机械控制理论基础讲义

FundamentalsofMechanicalControlTheory

机械控制理论基础

（BilingualCourse双语教学）

SchoolofMechanicalEngineering

机械工程学院

TeachingMaterial:LinearControlSystemAnalysisandDesignFourthEdition

教材：线性控制系统分析与设计第4版

References参考书目

1.杨叔子，《机械工程控制基础》，第四版，武汉，华中理工大学出版社

2.绪方盛彦，《现代控制工程》，科学出版社，1978

3.李友善，《自动控制原理（上册）》，国防工业出版社

4.张伯删，《控制工程基础》，机械工业出版社

5.阳含和，《机械控制工程（上册）》，机械工业出版社

6.姚伯威，《控制工程基础》，电子科技大学出版社

7.薛定宇，《控制系统计算机辅助设计一MATLAB语言及应用》，清华大学出版社

Learningrequirement学习要求

1.AllexercisesandexperimentreportsmustbedoneinEnglish,andallquestionsmustbe

answeredinEnglish.所有的作业和实验报告必须用英文完成，所有的问题必须用英文回答。

2.mustbepresent（mustnotbeabsent）上课不能缺席

3.takingnotes：Don'tmerelycopytheblackboard,tryingtowritedownwhatyouconsideris

important.作笔记：不能仅仅抄黑板，而是要记下你认为重要的东西。

4.preview预习

5.review复习

6.doexercisesandexperimentsindependently独立完成作业和实验

7.summarizing,concluding总结，概括

8.Don'treadthebookwordbyword,theemphasesshouldbeputontheunderstandingthe

concepts,terminologiesaswellastheirlogicrelations.不要•个单词一个单词地读书，应该将

重点放在概念、术语以及它们之间的逻辑关系的理解上

9.Daringtoputforwardquestions.勇于提出问题

10.Ifyouhaveanyquestion,pleasecontactme.如果你有什么问题，请联系我

Finalexaminationresult考试成绩评定

1.Dailybehaves:30%.Including:present,exercises,experiments.平时成绩占30%,包括：到课

率，作业，实验

2.Finalexamination:70%.考试成绩占70%

Well,wewillgettobusiness（言归正传）,we'llbeginthefirstchapter.

CHAPTER1INTRODUCTION第一章绪论

1.1INTRODUCTION弓|言

1.2INTRODUCTIONTOCONTROLSYSTEMS控制系统弓I言

1.3DEFINITIONS定义

1.4HISTORICALBACKGROUND历史背景

1.5DIGITALCONTROLDEVELOPMENT数字控制的发展

1.6MATHEMATICALBACKGROUND数学背景（基础）

1.7GENERALNATUREOFTHEENGINEERINGCONTROLPROBLEM工程控制问题的

一般特点

1.8COMPUTERLITERACY计算机文化

1.9OUTLINEOFTEXT全文概括

1.1Introduction引言

Withtherapidlydevelopmentofthemodernscienceandtechnologies,mancreatedmany

miracles.OneofthemistheinventionofuuioniHiiccontrolcquipnicnls.Today,wecan'tliveon

withoutthehelpoftheseauto-machines.

随着现代科技的迅速发展，人类创造了很多奇迹。其中之一就是自动控制设备。今天，

如果没有这些自动机器的帮助，我们几乎无法生存。

Aiitomuiicconingpermeate（渗透）lifeinalladvancedsocietiestoday.

现在，自动控制系统技术已经渗透到所有的高级社会生活。

producegoodsrequiredbyanincreasingworldpopulation

制造满足日益增长的人U需求的商品

traveltothemoonandexploreouterspace

到月球旅行和探索外层空间

spacevehicles,thespaceshuttle,spacestations

飞船、航天飞机、空间站

reconfigurableflightcontrolsystems重组的飞行控制系统

1.2Introductiontocontrolsystems控制系统引言

Therearemanyequipmentswithcontrolsystemsinourdailylives,suchas:我们的日常

生活中有很多带控制系统的设备，例如：

Refrigerators冰箱

Robots机器人

air-conditioner空调

auto-washers全自动洗衣机

elevators电梯

pilotlessaircraft无人驾驶飞机

men人类

Example:toaster例子：烤箱

input:timer输入：时间

output:degreeofdarknessandcrispness

输出：面包的黑度和松脆程度

Theoutputquantityhasnoinfluenceontheinputquantity,WnQ於周system.

输出量对输入量没有影响，系统中不存在反馈。darknesssetting7一

激磁电压源

Example:

input:armaturevoltage输机也H㈱迟电压

output:speedoftheshaft输出：轴的转速

DC:DirectCurrent直流

AC:AlternatingCurrent交流

open-loopcontrolsystems:Systemsinwhichtheoutputquantityhasnoeffectupontheinput

quantity开环控制系统：输出量不影响输入量的系统

functionalblockdiagram:功能框图

指令参考选择器参考动态单元输出

CommandReferenceReferenceDynamicOutput

selectorunit

inputinput

输入输入

commandinput:desireddarknessofthetoastorthedesiredspeedofthemotor指令输入:

(面包的)期望黑度或者电动机的期望转速

reference-selectorblock:selectionofthevalueoftimeonthetoastertimerorthevalueof

voltageappliedtothemotorarmature参考选择器框：烤箱上定时器的时间值或电枢两端外加

电压值的选择

referenceinput:outputofthereference-selectorblock参考输入：参考选择器框的输出

dynamicunit:theunitwhichthereferenceinputisappliedto动态单元：参考输入应用的单

元

desiredoutput:outputofthedynamicunit期望输出：动态单元的输出

closed-loopcontrolsystems,.Systemsinwhichtheoutputhasadirecteffectupontheinput

quantity闭环控制系统：输出影响到输入的系统。

functionalblockdiagramofasingle-inputsingle-output(SISO):

单输入单输出系统的功能框图：

参考输入激励信号系统动态部分

charach支馈并与

反馈兀件

输入比较

comparisonunit'.performscomparisonbetweenthereferenceinputandthefeedbacksignal

andresultsinanactuatingsignal比较单元：执行参考输入与反馈信号之间的比较，并产生一

个激励信号

Example:homeheatingcontrolsystem家用取暖控制系统

期望室内

Relay

Fu加时eHot-air

vents

Thermostat

Abimetalliccoilinthethermostatisaffectedbyboththeactualroomtemperature(output)

andthereference・selectorsetting.恒温器中的双金属片既受到实际室温(输Hl),又受到参考

选择器设定的室温双重影响。

Anotherexample:RefertoCh.materialPl-14其它的例子：见材料1〜14

1.3Definitions定义

Fromtheprecedingdiscussionthefollowingdefinitionsareevolved,basedinpartonthe

standardsoftheIEEE,andareusedinthistext.根据前面的讨论，引伸出了下列使用在本文中

的定义，部分是基于IEEE标准［1］。

IEEE:InstituteforElectricalandElectronicEngineers电气和电子工程师学会［美］

System.Acombinationofcomponentsthatacttogethertoperformafunctionnotpossible

withanyoftheindividualparts.系统许多部件的组合，这些部件组合起来能完成一定的功

能，而其中任何单独的部件不能完成此功能。

Commandinput.Themotivatinginputsignaltothesystem,whichisindependentofthe

outputofthesystemandexercisescompletecontroloverit(ifthesystemiscompletely

controllable).指令输入加到系统的激励输入信号，该信号与系统的输出无关，并且在整个

过程中对系统进行全面控制(假设系统是完全可控的)。

Referenceselector(referenceinputelement).Theunitthatestablishesthevalueofthe

referenceinput.Thereferenceselectoriscalibratedintermsofthedesiredvalueofthesystem

output参考选择器(参考输入环节)建立参考输入值的单元。根据系统输出的期望值对参考

选择器进行设定。

Referenceinput.Thereferencesignalproducedbythereferenceselector,i.e.,thecommand

expressedinafbnndirectlyusablebythesystem.Itistheactualsignalinputtothecontrolsystem.

参考输入参考选择器产生的参考信号，即以系统能直接使用形式表示的指令，它是控制系

统的实际输入信号。

Disturbanceinpul.Adisturbanceinputsignaltothesystemthathasanunwantedeffectonthe

systemoutput.干扰输入系统的干扰输入信号对系统的输出产生•个不需要的影响。

Forwardelement(systemdynamics).Theunitthatreactstoanactuatingsignaltoproducea

desiredoutput.Thisunitdoestheworkofcontrollingtheoutputandthusmaybeapower

amplifier.前向环节(系统动态环节)它在激励信号作用下产生期望输出。该环节起控制输出

的作用，因此它可能是一个功率放大器。

Output(controlledvariable).Thequantitythatmustbemaintainedataprescribedvalue,i.e.,

itmustfollowthecommandinputwithoutrespondingtodisturbanceinputs.输出(被控变量)

这个量必须维持在所规定的值上，即跟随指令输入。

Open-loopcontrolsystem.Asysteminwhichtheoutputhasnoeffectupontheinputsignal.

开环控制系统输出不影响输入的系统。

Feedbackelement.Theunitthatprovidesthemeansforfeedingbacktheoutputquantity,ora

functionoftheoutput,inordertocompareitwiththereferenceinput.反馈环节该环节将输出

量或输出的函数反馈到输入端，使之与参考输入进行比较。

Actuatingsignal.Thesignalthatisthediflferencebetweenthereferenceinputandthe

feedbacksignal.Itistheinputtothecontrolunitthatcausestheoutputtohavethedesiredvalue.

激励信号它是参考输入和反馈信号两者之差的信.号。它激励控制环节,使输出达到期望值。

Closed-loopcontrolsystem.Asysteminwhichtheoutputhasaneffectupontheinput

quantityinsuchamannerastomaintainthedesiredoutputvalue.闭环控制系统输出对输入

有影响的系统，这种影响使输出维持期望值。

Thefundamentaldifferencebetweentheopen-andclosed-loopsystemsisthefeedback

action.开环与闭环系统两者之间的主要区别是反馈作用

Servomechanism(oftenabbreviatedasservo).Thetermisoftenusedtorefertoamechanical

systeminwhichthesteady-stateerroriszeroforaconstantinputsignal.Sometimes,by

generalization,itisusedtorefertoanyfeedbackcontrolsystem.伺服机构指的是在常值输入

信号下稳态误差为零的机械系统。有时这一术语也可用于任何反馈控制系统。

Regulator.Thistermisusedtorefertosystemsinwhichthereisaconstantsteady-state

outputforaconstantsignal.Thenameisderivedfromtheearlyspeedandvoltagecontrols,called

speedandvoltageregulators.调节器指的是在常值输入信号下有常值稳态输出的系统。这

一名称是从早期的速度和电压控制系统引伸(也称速度和电压调节器)得来的。

1.4Historicalbackground历史背景

Heroesdeviceforopeningtempledoors.打开庙门的古老装置

JamesWatt'sflyballgovernor飞球调速器，即蒸汽机离心调速器

离心调速器的应用

离心调速器的工作原理很简单，假定机器在平衡状态远行时突然加上负载，此时机器速度下

降，调速器飞球的高度下降，通过杠杆的作用使蒸汽阀门（它在这里是执行器）打开以使更

多的蒸汽进入机器从而使速度大体上能复原。为了使阀门维持在这个新的开启状态，飞球张

开的角度自然和原先（未加负教时）不同，这意味着在有负载时的速度实际不会完全和原先的

速度相等，亦即负数的变动产生了转速误差。如果该误差在允许范围内，则上述控制已满足

要求，若要求转速不因加上负载而变化，可以设法改变阀门的阀杆长度。后来的发明者设计

了自动更新调整机构实现了转速恒定。

loaddisturbanceMl_*rotatedspeednt_*centrifugalframeworkexpansiontsliding

coverofcomparingframeworkt—valveI（throughthelevelofthetransitionframework）-

steamquantityQI->nI（Ch1-9）

负载扰动下降，则（轴）转速上升，离心力上升，

据

1923:Heaviside,arithmeticoperatorsmethod1923年：海维赛德，拉氏逆变换定理(海维

赛德展开式)

1930's:HNyquist,NyquistStabilitycriterion19世纪30年代，奈奎斯特稳定性判据

HWBode,negativefeedbackamplifiers波德，负反馈放大器

1945:publicationofservomechanism伺服机构的Hl版

1948:publicationofTheoryofcontrols控制理论的出版

1950:WREvans,Root-Locusmethod伊文斯根轨迹理论

conventionalcontroltheory:developedthroughthelate1950s.Whichiseffectivelyapplied

tomanycontrol-designproblems,especiallytoSISOsystems.经典控制理论：是20世纪50年

代末以前出现的，一经有效地应用于许多控制设计问题中，特别是对于单输入单输出信号系

统。

moderncontroltheory:developedforthedesignofmorecomplicatedsystemsandfor

multiple-inputmultiple-output(MIMO)systems现代控制理论：为了设计更复杂的系统和多输

入多输出系统而发展起来的控制理论。

Thedevelopmentofcontrolconceptsintheengineeringfieldhasbeenextendedtotherealm

ofhumanandbiomedicalengineering.控制概念已经从工程界延伸到人类和生物医学工程领

域。

1.5Digitalcontroldevelopment数字控制的发展

aerospacevehicles:宇航K行器

controlsurfaces:操纵面

stabilityaugmentationsystem:增稳系统,SAS

controlstick:驾驶杆

airbornedigitalprocessors:机载数字处理器

1.6MathematicalBackground数学背景

differentialequations:aclassicalmeans,usedinthesolutionofcontrolsystemsintheearly

studies.Theapproachistediousanddoesnotreadilyindicatewhatchangesshouldbemadeto

improvesystemperfonnance.微分方程：一种经典方法，在早期研究中用于控制系统的求解。

很烦琐，而且不能直接看出为了改善系统的性能应采取什么措施。

Laplacetransform:transformsdifferentialequationstoalgebraicequationsinorderto

simplifytheabovemethod.拉普拉斯变换：将微分方程变换为代数方程，以便简化求解。

Nyquist'smethod:dealswiththeapplicationofsteady-statefrequency-responsetechniquesto

feedbackamplifierdesign,extendedbyBlack,Bode,Hall,Harris,etc.奈魁斯特方法，涉及到稳

态频率响应计算法在反馈放大器设计中的应用。

root-locustheory:presentedbyEvans,permitsthegraphicalevaluationofboththetimeand

thefrequencyresponse.根轨迹理论：伊文斯提出，可以对时间和频率响应进行图解计算。

Mathematicalmodels:asetofmathematicalequationsdescribingaphysicalsystem.Oncethe

Mathematicalmodelsaresetup,thesubsequentmethodofanalysisisindependentofthenatureof

thephysicalsystem;i.e.,itdoesnotmatterwhetherthesystemiselectrical,mechanical,or

somethingelse.Thistechniquehelpsthedesignertospotsimilaritiesbaseduponprevious

experience.数学模型：用一组数学方程描述一个控制系统，一旦数学模型建立起来，后面

的分析就与物理系统的结构特性无关，即不管系统是电的，机械的，或者其它什么系统。这

种方法有助于设计人员根据以前的经验找出各系统之间的相似性。

Nosingledesignmethodisintendedtobeusedtotheexclusionoftheothers.Depending

upontheknownfactorsandthesimplicityorcomplexityofacontrol-systemproblem,adesigner

mayuseonemethodexclusivelyoracombinationofmethods.Withexperienceinthedesignof

feedbackcontrolsystemscomestheabilitytousetheadvantagesofeachmethod.每种方法的应

该都不是绝对的。根据一个控制系统问题的已知因素和复杂程度，设计者可以只使用其中一

种方法，或将几种方法结合起来使用。根据每个人在反馈控制设计中的经验，可以最大程度

地利用各种方法的优点。

1.7Generalnatureoftheengineeringcontrolproblem工程控制问题的一般性质

Ingeneral,acontrolproblemcanbedividedintothefollowingsteps:——般而言，——个控制

问题可以分成如下步骤：

1.Asetofperformancespecificationsisestablished.建立一组性能指标。

2.Theperformancespecificationsestablishthecontrolproblem,由于性能指标的原因而导

致控制问题的存在。

3.Asetofdifferentialequationsthatdescribethephysicalsystemisformulated.歹U出——组描

述物理系统的微分方程式。

4.Thedifferentialequationsaresolvedbyusingconventionalcontroltheoryaidedby

availableorspeciallywrittencomputerprograms.借助于现成的或专门写出的计算机程序，使

用经典控制理论的方法分析解决不同的问题

1.8Computerliteracy计算机文化（普及）

FREQR:usedforfrequencydomainanalysis频率域分析方法

PARTL:usedforpartial-fractionexpansionoftransferfunctionsandforobtainingatime

response传递函数的部分分式展开和获得时间响应

ROOTL:usedforobtainingroot-locusdataandplots用于获得根轨迹数据和图形

MATLAB:MATrixLABoratory,whichcanbeusefortheanalysisanddesignofcontrol

systemsandforthesimulinksimulation矩阵实验室，用于控制系统分析与设计及仿真模拟。

1.9Outlineoftext全文概述

Thetextisdividedintothreeparts:本文分为以下三个部分：

PARTI:Chap2yprovidesthemathematicalfoundationformodelingphysicalsystemsand

obtainingtimesolutionsusingclassicalorLaplacetransformmethods.第1部分：2〜4章，讨论

物理系统建模的数学基础，使用经典的或拉氏变换方法获得时域解。

PART2:Chap5-15,representsmaterialthatisusuallycoveredincontroltheoryandcontrol

systemdesign.第2部分：5〜15章，介绍有关控制系统理论与设计的一般方法。

PART3:Chap16〜18,consistsofadvancedundergraduateorgraduatetopics.第3部分：

16〜18,本科毕业生或研究生提高用

AppendixA:TableofLaplacetransformpairs附录A：拉氏变换对表。

AppendixB:InteractiveCADprograms附录B：CAD程序

We'Hlearnthefollowingchapters:ch叩1〜6,8我们将学习以下章节：ch叩1〜6,8

Chap2WritingSystemEquation系统方程的建立

2.1Introduction(Complementary:Theprincipleofsuperpositionaboutlinearsystem)弓|言(补

充：线性系统的叠加原理)

2.2Electriccircuitsandcomponents电路及其元件

2.5Transferfunctionandblockdiagram传递函数和方框图

2.6Mechanicaltranslationsystems直线运动机械系统

2.7Analogouscircuits模拟电路

2.16Summary总结

2.1Introduction弓|言

Inordertoresearchandanalysisasystem,itisnecessarynotonlytoknowqualitativelythe

workingprinciplesandifscharacteristics,butalsomoreimportanttoquantitativelydescribe

dynamicpropertiesofthesystem,torevealtherelationshipbetweenthestructure,parametersas

wellasdynamicpropertiesofthesystem(Ch2-1).Soanaccuratemathematicalmodelthat

describesasystemcompletelymustbedeterminedinordertoanalyzeadynamicsystem.

为了研究和分析一个系统，不仅要定性地了解其工作法则和特性，而且更重要的是定量

地描述系统的动态特性，以揭示系统的结构、参数以及动态特性及其它们之间的关系。所以

在分析动态系统之前，一定要确定完全能描述该系统的精确的数学模型。

Thedifferentialequationsofcontrolsystemsdescribethedynamicperformancesofthe

systemsintimedomain.Wecangetoutputresponseofthesystembysolvingdifferential

equationsongivenforcesandinitialconditions.在时域内描述控制系统动态特性的是微分方

程。我们可以根据激励(外力，输入)和初始条件解微分方程的方法获得系统的输出响应。

lineardifferentialequationswithconstantcoefficients(linearconstant-coefficientdifferential

equationsorlineartime-invariant,LTI):therelationshipbetweenthesysteminputandoutputis

independentoftime.常系数线性微分方程(常系数线性或线性时不变微分方程)：系统输入

与输出之间的关系与时间无关。

Thischapterpresentsmethodsforwritingthedifferentialandstateequationsforavarietyof

electricalymechanicalythermal,andhydraulicsystems.这•章介绍对于各种电的、机械的、热

的和液压的系统如何建立微分方程和状态方程的方法。

Thebasicphysicallawsaregivenfbreachsystem,andtheassociatedparametersaredefined.

对于每个系统给出基本的物理定理，规定有关的参数。

Theresultisadifferentialequation,orasetofdifferentialequations,thatdescribesthe

system.Theequationsderivedarelimitedtolinearsystemsortosystemsthatcanberepresented

bylinearequationsovertheirusefuloperatingrange.其结果就是一个微分方程或一组微分方

程来描述该系统。这里所得出的方程仅限于线性系统或在它们整个工作范围内可以山线性方

程描述的系统。

blockdiagram:representstheflowofinformationandthefunctionsperformedbyeach

componentinthesystem.方框图：描述系统中的信息流向和每个元件所起的作用。

•Eachfunctionisrepresentedhyciblock系统的每一■部份功能均山一个方框表示

•Eachblockis/cibeledwiththenameofthecomponent每一个方框上都注明了一个兀件

的名字

•Theblockscirecippvopricilelyirilerconnccleclhylinesegmentswitharrows(Arrowsareused

toshowthedirectionoftheflowofinformation.)方框用带箭头的线段相连(箭头表示信息流

动的方向)

Theuseofablockdiagramprovidesasimplemeansbywhichthefunctionalrelationshipof

thevariouscomponentscanbeshownandrevealstheoperationofthesystemmorereadilythan

doesobservationofthephysicalsystemitself.方框图的应用提供了一个简单的方法，通过这个

方法可以说明各个部分功能之间的关系，用它来说明系统的工作情况比考察物理系统本身要

容易得多。

Thesimplefunctionalblockdiagramshowsclearlythatapparentlydifferentphysicalsystems

canbeanalyzedbythesametechniques.从简单的函数方框图中可以清楚地看出，显然不同的

物理系统可以用同样的方法进行分析。

Ingeneral,variablesthatarefunctionsoftimearerepresentedbylowercaseletters.通常，时

间变量用小写字母表示。

Tosimplifythewritingofdifferentialequations,theDoperatornotationisused.Thesymbols

Dand1/Daredefinedby:为了简化微分方程的书写，使用算子符号D。符号D和1/D分别

定义如下：

外三幽2少7三型D(2.1)

dtdt2

D~]y=^y=£y(r)dT+J0y(T)dr=[y(T)dr+%(2.2)

whereYorepresentsthevalueoftheintegralattimet=0,thatis,theinitialvalueoftheintegral.

式中乂表示在时刻'二°的积分值，即积分的初始值。

Theprincipleofsuperpositionaboutlinearsystem线性叠加系统原理

Itisassumedthatthedifferentialequationdescribingthedynamicrelationshipbetweentheinput

x(t)andtheoutputy(t)isasfollowing:

假设微分方程描述的系统输入工⑺和输出y(/)之间的动态关系如下：

nm

anDy(t)一田4ly⑺+...+q]Dy(t)+a^(t)=bnpx[t)+...+b1瓜⑺+绅⑺

(1)If67y(z=0,1,2,…簿)and%(/=0,l,2,...,w)areallconstants,thatis,theyarenotthe

functionsaswellasderivativesofy(t)andx(/),theequationiscalledlineartime-invariant,the

correspondingsystemiscalledlineartime-invariantsystem.如果%(z=0,1,2,...,/?)和%(j=

0,12...M是常数，也就是说，他们与输入工⑺和输出兴/)的变化无关，该方程就称为线性时

不变方程，相应的系统称为线性时不变系统。

nnm

anDy(t)+an_lD'^y(t)+...+aiDy(t)+a()y(t)=bmDx(t)+...+byDx(t)+bQX(t)

(2)Ifa-and%isthefunctionoftimet,theequationiscalledlineartime-variant,the

correspondingsystemiscalledlineartinie-variamsystem.如果a-和bj是时间t的函数，方程

就称为线性时变方程，相应的系统称为线性时变系统。

(3)Ifoneofthea-andbjisdependentofy{t}andx(Z)aswellastheirderivativesorthere

existsotherformsof/intheequation,theequationisnon-linear,thecorrespondingsystemis

callednon-linearsystem.Forexamples:如果勺和分中有任一个与输入工⑺和输出了⑺的有关,

或者在方程中存在时间t的其他形式的函数，该方程就称为非线性方程，相应的系统称为非

线性系统。例如:

2

Dy(t)+2Dy(t)+4y(t)=x(t)linear

22

Dy(t)+Dy(t)y(t)+y(/)=x(Z)non-linear

Althoughtherearevariousformsofmathematicalmodelstodescribethecontrolsystems,the

linearityornonlinearityofthesystemisindependentofexpressingmethods,becausetheyarcthe

naturalcharacteristicsofthesystemitself.尽管有不同形式的数学模型描述控制系统，但是系

统的线性与非线性与表达形式无关，因为这是系统本身的固有特性。

Thelinearsystemssatisfytheprincipleofsuperposition,otherwisethenon-linearsystemsdo

notsatisfy,线性系统满足叠加原理，非线性系统不满足叠加原理。

Assumethereisalinearsystem:假定有如下线性系统：

ifforinput%j(t)outputj^(t)

forinput%2(0foutput力⑴.

thenforinput0¥](。+历2(。-output町]⑴+勿为⑴

Theprincipleofsuperpositionaboutlinearsystemstatesthatforalinearsystem,the

existenceofainputsignalhasnoinfluenceontheoutputcausedbytheotherinputsignal,thatis,

therearenoinfluencesbetweenoutputsignalscausedbyeachinputsignal.线性系统叠力口原理说

明：对于一个线性系统，一个输入信号的存在不影响由其他输入信号引起的输出，也就是说，

每个输入信号引起的输出之间互不影响。

2.2Electriccircuitsandcomponents电路及其元件

TheequationsforanelectriccircuitobeyKirchhoffslaws,whichstatethefollowing:E乜路方

程遵循克希霍夫定律，叙述如下：

1.Thealgebraicsumofthepotentialdifferencesaroundaclosedpathequalszero.Thiscan

berestatedasfollows:intraversinganyclosedloopthesumofthevoltagerisesequalsthesumof

thevoltagedrops.沿一闭合电路电位差的代数和等于零。也可以说成是：沿任一封闭回路

电压升之和等于电压降之和。

2.Thealgebraicsumofthecurrentsentering(orleaving)anodeisequaltozero.Inother

words,thesumofthecurrentsenteringthejunctionequalsthesumofthecurrentsleavingthe

junction.在连接点或节点处电流的代数和等于零。换句话说，流入节点的电流之和等于流出

节点电流之和。

basicelectricalelements:resistors,inductors,capacitors电路基本元素：电阻、电感、电

容

Ohm'slaw:Voltagedropacrossaresistorisequaltotheproductofthecurrentthroughthe

resistoranditsresistance.欧姆定律：电阻两端的电压降等于通过电阻的电流乘以本身的电

阻。

vR=Ri(2.3)

Faraday'slaw:Thevoltagedropacrossaninductorisequaltotheproductoftheinductance

andthetimerateofincreaseofcurrent.法拉弟定律：电感两端的电压降等于电感量与电流对

时间的微分的乘积。

1•

v,=L—=LDi(2.4)

Ldt

Thepositivelydirectedvoltagedropacrossacapacitorisdefinedastheratioofthe

magnitudeofthepositiveelectricchargeonitspositiveplatetothevalueofitscapacitance.电

容器两端正向电压降的大小定义为：正极板上电荷的大小与该电容器电容值之比。

vc.=—=—fidT+—=(2.5)

cCCJ0CCD

Themks(Meter-Kilogram-Second)unitsfortheseelectricalquantitiesinthepracticalsystem

aregiveninthefollowingtable.在实际系统中，这些电量的mks单位见表2-1。

TABLE2.1Electricalsymbolsandunits电量符号和单位

Symbols符号Quantity电量Units单位

eorvVoltage电压Volts伏特

iCurrent电流Amperes安培

LInductance电感Henrys亨利

CCapacitance电容Farads法拉

RResistance电阻Ohms欧姆

Exp:SeriesResistor-InductorCircuit串联电阻电感电路

a/+/?-b

<---------------*vw——r

FIG2.1-Semesresistor-indu皆rcircuit串联电阻电感电路

图2-1中电源电压e是时宜的函数L当■拜关何唁训，加到Z路上的电压源等于电阻及电

感上的电压降之和，即

vR+vL=e

1•

Ri+L—=Ri+LDi=e(2-6)

dt

电感两端的电压可以按下面的方法求出。电感电压

vL=LDi

因此，通过电感的电流

，力

把以、i的表达式代入原方程求得

R

-----V,+v,=e(2-7)

LDLL

直接用节点电压法写出系统方程式也是很方便的。任何两元件的连接处叫节点。该电路有三

个节点，分别为a、b和c(见图2-1)。其中一个节点可用来作参考点，在该电路中参考点为

Co其它各节点处的电压都可看作是相对于参考节点的电压。这样，匕,是节点a到节点c的

电压降，而上是节点b到参考节点c的电压降。为了简化，这些电压分别写成匕和为。

电源电压乜=e是已知的，仅有一个未知电压口,所以仅需一个节点方程。对节点b

应用克希霍夫第二定律，则节点处电流的代数和等于零。

从节点b到节点a流过电阻R的电流是（以-匕）H,从节点b到节点c通过电感乙的

电流是（1/£。）匕。这些电流的和必等于零:

匕=0(2-8)

RLD

整理后得:

%一)匕

=0(2-9)

K

除了所用符号不同以外，该方程和方程2-7一样。注意，该节点法要求只写一个方程式。

Exp:SeriesResistor-Inductor-CiipacitorCircuit串联RLC电路

根据各电路元件上的电压降可以写出电路方程式。例如，根据电阻两端的电压降，方程

式（2-10）变成

vR=-DvR+-^—vR=e(2-11)

RRRRCDR

MultiloopElectricCircuits多回路电路

多回路电路的求解既可用回路方方程，又可用节点方程。我们用下面的例子来说明这两

种方法的应用，说明如何求出电压％。

I.LoopMethod回路法

首先标出每个闭合回路中的回路电流，然后写出每个回路的克希霍夫电压方程式:

%一跖-=e(2-12)

(2-13)

+&+RD)z2-d=0

-a的+(4+&+白1=0

(2-14)

而输出电压

%=咐(2-15)

根据输入电压e(/)和电路参数，对这4个方程联立求解，即可求出%(/)。

如图2-4,对各节点标以小写字母。根据节点电压，写出每一节点的克希霍夫电流方程。

图中节点d为参考点，电压也;是节点b相对于参考节点d的电压。为了简化起见，电压力

可写成为。这里有两个未知电压匕和％,因此需要写两个方程式

节点b：z,+z,+z3=0(2-16)

节点c：—z3+z4+z5=0(2-17)

根据节点电压，这些方程是

生=+孙+9=0(2-18)

&网

m+'+_L(…=0

(2-19)

K

R2R,LD°'

为了使方程具有系统他的形式，重新整理各项得:

(\1、11

—+CD+——Vh------%=一e(2-20)

1与2R2

1’111；1

V——---v=---(2-21)

-----h+14()

与火3LD,LD

此例说明，为了求得节点c处的电位仅需两个节点方程。如果要求出&中的电流必定要用

到一个附加方程。用回路法，同时解三个方程就可以得到每个支路电流：欲求用两端电压,

必定要用到一个附加方程。这种方法要求解最少数量的方程，其具体应用情况随具体电路而

异。

Therulesforwritingthenodeequations:书写节点方程的规划归纳如下：

1.Thenumberofequationsrequiredisequaltothenumberofunknownnodevoltages.1.所

要求方程的个数等于未知节点电压的个数。

2.Anequationiswrittenforeachnode.2.写出每一个节点的方程。

3.Eachequationincludesthefollowing:3.每——个方程包括：

(a)Thenodevoltagemultipliedbythesumofalltheadmittancesthatarcconnectedtothis

node.Thistermispositive,a.节点电压乘以与该节点相联结的所有导纳之和，该项为正；

(b)Thenodevoltageattheotherendofeachbranchmultipliedbytheadmittanceconnected

betweenthetwonodes.Thistermisnegative,b.每个支路另一端的节点电压乘以联结两节点之

间的导纳，该项为负。

2.3Basiclinearmatrixalgebra基本线性矩阵代数

squarematrix'.方矩阵，矩形矩阵

Boldfacecapita!letters'.粗体大写字母

transpose'.转置矩阵

Npremultiplied