都是递增数列，则数列前100项由数列的前93项和数列的前7项组成，所以16.已知函数.（1）若，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数在上零点的个数.解：（1）当时，，求导得，则，而，所以所求切线方程为，即.（2）依题意，，当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，，当，即时，恒成立，此时在上无零点；当，即时，，，在上无零点，，在上有一个零点，则在上有一个零点；当，即时，，函数在和上各有一个零点，因此在上有两个零点；当，即时，在上恒成立，当且仅当，函数在上有一个零点；当，即时，恒成立，此时在上无零点，所以当或时，在上无零点；当或时，在上有一个零点；当时，在上有两个零点.17.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，其中，点为棱的中点.（1）证明：；（2）求二面角的正弦值.（1）证明：由，即，得，而，平面，则平面，又平面，于是，由为等边三角形，且点为棱的中点，得，又，平面，因此平面，而平面，所以.（2）解：由（1）知平面，而平面，平面平面，在平面内过点作，而平面平面，则平面，直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则，令，得，又平面的法向量为，设二面角的平面角为，则，，所以二面角的的正弦值为.18.在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）.（1）求曲线的方程；（2）为曲线与轴的交点，过点作直线交于两点（与，不重合），直线与交于点.（i）证明：点在定直线上；（ii）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.解：（1）设点的坐标为，由轴于，为线段的中点，得点，由点在圆上，得，即，所以点的轨迹的方程是.（2）（i）由（1）不妨令，直线不垂直于轴，设直线，，由，得，由，得或，则，，直线方程为，直线方程为，联立消去，得，解得，所以点在直线上.（ii）由，得，则点在以为直径的圆上，设，则，解得，即，于是直线的方程为，由消去得，而点A横坐标为，则点横坐标，纵坐标，所以直线的斜率.19.在某场乒乓球比赛中，甲乙两人进入决胜局，且目前该局比分为，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6，若上一球甲获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为，其中