计算机07 三维变换及三维观察

第7章三维变换及三维观察

提出问题

•如何对三维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换

•如何进行投影变换

•如何方便地实现在显示设备上对三维图形进行观察

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7.1三维变换的基本概念

7.1.1三维齐次坐标变换矩阵

abcP

deq

ghr

mns

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7.1.2几何变换

■图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平

移、比例、旋转等变换后产生新的图形。

..点的矩阵变换

・线框图的变换

・用参数方程描述的图形的变换

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7.1.3平面几何投影

■投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影面

上得到二维平面图形。

'・平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及

通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平

面图形：三视图、轴测图。

•观察投影是指在观察空间下进行的图形投影变

换。

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■投影中心、投影面、投影线:

图7-1线段AB的平面几何投影

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图7-2平面几何投影分为透视投影和平行投影

平面几何投影可分为两大类：

■透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的

-平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的

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主视图

侧视图

一二视图-

俯视图

「正投影-正等测

L正轴测-

正二测

「平行投影—

r-斜等测正三测

平面几何投影-」斜投影-

L斜二测

——1点透视

-透视投影——二点透视I

—三点透视

图7-3平面几何投影的分类

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7.1.4观察投影

7.2三维几何变换

=Xy'z'1］二2.小=卜yz

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7.2.1三维基本几何变换

■三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴

进行的几何变换

■假设三维形体变换前一点为p(x,y,z),变换后为

p'(x',y',z')o

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1.平移变换

100

0

001

TxTyTz

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2.比例变换

(1)局部比例变换

q000

0e00

T=

s00J0

0001

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例子：对如图7-6所示的长方形体进行比例变换，其中

a=l/2,e=l/3,j=l/2,求变换后的长方形体各点坐标。

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(2)整体比例变换

-1000

0100

T-

50010

0005

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3.旋转变换

Z

图7-7旋转变换的角度方向

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(1)绕2轴旋转

COS。sin9

-sin。cos。

00

00

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(2)绕x轴旋转

100

0cos。sin。

0-sin。cos。

000

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(3)绕y轴旋转

cos。0一sin9

010

1T-

RY~sin。0cos。

000

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4.对称变换

(1)关于坐标平面对称

关于xoy平面进行对称变换的矩阵计算形式为:

-1000-

0100

%―00—10.

0001

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关于yoz平面的对称变换为:

-1000

0100

1T

Fyz0010

0001

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关于ZOX平面的对称变换为:

1000

0-100

0010

0001

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(2)关于坐标轴对称变换

关于x轴进行对称变换的矩阵计算形式为:

1000

0-100

00-10

0001

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关于y轴的对称变换为:

-1000

0100

T-

Fy00-10

0001

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关于Z轴的对称变换为:

—1000

0-100

T=

Fz0010

0001

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5.错切变换

bc0

1f0

h10

001

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(1)沿X方向错切

1000

d100

g010

0001

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(2)沿y方向错切

1b00

0100

0h10

0001

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(3)沿z方向错切

10c0

01f0

TSHZ=0

010

0001

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6.逆变换

所谓逆变换即是与上述变换过程的相反的变换

⑴平移的逆变换

100o-

10100

'=0010

~TX-Ty-Tz1_

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(2)比例的逆变换

局部比例变换的逆变换矩阵为：

-000

a

ji-i_0-00

00-*0

I

0001

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整体比例变换的逆变换矩阵为:

1000

0100

0010

000-

S

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(3)旋转的逆变换

cosG。)sin(—9)00cos。—sin。00

7sin(-9)cos(-00sin。cos。00

7T-一。)

1RZ~

00100010

00010001

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7.2.2三维复合变换

-三维复合变换是指图形作一次以上的变换，变换

结果是每次变换矩阵相乘。

=…(〃>1)

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1.相对任一参考点的三维变换

相对于参考点F(x°yf,Zf)作比例、旋转、错切等变换的

过程分为以下三步：

⑴将参考点F移至坐标原点

(2)针对原点进行二维几何变换_

(3)进行反平移；

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例：相对于F（Xf，yf，Zf）点进行比例变换

(

N

S

-

X

)

X

⑹移至坐标原点（C）基本比例变换（d）移回F点原来位置

图7-8相对参考点F的比例变换

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分析:

图7-10O'A经两次旋转与Z'轴重合

B

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(2)将OBB绕x釉逆时针旋转a角，贝1JOB旋转到MoN平面上

⑶将OB绕y釉顺时针旋转P角,则0rB旋转到z，轴上。

(4)经以上三步变换后，AB轴与z釉重合，此时绕AB轴的旋转转换

为绕z轴的旋转。

(5)最后，求I；A，TRX,丁口丫的逆变换，回到AB原来的位置。

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类似地，针对任意方向轴的变换可用五个步骤来完成:

(1)使任意方向轴的起点与坐标原点重合，此时进行平

移变换。

(2)使方向轴与某一坐标轴重合，此时需进行旋转变换,

且旋转变换可能不止一次。

(3)针对该坐标轴完成变换。-

(4)用逆旋转变换使方向轴回到其原始方向。

(5)用逆平移变换使方向轴回到其原始位置。

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7.3平行投影

■平行投影可分成两类：正投影和斜投影。

投影方向

，投影平

I面法向

投影平面

⑸正投影（b）斜投影

7-11平行投影

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z呢藤楚号分为：三视图和正轴测。

■当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为三视

图；否则，得到的投影为正轴测图。

(a)三视图(b)正轴测

7-12正投影

二视图：

■三视图包括主视图、侧视图和俯视图三种，投影面

分别与X轴、Y轴和Z轴垂直。

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正轴测图

-正轴测有等轴测、正二测和正三测三种。

-当投影面与三个坐标轴之间的夹角都相等时为等轴

测；

'当投影面与两个坐标轴之间的夹角相等时为正二测;

■当投影面与三个坐标轴之间的夹角都不相等时为正

三测。

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图774正轴测投影面及一个立方体的正轴测投影图

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1.三视图

计算步骤：

(1)确定三维形体上各点的位置坐标

(2)引入齐次坐标，求出所作变换相应的变换矩阵

(3)将所作变换用矩阵表示，通过运算求得三维形体

上各点(x,y,z)经变换后的相应点(X，,y，)或(y'z，)

(4)由变换后的所有二维点绘出三维形体投影后的三

视图。

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2.主视图

■将三维形体向xoz面（又称V面）作垂直投影（即

正平行投影），得到主视图。

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3.俯视图

三维形体向xoy面(又称H面)作垂直投影得到俯视图,

(1)投影变换

(2)使H面绕x轴负转90°

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4.侧视图

获得侧视图是将三维形体往yoz面(侧面W)作垂直投影,

(1)侧视图的投影变换

(2)使W面绕z轴正转90°

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5.正轴测图的投影变换矩阵

分析:

图7T5正轴测图的形成

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公式推导：

(1)先绕y轴顺时针旋转a角7

⑵再绕x轴逆时针旋转P角

(3)将三维形体向xoy平面作正投影

最后得到正轴测图的投影变换矩阵

cosa-sinor-cos/?00

0cos/00

-sin。-coscif-sin1300

0001

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6.正等测图

分析:

图7T5正轴测图的形成

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99-7

公式推导:

将a和B的值代入(7-1)式得到正等测图的投影变换

矩阵：

V6

00

60.7071-0.408200

V6

0000.816500

T

-0.7071-0.408200

V6

000001

6

001

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7.正二测图

分析：

图7-15正轴测图的形成

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将a值代入(7-1)式得到正二测图的投影变换矩阵:

00

00

00

01

特点分析:

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7.3.2斜投影

-斜投影图，即斜轴测图，是将三维形体向一个单

一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投

影面所得到的平面图形。

・常用的斜轴测图有斜等测图和斜二测图。

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\投影方向忸

\投影方奇\P

\\♦

\\投影平\\投影平

''、或I面法向0a&面法向

投影平面0p,投影平面0P,

(a)斜等测(b)斜二测

7-16斜平行投影

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斜轴测图的形成

y

投影方向

，yq',O)

q(xq,Vq,Zq)

，yp',o)

P(0,o,Zp)0B投影平面

Yqi

qB

x

(b)

7-17斜平行投

影的形成X

°或45。

2011-7-11

华中理工大学基?机学院

陆枫

57

斜平行投影的投影变换矩阵为:

1000

0100

T=

ctgacosJ3ctgasin000

0001

对于斜等测图有：a=45°?ctga=l

斜二测图贝ll有：a=arctg(2)9ctga=1/2

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\投影方向R

■•

工、投影方向'、P

投影平\\投影平

面法向0面法向

投影平面0P,投影平面0P,

⑸斜等测(b)斜二测

7-16斜平行投影

对于斜等测图有：a=45\ctga=l

斜二测图贝II有：a=arctg(2)9ctga=1/2

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(b)斜二测

7-18单位立方体的斜平行投影

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7.4透视投影

分析:

X

图7-19点的一点透视

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1Ooo

o1OO

-

ff!11

X.y.-XyZ1

z1,±*oo1-

-

OOO1

1

1000

］「10100

x'y1z，1==xyz1•

JLJ001r

0001

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灭点：

■不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点，这个

点称为灭点(VanishingPoint)。

■坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点,

■一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，

与另外两个坐标轴平行。

■两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，

与另一个坐标轴平行。

■三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交C

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7-20透视投影

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7.4.1一点透视

分析：

要考虑下列几点：

(1)三维形体与画面(投影面)的相对位置；

(2)视距，即视点(投影中心)与画面的距离;

(3)视点的高度。

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假定视点(投影中心)在原点，画面(投影面)与Z轴

垂直(z=d)o

一点透视的步骤：

(1)将三维形体平移到适当位置1、m、n；

(2)令视点在z轴，利用公式(7-2)进行透视变换；:

(3)最后，为了绘制的方便，向xoy平面作正投影变换,

将结果变换到xoy平面上。

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例：试绘制如图7-21⑶所示的单位立方体的一点透视图。

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7.4.2二点透视

可以这样来构造二点透视的一般步骤：

(1)先将三维形体平移到适当位置，使视点有一定

高度，且使形体的主要表面不会积聚成线；

(2)将形体绕y轴旋转一个中角((pV90。)，方向满足

右手定则；

(3)进行透视变换

(4)最后向xoy面作正投影，即得二点透视图。

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例：试绘制上例(图7-21(a))中的单位立方体的二

点透视图。

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7.4.3三点透视

同样可以简单的构造三点透视图：

(1)首先将三维形体平移到适当位置；

(2)将形体进行透视变换

(3)然后使形体先绕y轴旋转cp角；

(4)再绕x轴旋转。角；

(5)将变形且旋转后的形体向xoy面作正投影。

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7.5观察坐标系及观察空间

7.5.1观察坐标系

X

Z

图7-23用户坐标系与观察坐标系

•观察参考坐标系(ViewReferenceCoordinate)

•观察参考点(ViewReferencePoint)

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■观察平面(ViewPlane),即投影平面。

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■观察坐标系（uvn坐标系）的建立

■法矢量N、法矢量V、法矢量U

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7.5.2观察空间

■观察窗口:

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■观察空间：无限观察空间、有限观察空间

••••••—.十［、丁广

/刖截面

(a)无限观察空间(b)有限观察空间

图7-28正投影的观察空间

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图7-29斜投影的观察空间

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(a)无限观察空间(b)有限观察空间

图7-30透视投影的观察空间

需注意,对于透视投影，前

截面之间。

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■观察平面和前后截面的有关位置取决于要生成的

窗口类型及特殊图形包的限制

后截面观察平面后截面二

观察平面

观察平面后截面

前截面前截面前截面

ZvZvzvy

(a)⑹(c)

图7-31观察平面及前后截面的位置安排

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图7-32观察平面的移动改变图7-33投影中心的移动改变

斜投影观察空间形状透视影观察空间形状

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规范化观察空间

■平行投影的规范化观察空间

定义为：

xv=_—]

xvoyv-]前截面]

平面「

yv=1,儿=T

Zy=O,Z=1--------------观察平面

V1后截面

zvy

(a)平行投影的规范化观察空间

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■透视投影的规范化观察空间为:(1,1,1)

户兀

%=Zyv

乂""—Zy

xvoyv[11

Zy二Zmin《二1平面：

—7［察平面

1后截面

zvy

(b)透视投影的规范化观察空间

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7.6三维观察流程

应

用

程

序

?在图形

到

图

争设备上

形

的

用

户标输出

坐

标

图7-35三维观察流程

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7.6.1用户坐标系到观察坐标系的变换

具体变换步骤：

(1)平移观察参考点到用户坐标系原点

(2)进行旋转变换分别让A、和4轴对应到用户

坐标系中的x、y和z轴。

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2011-7-11（°）旋转观察组机猫大学计算机学院陆枫84

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平行投影的规范化投影变换可由以下三步组成。

(1)将投影中心平移到观察坐标系原点。

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(2)对坐标系进行错切变换，使投影中心和窗口中

心的连线错切到入轴

xvoyv________________________________

平由

•,前截面

(

*

*■

••

■

■*

■•

观察平面

窗口中心

••

后截面

Zv▼

(b)错切变换

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